2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.3.2圓柱圓錐圓臺球的表面積和體積同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊

PAGE課時素養(yǎng)評價(jià)二十三圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積(15分鐘35分)1.球的半徑擴(kuò)大到原來的2倍,則它的表面積擴(kuò)大到原來的 ()A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍【解析】選B.設(shè)球的半徑為r,則球的表面積為S=4πr2,若球的半徑擴(kuò)大為原來的2倍,則球的表面積為S=4·π·(2r)2=16πr2,表面積擴(kuò)大為原來的4倍.2.若一個圓錐的軸截面(過圓錐頂點(diǎn)和底面直徑的截面)是等邊三角形,其面積為QUOTE,則這個圓錐的體積為 ()A.3π B.QUOTEπ C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】選B.設(shè)圓錐的底面半徑為R,依題意知,該圓錐的高即軸截面的高h(yuǎn)=QUOTE·2R=QUOTER,所以QUOTE·2R·QUOTER=QUOTE,解得R=1.所以V=QUOTE×π×12×QUOTE=QUOTEπ.3.圓柱的一個底面積是S,側(cè)面綻開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側(cè)面積是 ()A.4πS B.2πS C.πS D.QUOTEπS【解析】選A.底面半徑是QUOTE,所以正方形的邊長是2πQUOTE=2QUOTE,故圓柱的側(cè)面積是(2QUOTE)2=4πS.4.體積為4QUOTEπ的球的內(nèi)接正方體的棱長為.

【解析】設(shè)球的半徑為R,正方體的棱長為a,則QUOTE=4QUOTEπ,所以R3=3QUOTE,所以R=QUOTE,則由正方體的性質(zhì)可知正方體的體對角線QUOTEa=2R=2QUOTE,所以a=2.答案:25.有一個空心鋼球,質(zhì)量為142g,測得外直徑為5cm,則它的內(nèi)直徑是cm(鋼的密度為7.9g/cm3,精確到0.1cm).

【解析】設(shè)鋼球的內(nèi)半徑為r,所以7.9×QUOTE×π×QUOTE=142,解得r≈2.25.故內(nèi)直徑為4.5cm.答案:4.56.四邊形ABCD中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3),將四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周,求所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【解析】因?yàn)镃(2,1),D(0,3),所以圓錐的底面半徑r=2,高h(yuǎn)=2.所以V圓錐=QUOTEπr2h=QUOTEπ×22×2=QUOTEπ.因?yàn)锽(1,0),C(2,1),所以圓臺的兩個底面半徑R=2,R′=1,高h(yuǎn)′=1.所以V圓臺=QUOTEπh′(R2+R′2+RR′)=QUOTEπ×1×(22+12+2×1)=QUOTEπ,所以V=V圓錐+V圓臺=5π.【補(bǔ)償訓(xùn)練】將一個半徑為8cm、圓心角為QUOTE的扇形薄鐵片,焊接成一個圓錐形容器,則這個圓錐形容器的容積等于cm3.

【解析】將一個半徑為8cm、圓心角為QUOTE的扇形薄鐵片,焊接成一個圓錐形容器,則圓錐的底面圓周長為:8×QUOTE=2π,所以圓錐的底面圓半徑r=1,所以圓錐的高h(yuǎn)=QUOTE=3QUOTE.所以這個圓錐形容器的容積為:V=QUOTE×π×12×h=QUOTE×π×3QUOTE=QUOTEπ(cm3).答案:QUOTEπ(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖所示,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有 ()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【解析】選B.由l=QUOTE×2πr=8得圓錐底面的半徑r=QUOTE≈QUOTE,所以米堆的體積V=QUOTE×QUOTEπr2h=QUOTE×QUOTE×5=QUOTE(立方尺),所以堆放的米有QUOTE÷1.62≈22(斛).2.一個正方體表面積與一個球表面積相等,那么它們的體積之比是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由6a2=4πR2得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(其中a為正方體的棱長,R為球的半徑)3.中國古代計(jì)時器的獨(dú)創(chuàng)時間不晚于戰(zhàn)國時代(公元前476年-前222年),其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計(jì)的一種計(jì)時裝置,它由兩個形態(tài)完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,起先時細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過連接管道流到下部容器,如圖,某沙漏由上、下兩個圓錐容器組成,圓錐的底面圓的直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部時,其高度為圓錐高度的QUOTE(細(xì)管長度忽視不計(jì)).若細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此圓錐形沙堆的高為 ()A.2cm B.QUOTEcm C.QUOTEcm D.QUOTEcm【解析】選D.由題意可知,起先時,沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高H=QUOTE×8=QUOTE,底面圓的半徑r=QUOTE×4=QUOTE,故細(xì)沙的體積V=QUOTEπr2H=QUOTEπ×QUOTE×QUOTE=QUOTE.當(dāng)細(xì)沙漏入下部后,圓錐形沙堆的底面半徑為4,設(shè)高為H′,則QUOTEπ×42×H′=QUOTE,得H′=QUOTE.故此圓錐形沙堆的高為QUOTEcm.4.過某一圓錐的高的中點(diǎn)和一個三等分點(diǎn)(該三等分點(diǎn)距圓錐頂點(diǎn)比距圓錐底面圓心更近),分別作平行于該圓錐底面的平面,圓錐被分割成三個部分,則這三個部分的側(cè)面積之比為 ()A.2∶1∶3 B.2∶3∶6C.4∶5∶27 D.4∶9∶36【解析】選C.扇形的面積公式為S=QUOTE,設(shè)圓錐母線長為l,則S1=QUOTE,S1+S2=QUOTE,S1+S2+S3=QUOTE,所以S1∶(S1+S2)∶(S1+S2+S3)=4∶9∶36.S1∶S2∶S3=4∶5∶27.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.圓柱的側(cè)面綻開圖是一個面積為16π2的正方形,該圓柱內(nèi)有一個體積為V的球,則V的取值可以為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選CD.圓柱的側(cè)面綻開圖是一個面積為16π2的正方形,所以該圓柱的底面周長為2πr=4π解得r=2,圓柱的高為4π,該圓柱內(nèi)有一個體積為V的球,當(dāng)球的最大圓與圓柱的側(cè)面相切時,該球的體積最大值V=QUOTE=QUOTE.故球的體積可以為QUOTE或QUOTE.6.一個底面半徑為2,高為4的圓錐中有一個內(nèi)接圓柱,該圓柱的側(cè)面積可以為 ()A.3π B.4π C.5π D.6π【解析】選AB.圓錐的底面半徑為2,高為4,所以內(nèi)接圓柱的底面半徑為x時,它的上底面截圓錐得小圓錐的高為2x,因此,內(nèi)接圓柱的高h(yuǎn)=4-2x;所以圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2πx(4-2x)=4π(2x-x2)(0<x<2),令t=2x-x2,當(dāng)x=1時tmax=1;所以當(dāng)x=1時,(S側(cè))max=4π.即圓柱的底面半徑為1時,圓柱的側(cè)面積最大,最大值為4π.三、填空題(每小題5分,共10分)7.一個圓錐形容器和一個圓柱形容器的軸截面如圖所示,兩容器內(nèi)所盛液體的體積正好相等,且液面高度h也相等,則QUOTE等于.

