2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題17 反比例函數(shù)中的平行四邊形問題(解析版)

專題17反比例函數(shù)中的平行四邊形問題

1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=K(k六0)的圖象過等邊三角形80C的頂點8,OC=2,

x

點A在反比例函數(shù)圖象上，連接AC、AO.

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)若四邊形AC80的面積為3?,求點A的坐標(biāo).

解：(1)作8O_LOC于力，如圖，

為等邊三角形，

：.OD^CD=^-OC=\,

2

.?.8。=我。。=?,

：.B(-1,-加)，

把8(-1,-?)代入y=?得Z=-lx(-?)=?,

???反比例函數(shù)解析式為？=乂3；

X

3

(2)設(shè)A(z,—),

t

???四邊形ACBO的面積為3?,

解得/=方,

???A點坐標(biāo)為弓，2?).

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形A8CD是平行四邊形，點A、8在x軸上，點C、。在第二象限,

點例是8c中點.已知AB=6,AZ)=8,/D4B=60。，點B的坐標(biāo)為(-6,0).

圖①圖②

(1)求點。和點例的坐標(biāo)；

(2)如圖①，將口ABC。沿著x軸向右平移a個單位長度，點。的對應(yīng)點。和點M的對應(yīng)點M"恰好在

反比例函數(shù))，=KG>0)的圖象上，請求出〃的值以及這個反比例函數(shù)的表達(dá)式；

x

(3)如圖②，在(2)的條件下，過點W作直線/,點P是直線/上的動點，點。是平面內(nèi)任意一

點，若以夕，C,P、。為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標(biāo).

解：(1)：AB=6,點3的坐標(biāo)為(-6,0),

二點4(-12,0),

如圖1,過點D作DE±x軸于點D,

圖1

則EO=4OsinN￡M8=8x半=4近，同理AE=4,

故點0（-8,4晶），則點C（-2,4近），

由中點公式得，點M（-4,2?）；

（2）圖象向右平移J'。個單位，則點。（a-8,4?）、點“（”-4,2?）,

?.?點?！倍荚诤瘮?shù)上，

/.（a-8）x4“=（a-4）x2?,

解得：a=12,

則上=（12-8）x4我=16?,

故反比例函數(shù)的表達(dá)式為=也巨；

X

（3）由（2）知，點W的坐標(biāo)為（8,2?）,點￡、。的坐標(biāo)分別為（6,0）、（10,4?）,

設(shè)點P（〃?，2立），點。（s,力：

①當(dāng)夕。是矩形的邊時，如圖2,求解的矩形為矩形"C/Q和矩形"CQP,

過點C作CHLI交于點H,CH=4遙-2遙=2y，

直線的傾斜角為60。，則NM'PC=30。，PH=C'H^tanZM'PC=273,V3=6-

故點P的坐標(biāo)為（16,273）,

由題意得：點P、。'關(guān)于點C對稱，由中點公式得，點。的坐標(biāo)為（12,-4?）；

同理點。、關(guān)于點W對稱，由中點公式得，點?！?,65/3）!

故點Q的坐標(biāo)為：（12,-473）或（4，6?）；

②當(dāng)夕C是矩形的對角線時,

,/夕C的中點即為PQ的中點,且PQ=B'C,

'm+s=10+6mi=12叱=4

t+2V3=W3,解得：-S[=4$2=12

(m-s)2+(t-2V3)2=42+(4\/3)2

%=2?t2=2V3

故點。的坐標(biāo)為（4,2>/3）或（12,2?）；

綜上，點。的坐標(biāo)為：（12,-473）或（%6、/*或（4,2?）或（12,

3、如圖，四邊形ABCZ）是平行四邊形，點A（1,0）,B（4,1）,C（4,4）.反比例函數(shù)y=@（x>0）的

x

圖象經(jīng)過點。，點尸是一次函數(shù)>=丘+4-必（原0）的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個公共點.

