2022上海市金匯某中學高二數(shù)學理期末試卷含解析

2022上海市金匯高級中學高二數(shù)學理期末試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

產占飛為參勤

1.已知在平面直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為I，="口，M是曲

線C上的動點.以原點。為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標

系，若曲線T的極坐標方程為2。擊＞6+0886=20,則點/到點T的距離的最大值為

()

A.2+4^B,c.D.6石

參考答案：

A

【分析】

首先求出曲線T的直角坐標系方程，設點”(E生血1°),求出點M到直線T的距離，

利用三角函數(shù)即可求出點/到直線r的距離的最大值。

【詳解】由曲線T的極坐標方程為2。加0886=加，可得曲線T的直角坐標方程為

xl2jr-20=0

由于點M為曲線C的一個動點，故設點.(他惠冬劍。)，

則點M到直線T的距離：

出色

所以當由@+椅=-1時，距離最大43=2.4、"，點M到直線T的距離的最大值為

故答案選A

【點睛】本題考查極坐標與參數(shù)方程的相關知識，考查推理論證能力、運算求解能力，屬

于中檔題。

】+aj

2.設I為虛數(shù)單位，若復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)4的值為

()

_21

A.2B.—2C.2

D.2

參考答案：

D

3.一拋物線型拱橋，當水面寬2nm時，水面離拱頂3m,當水面寬4m時，水面

()

(A)下降Im(B)上升Im(C)上升2m(D)上升3m

參考答案：

B

4.設Q是曲線T：上任意一點，/是曲線T在點Q處的切線，且/交坐標軸

于A,B兩點，則AOAB的面積(0為坐標原點)

A.為定值2B.最小值為3C.最大值為4

D.與點Q的位置有關

參考答案：

A

x22=i

5.雙曲線3-y-的焦點坐標是()

A.(±&，。)B.(°，土近)C.(±2,0)D.(0,±2)

參考答案：

C

【考點】KC：雙曲線的簡單性質.

【分析】根據(jù)雙曲線方程，可得該雙曲線的焦點在x軸上，由平方關系算出

22

c=yla+\>=2,即可得到雙曲線的焦點坐標.

X22=]

【解答】解：?.?雙曲線方程為3-yT

...雙曲線的焦點在X軸上,且a?=3,b』

由此可得c=Va2+b2=2,

.?.該雙曲線的焦點坐標為（±2,0）

故選：C

+2

6.當x>0時，""='+"則/"）的單調遞減區(qū)間是（）

A.（2,+oo）B.（0,2）日也田）D.（°，應）

參考答案：

7.設R,F2是雙曲線24的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且

31P及卜4闿1,則△尸尸出的面積等于

及

A4B.8百C.24D.48

參考答案：

C

略

2x-?+l>0,

x+加<0.

8.設關于無了的不等式組卜一切>°表示的平面區(qū)域內存在點產（%）。）滿足

X。-2yo=2,求得切的取值范圍是

-co.-g~0°'5-00,--

3

參考答案:

c

略

9.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是

8——8——

A.3B.3

空

C.D.3

參考答案：

A

10.過點（一1,3）且垂直于直線x—2y+3=0的直線方程是（）

A.x-2y+7=0B.2x+y-1=0

C.x—2y—5=0D.2x+y—5=0

參考答案：

B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

II.（12分）某車站每天上午發(fā)出兩班客車，第一班客車在8：00,8：20,8：40這三個

11

時刻隨機發(fā)出，且在8：00發(fā)出的概率為N,8：20發(fā)出的概率為28：40發(fā)出的概率為

1

4；第二班客車在9：00,9：20,9：40這三個時刻隨機發(fā)出，且在9：00發(fā)出的概率為

4,9：20發(fā)出的概率為29：40發(fā)出的概率為Z兩班客車發(fā)出時刻是相互獨立的，一

位旅客預計8：10至U站.求:

(1)請預測旅客乘到第一班客車的概率;

(2)旅客候車時間的分布列；

(3)旅客候車時間的數(shù)學期望.

參考答案：

11

(1),??在8：00發(fā)出的概率為48：20發(fā)出的概率為2

第一班若在8：20或8：40發(fā)出，則旅客能乘到，這兩個事件是互斥的,

113

根據(jù)互斥事件的概率公式得到其概率為P=2+4=4.

(2)由題意知候車時間X的可能取值是10,30,50,70,90

根據(jù)條件中所給的各個事件的概率，得到

111

11—Xv———

P(X=10)=2,P(X=30)=4,P(X=50)=4416,

P(X=70)=42~8,P(X=90)=16,

旅客候車時間的分布列為：

候車時間X(分)1030507090

1

概率24?68?6

(3)候車時間的數(shù)學期望為

11_L1_L

10X2+30X4+50X164-70X8+90X16

25253545

=5+-2-+_8-+-4_+_8'=30.