【解析】一個圓錐形容器和一個圓柱形容器的軸截面如圖所示,兩容器內(nèi)所盛液體的體積正好相等,且液面高度h也相等,所以QUOTE×πh2×h=π×QUOTE×h,所以QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.(2024·余姚高一檢測)一個圓臺的母線長為12cm,兩底面積分別為4πcm2和25πcm2,則圓臺的高為;截得此圓臺的圓錐的母線長為.

【解析】圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD,如圖所示:由已知可得上底面圓的半徑O1A=2cm,下底面圓的半徑OB=5cm;又腰長為母線長是AB=12cm,所以高AM=QUOTE=3QUOTE(cm);設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l,則由△SAO1∽△SBO可得QUOTE=QUOTE,解得l=20(cm).答案:3QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯,水面下放著一個底面直徑為6cm,高為20cm的圓錐形鉛錘.當(dāng)鉛錘從水中取出后,杯里的水將下降多少?(π≈3.14)【解析】因?yàn)椴ＡП菆A柱形的,所以鉛錘取出后,水面下降部分事實(shí)上是一個小圓柱,這個圓柱的底面與玻璃杯的底面相同,是始終徑為20cm的圓,它的體積正好等于圓錐形鉛錘的體積,這個小圓柱的高就是水面下降的高度.圓錐形鉛錘的體積為QUOTE×π×QUOTE×20=60π(cm3).設(shè)水面下降的高度為xcm,則小圓柱的體積為πQUOTE×x=100πx,所以60π=100πx,解得x=0.6,即鉛錘取出后,杯中水將下降0.6cm.10.學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為在圓錐底部挖去一個正方體后的剩余部分(正方體四個頂點(diǎn)在圓錐母線上,四個頂點(diǎn)在圓錐底面上),圓錐底面直徑為10QUOTEcm,高為10cm.打印所用原料密度為0.9g/cm3,不考慮打印損耗,則制作該模型所需原料的質(zhì)量為多少g.(π取3.14)【解析】設(shè)被挖去的正方體的棱長為xcm.圓錐底面半徑為r,則圓錐底面半徑r=QUOTE×10QUOTE=5QUOTEcm,高h(yuǎn)=10cm,則QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得x=5,打印所用原料密度為ρ=0.9g/cm3,π取3.14,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為:m=ρV=0.9QUOTE=0.9QUOTE=358.5(g).1.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8,則球的體積為.

【解析】由題意,直三棱柱上底面截球的截面為一個圓形,而此圓形即為直三棱柱上底面的三角形的內(nèi)切圓.相關(guān)圖形如圖:依據(jù)題意,可知:OO′=8-4=4.因?yàn)榈酌孢呴L分別是5,12,13,則52+122=132.所以底面是一個直角三角形.依據(jù)面積相等,很明顯QUOTE×(5+12+13)×r=QUOTE×5×12,解得r=2.所以在Rt△OO′D中,R=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.所以V球=QUOTEπ·(2QUOTE)3=QUOTE.答案:QUOTE2.唐朝聞名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(如圖2).當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁表面積(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑,表面積為S平方厘米,半球的半徑為R厘米)固定時,若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍,則R的取值范圍為 ()A.