（1）求反比例函數(shù)的解析式;

（2）通過計算，說明一次函數(shù)），=&+4-4k（原0）的圖象一定過點C；

（3）對于一次函數(shù)y=fcv+4-4k（后0）,當(dāng)隨x的增大而增大時，確定點尸橫坐標(biāo)的取值范圍（不必寫

過程）.

解：（1）?.?四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AD=^BC,

,:B（4,1）,C（4,4）,

軸，AD=8C=3,

而A點坐標(biāo)為（1,0）,

...點。的坐標(biāo)為（1,3）.

?.?反比例函數(shù)丫=典（x>0）的函數(shù)圖象經(jīng)過點。（1,3）,

x

?2_m

??J——,

1

A/n=3,

...反比例函數(shù)的解析式為），=旦；

X

（2）當(dāng)尤=4時，y=kx+4-4k=42+4-4%=4,

，一?次函數(shù)丁=履+4-4A（厚0）的圖象一定過點C；

(3)設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為a,

二?一次函數(shù)y=fcr+4-4k(厚0)過C點，并且y隨x的增大而增大時,

.,.k>0,P點的縱坐標(biāo)要小于4,橫坐標(biāo)大于4,

當(dāng)縱坐標(biāo)小于4時，

.■.y,—_—3,

x

.?.旦,<4,解得：”>旦，

a4

則a的范圍為°>1或4<旦.

4

4、小亮在研究矩形的面積S與矩形的邊長x,y之間的關(guān)系時，得到如表數(shù)據(jù)：

x0.511.5234612

y126■321.510.5

結(jié)果發(fā)現(xiàn)一個數(shù)據(jù)被墨水涂黑了，

(1)被墨水涂黑的數(shù)據(jù)為；

(2)y與x的函數(shù)關(guān)系式為,且y隨尤的增大而；

(3)如圖是小亮畫出的y關(guān)于x的函數(shù)圖象，點8、E均在該函數(shù)的圖象上，其中矩形OA8C的面積記

為St,矩形OAE尸的面積記為S,請判斷&與S2的大小關(guān)系，并說明理由；

(4)在(3)的條件下，OE交BC于點G,反比例函數(shù))的圖象經(jīng)過點G交AB于點”，連接OG、

X

OH,則四邊形OGBH的面積為

解：(1)從表格可以看出xy=6,

，墨水蓋住的數(shù)據(jù)是6m.5=4；

故答案為4；

(2)由xy=6,得到y(tǒng)隨x的增大而減少；

x

故答案為曠=2；減少；

x

(3)Si=OA?OC=&=6,Si=OD*OF=k=6,

S1=S2；

(4)TS四邊形如小=。4?。5=6,OCG=-^OD*OG=-^X2=1,OCG=-^OA^OH=-^X2=1,

?**S四邊形OG8〃=S四邊形OC6A-SAOCG-SAOAH=6-I-1=4：

故答案為4；

5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是平行四邊形，點A、B在X軸上，點C、。在第二象限,

點M是BC中點.已知AB=6,AD=8,ND48=60。，點B的坐標(biāo)為（-6,0）.

圖①圖②

(1)求點C和點M的坐標(biāo)；

(2)如圖①，將口ABCD沿著x軸向右平移a個單位長度，點D的對應(yīng)點少和點M的對應(yīng)點M恰好在

反比例函數(shù)了=區(qū)(x>0)的圖象上，請求出〃的值以及這個反比例函數(shù)的表達(dá)式；

x

(3)如圖②，在(2)的條件下，過點M,“作直線/，點P是直線/上的動點，點。是平面內(nèi)任意一

點，若以夕，C,尸、。為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo).

