延邊市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

延邊市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)上有兩個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有極大值16D.函數(shù)有最小值3．已知雙曲線左右焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，若線段的中垂線過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.4．命題：，的否定為（）A.， B.不存在，C.， D.，5．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，、分別是的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交于、兩點(diǎn)，若的周長為，則的離心率為（）A. B.C. D.6．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A. B.C. D.7．若傾斜角為的直線過，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.8．在三棱錐中，，D為上的點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.9．在中，若，則（）A.150° B.120°C.60° D.30°10．某班對(duì)期中成績進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將60個(gè)同學(xué)的成績按01，02，03，……，60進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第9行第5列的數(shù)1開始向右讀，則選出的第6個(gè)個(gè)體是（）（注：如下為隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行）6301637859169555671998105071751286735833211234297864560782524507443815510013A.07 B.25C.42 D.5211．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.12．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)處取極值，則___________14．已知幾何體如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長為1，點(diǎn)M在DG上，若直線MB與平面BEF所成的角為45°，則___________.15．在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形的內(nèi)切圓周長為，外接圓周長為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則__________16．如圖，在四面體中，BA，BC，BD兩兩垂直，，，則二面角的大小為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖是一個(gè)正三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知，，M為AB中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求此幾何體的體積.18．（12分）已知直線與直線交于點(diǎn).（1）求過點(diǎn)且平行于直線的直線的方程，并求出兩平行直線間的距離；（2）求過點(diǎn)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線的方程.19．（12分）已知圓（1）若直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)弦長最短時(shí),求直線l的方程;（2）若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點(diǎn)的軌跡方程20．（12分）已知拋物線C的對(duì)稱軸是y軸，點(diǎn)在曲線C上.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過拋物線焦點(diǎn)的傾斜角為直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長度.21．（12分）已知拋物線C：上一點(diǎn)與焦點(diǎn)F的距離為（1）求和p的值；（2）直線l：與C相交于A，B兩點(diǎn)，求直線AM，BM的斜率之積22．（10分）如圖，已知平面，底面為正方形，，分別為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】∵“”?“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”，“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”?“”，∴“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的充要條件，故選C.2、C【解析】對(duì)求導(dǎo)，研究的單調(diào)性以及極值，再結(jié)合選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，由，得或，由，得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以極大值為，極小值為，所以有3個(gè)零點(diǎn)，且無最小值.故選：C3、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率【詳解】由題意又則有：可得：，，中，中．可得：解得：則有：故選：C4、D【解析】含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結(jié)論即可【詳解】解：命題：，的否定為：，故選：D5、A【解析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)的周長為得出，最后根據(jù)求出的值，即可求出的離心率.【詳解】因?yàn)闄E圓的面積為，所以長半軸長與短半軸長的乘積，因?yàn)榈闹荛L為，所以根據(jù)橢圓的定義易知，，，，則的離心率，故選：A.6、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A7、C【解析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系得到直線的斜率為，再根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選：C8、B【解析】根據(jù)幾何關(guān)系以及空間向量的線性運(yùn)算即可解出【詳解】因?yàn)?，所以，即故選：B9、C【解析】根據(jù)正弦定理將化為邊之間的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】若,則根據(jù)正弦定理得：，即,而，故，故選：C.10、D【解析】從指定位置起依次讀兩位數(shù)碼，超出編號(hào)的數(shù)刪除.【詳解】根據(jù)題意，從隨機(jī)數(shù)表第9行第5列的數(shù)1開始向右讀，依次選出的號(hào)碼數(shù)是：12，34，29，56，07，52；所以第6個(gè)個(gè)體是52.故選：D.11、C【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C12、C【解析】先由圖像分析出的正負(fù)，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí),;當(dāng)x∈(0,2)時(shí),.因?yàn)榭苫癁榛?，解得?<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】=．因?yàn)閒（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值14、##【解析】把該幾何體補(bǔ)成一個(gè)正方體，如圖，利用正方體的性質(zhì)證明面面垂直得出直線MB與平面BEF所成的角，然后計(jì)算可得【詳解】把該幾何體補(bǔ)成一個(gè)正方體，如圖，，連接，由平面，平面，得，同理，又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，所以平面內(nèi)的直線在平面上的射影是，即是直線MB與平面BEF所成的角，，，，故答案為：15、【解析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.詳解：平面幾何中，圓的周長與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因?yàn)檎拿骟w的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.16、【解析】取的中點(diǎn)為，連接，由面面角的定義得出二面角的平面角為，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得出二面角的大小.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以二面角的平面角為，因?yàn)?，，所以為等腰直角三角形，即二面角的大小?故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】(1)取的中點(diǎn)，連接，,可得四邊形為平行四邊形，從而可得，然后證明平面，從而可證明.(2)過作截面平面，分別交，于，，連接，作于,由所求幾何體體積為從而可得答案.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn).所以且又因?yàn)椋?，所以且，故四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)檎切?，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面又，所以平?【小問2詳解】如圖，過作截面平面，分別交，于，，連接，作于，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)，則平面因?yàn)?，，，所?所以所求幾何體體積為18、（1）；.（2）或.【解析】(1)首先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線方程，再根據(jù)兩平行直線之間距離公式即可計(jì)算距離；(2)根據(jù)截距式方程的求法解答【小問1詳解】由得設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，∴直線的方程為∴兩平行線間的距離【小問2詳解】當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，即；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)得，∴直線的方程的方程為，即綜上所述，直線的方程為或19、（1）（2）【解析】(1)先求出直線過的定點(diǎn),再根據(jù)弦長|AB|最短時(shí),求解.(2)用直譯法求解【小問1詳解】直線即,所以直線過定點(diǎn).當(dāng)弦長|AB|最短時(shí),因?yàn)橹本€PC的斜率所以此時(shí)直線的斜率所以當(dāng)弦長|AB|最短時(shí),求直線的方程為,即【小問2詳解】設(shè),易知圓心D在軸上方,圓D半徑為因?yàn)閳A與圓外切,所以即整理得點(diǎn)的軌跡方程為20、（1）（2）16【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，再代入求解即可.（2）根據(jù)焦點(diǎn)弦公式求解即可.【小問1詳解】由題意知拋物線C的對(duì)稱軸是y軸，點(diǎn)在曲線C上，所以拋物線開口向上，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得：，解得則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】焦點(diǎn)，則直線的方程是，設(shè)，，由得，，所以，則，故.21、（1）（2）【解析】（1）結(jié)合拋物線的定義以及點(diǎn)坐標(biāo)求得以及.（2）求得的坐標(biāo)，由此求得直線AM，BM的斜率之積.【