即這旅客候車時間的數(shù)學期望是30分鐘.

12.有下列關系:

(1)名師出高徒；(2)球的體積與該球的半徑之間的關系；(3)蘋果的產量與氣

候之間的關系；(4)森林中的同一種樹，其斷面直徑與高度之間的關系;

(5)學生與他(她)的學號之間的關系;

(6)烏鴉叫，沒好兆；其中，具有相關關系的是

參考答案：

(1)(3)(4)

13.已知拋物線y=2px(p>0)上一點M(l,m),到其焦點的距離為5,雙曲線x2-=l的左

頂點為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實數(shù)a=.

參考答案：

4

14.在用十。中，斯=4。=2.如果一個橢圓通過4、3兩點，它的一個焦點為點

另一個焦點在

邊出上，則這個橢圓的焦距為.

參考答案：

如

aT

15.a>h貝Ia-1的最小值是___.

參考答案：

3

【分析】根據(jù)a>l可將a-1看成一整體，然后利用均值不等式進行求解，求出最值，注

意等號成立的條件即可.

【解答】解：；a>l,

aTA

a-l=a-1+a-1+1>2+1=3

當a=2時取到等號，

故答案為3

【點評】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及均值不等式的應用，屬于基礎

題.

16.已知AA8C為等邊三角形，AB=2,設P、Q滿足#=宓，3=。-孫10,

ZeR則2=

參考答案：

2或-1

z!￡

17.已知點P是橢圓4+3=1上任一點，那點P到直線1：x+2y-12=0的距離的最小值

為—,

參考答案：

8娓

"V

【考點】橢圓的簡單性質.

【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】運用橢圓的參數(shù)方程，設出點P,再由點到直線的距離公式及兩角和的正弦公

式，結合正弦函數(shù)的值域，即可得到最小值.

【解答】解：設點P(2cosa，遮sina)(0WaW2n),

12cosa+2A/^sina-⑵

則點P到直線x+2y-12=0的距離為d=V5

|4sin(CL+30°)-12|

=飛

8娓

當sin(a+30°)=1時，d取得最小值，且為飛-.

875

故答案為：-T.

【點評】本題考查橢圓的方程和運用，考查橢圓的參數(shù)方程的運用：求最值，考查點到直

線的距離公式，考查三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知曲線C的極坐標方程是。=1,以極點為原點，極軸為X軸的正半軸建立平

*

x=l+—.

-2+=/

,-u+---/

面直角坐標系，直線，的參數(shù)方程為12為參數(shù))。

（1）寫出直線/與曲線C的直角坐標方程；

xr=2x,

<

（2）設曲線c經過伸縮變換卜'=>得到曲線c'，設曲線上任一點為

“（XJ）,求X+2傷的最小值。

參考答案:

⑴/j3x-,y+2-73=0

解:

2

Cx+/=1（2分）

X'

x'=2xX=—

2

j=y

(2))=v代入c得

2

..Cr:—r+/=1

4

(5分)

x=2cos8

，A（°

設橢圓的參數(shù)方程J=刖8為參

數(shù)）（7分）

則x+=28S0+2A$m0=4?n(0+*)

（9分）

則x+2傷的最小值為-

40（10分）

略

/y2

口TT-5+-y=1（。>5>U）r?

19.（本題滿分12分）已知4?瑪是橢圓/b2'的兩個焦點，過冬的弦

AB,若&48罵的周長為16,離心率'-2.

（I）求該橢圓的標準方程及其焦點坐標；

（H）若A,A?是橢圓長軸上的兩個頂點，P是橢圓上不同于的任意一點.求證：直線

A,P與直線A2P的斜率之積是定值.

參考答案：

—也

（I刈=〔6=4ana=4又，-2,.工=2技b==2

故該橢圓的標準方程為：16+T~,焦點坐標為：8（-2&0）,瑪（2忑,0）；

yy

（11）設則41.0）.4（4.0）,地

20.（本小題滿分10分）

某農家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿.公司欲提高檔次，并

提高租金.如果每間日房租每增加1元，客房出租數(shù)就會減少5間.若不考慮其他因素，

旅游公司將房間租金提高X元，每天客房的租金總收入了元.

（1）寫出了與X之間的函數(shù)關系式；

（2）旅游公司將房間租金提高到多少元時，每天客房的租金總收入最高？

參考答案：

⑴由題知尸（20+x）C?00-5x）

即

y=-5xa+200x+6000（X€[0,60]......

,?,5分

（2）.>=-20）2+8000

..x=20時為x=8000

所以旅游公司將房間租金提高到40元時，每天客房的租金總收入最高.......10分

21.（11分）如圖，ABCD-AIBIGDI是正方體，0、M、N分別是BQi、ABi、ADi的中

點，直線AC交平面ABQi于點P.

（I）證明：MNII平面CBIDI