解:(1)：A8=6,點8的坐標(biāo)為(-6,0),

.?.點A(-12,0),

如圖1,過點力作軸于點D,

圖1

則ED=ADsinZDAB=8x乎=4?,同理AE=4,

故點。(-8,473))則點C(-2,473)>

由中點公式得，點M(-4,273):

(2)圖象向右平移了a個單位，則點D(a-8,4t)、點M(a-4,2?),

:點都在函數(shù)上，

(a-8)x4“=(a-4)x2加,

解得：4=12,

則上=(12-8)x4“=16?,

故反比例函數(shù)的表達(dá)式為=也巨;

X

（3）由（2）知，點W的坐標(biāo)為（8,2?）,點6、C的坐標(biāo)分別為（6,0）、（10,

設(shè)點P（如2“），點Q（s,f）；

①當(dāng)夕（7是矩形的邊時，如圖2,求解的矩形為矩形B'C'PQ和矩形B'C'Q'P',

y

oA/

o

圖2

過點C作CH，/交于點H,CH=4遙-2y=2?,

直線9C的傾斜角為60。，則NATPC=30。，P〃=C'，?anNM7C=2料?J§=6,

故點P的坐標(biāo)為（16,2小§），

由題意得：點P、。關(guān)于點C對稱，由中點公式得，點。的坐標(biāo)為（12,-4?）；

同理點。、。'關(guān)于點M'對稱，由中點公式得，點?！?,673）；

故點。的坐標(biāo)為：（12,-4?）或（4,6；

②當(dāng)夕C是矩形的對角線時,

V8'。的中點即為PQ的中點，且尸。=B'C,

"m+s=10+6'叫=1212=4

t+2V3=W3

解得：＜Sj=4S2=12

(m-s)2+(t-2V3)2=42+(473)2

ti=2V3t2=2V3

故點。的坐標(biāo)為（4,273）或（12,2加）；

綜上，點。的坐標(biāo)為：(12,-4j§)或(4,6，§)或(4,2丁§)或(12,2“).

6、已知，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形0ABe的頂點A,C坐標(biāo)分別為4(2,0),C(-1,2),反比例

函數(shù)丫=四的圖象經(jīng)過點8(，/0)

X

(1)求出反比例函數(shù)的解析式

(2)將n0ABe沿著x軸翻折，點C落在點。處，作出點。并判斷點。是否在反比例函數(shù)、=旦的圖象

x

上

(3)在x軸是否存在一點P使AOCP為等腰三角形？若存在，寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由.

解：(1)分別過點C、8作x軸的垂線，垂足分別為：E、F,

?四邊形0ABe為平行四邊形，則C0=A8,

ARtACOE絲RSBAF,：.AF=OE=1,

故點B(1,2),故m=2,

則反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=2.

（2）翻折后點。的坐標(biāo)為：（-1,-2）,

(-1)?(-2)=2,

...￡）在反比例函數(shù)y=處的圖象上；

X

（3）當(dāng)OP=OC時?，點P（土泥，0）；

當(dāng)。C=PC時，點尸（-2,0）；

當(dāng)。尸=PC時，設(shè)點P（w,0）,

則m2+（〃?+1）2+4,解得：m=-2.5；

綜上，點尸的坐標(biāo)為：（士泥，0）或（-2,0）或（-2.5,0）.

7^如圖，四邊形A8CQ是平行四邊形，點A（1,0）,（4,1）,C（4,4）.反比例函數(shù)（x>0）

X

的圖象經(jīng)過點。，點尸是一次函數(shù)y=fcv+4-4k（原0）的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個公共點.

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）通過計算，說明一次函數(shù)），=&+4-4k（岫））的圖象一定過點C；

（3）對于一次函數(shù)y=k"4-4Z（后0）,當(dāng)隨x的增大而增大時，確定點P橫坐標(biāo)的取值范圍（不必寫

過程）.

解：（1）：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC,

\'B（4,1）,C（4,4）,

.?.8C_Lr軸，AO=BC=3,

而A點坐標(biāo)為（1，0）,

...點。的坐標(biāo)為（1,3）.

???反比例函數(shù)丫=螞G>0）的函數(shù)圖象經(jīng)過點。（1,3）,

X

???3=手

團=3,

...反比例函數(shù)的解析式為y=3；

x

（2）當(dāng)x=4時，y—kx+4-4k—4k+4-4k—4,

一次函數(shù)尸質(zhì)+4-4k（原0）的圖象一定過點C；

（3）設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為。，

:一次函數(shù)丫=依+4-4k（原0）過C點，并旦y隨x的增大而增大時,

：.k>0,P點的縱坐標(biāo)要小于4,橫坐標(biāo)大于4,

當(dāng)縱坐標(biāo)小于4時,

.,.-<4,解得：

a4

則〃的范圍為“>1或“vg.

4

8、如圖，A為反比例函數(shù)y=K（其中x>0）圖象上的一點，在x軸正半軸上有一點2,03=4.連接0A,

X

AB,且。A=AB.過點8作8CL0B,交反比例函數(shù)y=K（其中x>0）的圖象于點C,連接0C交AB

X

于點。，則黑的值為.

解：過點A作軸，垂足為4,A”交0C于點M,如圖,

，

：0A=AB1AH1.OB,

2

設(shè)OH=BH=a,則A(a,—),C(2a,魯),

a2a

■:AH//BC,

1k

24a

J.AM^AH-MH=—--

a4a4a

'：AM//BC,

?地=幽=3

??麗―而一亍

9、如圖，點A(1,3)為雙曲線■上的一點，連接A0并延長與雙曲線在第三象限交于點8,M為y軸

正半軸上一點，連接M4并延長與雙曲線交于點M連接3M、BN,已知△M2N的面積為斗，則點N

解：連接OM

?.?點4(1,3)為雙曲線y=X上，

X

.\k=3,即：j=—：

x

由雙曲線的對稱性可知：。4=。乩

SAMBO=SAMAOfSANHO=SANAO,

?w_1_33

??)△MON=—^QLBMN=--y

24

Q

設(shè)點M(0,m),N(n,—),

n

即，mn^—,①

242

設(shè)直線AM的關(guān)系式為y=fcr+。，將M(0,m)A(1,3)代入得,

b=m,k=3-m,

，直線AM的關(guān)系式為y=(3-/??)x+m,

把N(H,-)代入得,一=(3-m)x〃+〃?,②

由①和②解得，M=-|,

%9.32

當(dāng)時，一=K，

2n3

：.N(―9,—2),

23

故答案為：(晟，.

乙0

10、如圖，等邊△OAB的邊4B與y軸交于點C,點4是反比例函數(shù)>=且過(x>0)的圖象上一點，且

x

BC=2AC,則等邊△048的邊長為.

解：設(shè)點A(a,芻返)，等邊三角形的邊長為6,

a

過點A作x軸的平行線交y軸于點M,過點B作y軸的平行線交AM的延長線于點E,過點O作ONLAB

與點N,

則AN=^AB=2〃，ON=返兒

222

'：AN-=—h,AC^—b,

23

CN=AN-AC=—b,

6

，：CM〃BE,

噂嚕,艮嗑二機則心”,

b

,:ZOCN=ZACM=NABE,

???△ONCSAAEB,

:.理■=里,即除b，b

杷EB4rM

解得：BE=?a

3

AB^AE?+BE1,則分二姆+緊;學(xué)足,

oo

:點4(a,且3,

a

=〃2+號=學(xué)42,

a3

解得：b=2被,

故答案為2^7-

11、如圖，直線-1交y軸于點3,交x軸于點C,以BC為邊的正方形A5C。的頂點A(-1,a)

9k

在雙曲線丫=-三(x<0)上，。點在雙曲線丫=羯(x>0)上，則攵的值為.

XX

9

解：VA(-1,a)在雙曲線y=(xVO)上，

x

?二〃=2,

?"(-1,2),

'??點B在直線y=mx-1上，

：.B(0,-1),

.,.48=7(-1-0)2+(-1-2)2="/10"

:四邊形A8C。是正方形，

**?BC=AB=7]0,

設(shè)C(m0),

Vn2+12=V10，

-3(舍)或〃=3,

AC(3,0),

???點B向右平移3個單位，再向上平移1個單位，

?,?點。是點A向右平移3個單位，再向上平移1個單位,

工點、D(2,3),

??,。點在雙曲線丁=三(x>0)上,

；?左=2x3=6,

故答案為：6.

12、如圖，己知點A(2,3)和點B(0,2),點A在反比例函數(shù)y=K的圖象上，作射線A8,再將射線

AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)a度，tana=/,交反比例函數(shù)圖象于點C,則點C的坐標(biāo)為

解：如圖，過B作BF_LAC于F,過F作尸。_Ly軸于。，過A作AE_LQF于E,

01]△AEFsAFDB,

1

.tana=—,

2

?BD_BFDF1

?'而次一蕊一=萬，

.?.設(shè)則E尸=2a,

?.?點A(2,3)和點8(0,2),

：.DF=2-2a,OD=OB-BD=2-af

：.AE=2DF=4-4m

■:AE+OD=3,

A4-4a+2-〃=3,

解得a=?，

5

?47

T石)’

47k

設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b,則彳可k+b一虧,解得4

2k+b=3b=i

T吟

?.?點4在反比例函數(shù)y=上的圖象上,

X

.6

??)'=一

x

9

*2或,

解方程組,可得

_6y=3_8

y=^-

9

：.C(--

43,

故答案為（號,.

TCO

13、如圖，點A是雙曲線），=一旦在第二象限分支上的一個動點，連接A。并延長交另一分支于點B,以AB

X

為底作等腰AABC且NACB=120。，點。在第一象限，隨著點A的運動點。的位置也不斷變化，但點

C始終在雙曲線y=K上運動，則k的值為.

X

解：作AOLx軸于。，CELr軸于￡連接0C,如圖,

〈AB過原點,

，點A與點8關(guān)于原點對稱,

：.OA=OB,

'.'△CAB為等腰三角形,

：?OC1.AB,

，ZACB=\20°f

：.ZCAB=30%

：?OA=^pC,

VZAOD+ZCOE=90°tNAOO+NOAO=9()。,

：.ZOAD=ZCOEf

：.RtAAODsRsOCE,

?'△AOD,0A、2/廣、2o

??n------=%)2=32=3,

?iAOCEw

而SACMO=/X|-6|=3,

?*?SAOCE=1,

嗚k1=1,

而k>0,

：.k=2.

14、以矩形0ABe的頂點。為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，使點A、C分別在x、y軸的正半軸上，雙曲

線丫=三(x>0)的圖象經(jīng)過BC的中點。，且與AB交于點E,過0C邊上一點凡把ABCF沿直線8尸

x

翻折，使點C落在矩形內(nèi)部的一點C處，且Ce〃BC,若點C'的坐標(biāo)為(2,4),則tan/CBF的值為

解：連接OD、0E.設(shè)BC=BC'=tn,則EC=m-2.

;CD=BD,

._k_1?

??v)△CDO-中形46c。，

24

..k1

,*,SAAOE———SACDO="7S矩形AS。。,

24

:,AE=EB,

VC(2,4),

:.AE=EB=4,

在RSBEC中,'/BC^BU+ECJ

/.m2=42+(m-2)2,

m=5,

：.E(5,4),

:.B(5,8),則BC=5,

延長EC交y軸于G,則EGJ_y軸，

CG=2,CG=4,

2,2222

，在Rl△尸GC中，CF=C(?+FGf即(4-FG)=2+FG,

3

：.CF=4-—5

22

CF1

tanZCBF=—■

BC12

故答案是：

k

15、如圖，正方形ABC。的邊長為5,點A的坐標(biāo)為（-4,0）,點B在y軸上，若反比例函數(shù)（厚0）

x

的圖象過點C,則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為;

解：如圖，過點C作CEJ_），軸于E,在正方形A8