山東省泰安市寧陽縣一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

山東省泰安市寧陽縣一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.482．已知集合，則（）A. B.C. D.3．是橢圓的焦點，點在橢圓上，點到的距離為1，則到的距離為（）A.3 B.4C.5 D.64．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點，且，若為以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．《九章算術(shù)》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側(cè)面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬，上寬，深，平面BDEC是水平面，末端寬，無深，長（直線到的距離），則該羨除的體積為（）A. B.C. D.6．已知正實數(shù)a，b滿足，若不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則（）A.3 B.C. D.8．已知直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，則a＝（）A. B.C.﹣1 D.19．某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）是產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，生產(chǎn)成本（萬元）是產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，要使利潤最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（）A.6千臺 B.7千臺C.8千臺 D.9千臺10．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.1211．在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)，則方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是A. B.C. D.12．為迎接2022年冬奧會，某校在體育冰球課上加強冰球射門訓(xùn)練，現(xiàn)從甲、乙兩隊中各選出5名球員，并分別將他們依次編號為1，2，3，4，5進(jìn)行射門訓(xùn)練，他們的進(jìn)球次數(shù)如折線圖所示，則在這次訓(xùn)練中以下說法正確的是（）A.甲隊球員進(jìn)球的中位數(shù)比乙隊大 B.乙隊球員進(jìn)球的中位數(shù)比甲隊大C.乙隊球員進(jìn)球水平比甲隊穩(wěn)定 D.甲隊球員進(jìn)球數(shù)的極差比乙隊小二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若拋物線經(jīng)過點，則__________.14．已知空間向量，則使成立的x的值為___________15．已知拋物線的焦點F在直線上，過點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為____________16．已知函數(shù)定義域為，值域為，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線中心在原點，離心率為2，一個焦點（1）求雙曲線方程；（2）設(shè)Q是雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若，求直線l的方程18．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的一點.（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點B到平面DFE距離.19．（12分）如圖，已知雙曲線，過向雙曲線作兩條切線，切點分別為，，且.（1）證明：直線的方程為.（2）設(shè)為雙曲線的左焦點，證明：.20．（12分）已知函數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值.21．（12分）已知拋物線E：過點Q(1，2)，F(xiàn)為其焦點，過F且不垂直于x軸的直線l交拋物線E于A，B兩點，動點P滿足△PAB的垂心為原點O.（1）求拋物線E的方程；（2）求證：動點P在定直線m上，并求的最小值.22．（10分）已知數(shù)列中，數(shù)列的前n項和為滿足.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在和中插入k個數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項和公差都為2的等差數(shù)列.求數(shù)列的前50項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎(chǔ)題型.2、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運算求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴.故選：C.3、C【解析】利用橢圓的定義直接求解【詳解】由題意得，得，因為，，所以，故選：C4、C【解析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關(guān)系式，變形后可得離心率【詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，故選：C5、C【解析】在，上分別取點，，使得，連接，，，把幾何體分割成一個三棱柱和一個四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計算【詳解】如圖，在，上分別取點，，使得，連接，，，則三棱柱是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選：C【點睛】思路點睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理分割，將不規(guī)則幾何體體積的計算轉(zhuǎn)化為錐體、柱體體積的計算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力6、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【詳解】因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號由題意，得，即對任意的實數(shù)x恒成立，又，所以，即故選：D7、B【解析】由導(dǎo)數(shù)運算法則求出導(dǎo)發(fā)函數(shù)，然后可得導(dǎo)數(shù)值【詳解】由題意，所以故選：B8、A【解析】利用兩直線垂直斜率關(guān)系，即可求解.【詳解】直線l1：y＝x+2與l2：2ax+y﹣1＝0垂直，.故選:A【點睛】本題考查兩直線垂直間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】構(gòu)造利潤函數(shù)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求得最大值處對應(yīng)的自變量即可.【詳解】設(shè)利潤為y萬元，則，∴.令，解得（舍去）或，經(jīng)檢驗知既是函數(shù)的極大值點又是函數(shù)的最大值點，∴應(yīng)生產(chǎn)6千臺該產(chǎn)品.故選：A【點睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，與一個為最大值，一個為最小值(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或小)值點，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到10、B【解析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個由8個全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B11、D【解析】若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，，故方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是，故選D.12、C【解析】根據(jù)折線圖，求出甲乙中位數(shù)、平均數(shù)及方差、極差，即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題圖，甲隊數(shù)據(jù)從小到大排序為，乙隊數(shù)據(jù)從小到大排序為，所以甲乙兩隊的平均數(shù)都為5，甲、乙進(jìn)球中位數(shù)相同都為5，A、B錯誤；甲隊方差為，乙隊方差為，即，故乙隊球員進(jìn)球水平比甲隊穩(wěn)定，C正確.甲隊極差為6，乙隊極差為4，故甲隊極差比乙隊大，D錯誤.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】將點代入拋物線方程即可得出答案.【詳解】解：因為拋物線經(jīng)過點，所以，即.故答案為：2.14、##【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)x的值.【詳解】由題設(shè)，，可得.故答案為：.15、【解析】設(shè)A，B分別為，由焦點在已知直線上求F坐標(biāo)及拋物線方程，再根據(jù)題設(shè)三角形的面積關(guān)系可得，并設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求參數(shù)m，即可知直線l的方程.【詳解】設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為，直線，令可得，故焦點F的坐標(biāo)為，所以，由，，而△的面積是△面積的4倍，所以，即，設(shè)直線l為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，所以，代入，有，可得，則直線l的方程為故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)拋物線焦點位置及其所在直線求拋物線方程，由面積關(guān)系得到交點縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，注意交點在x軸兩側(cè)，再設(shè)直線聯(lián)立拋物線求參數(shù)即可.16、3【解析】根據(jù)定義域和值域，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求得的值，進(jìn)而得解.【詳解】因為，由余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得，則，由值域為可得，所以，故答案為：3.【點睛】本題考查了余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）依題意設(shè)所求的雙曲線方程為，則，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；（2）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)，即可得到的坐標(biāo)，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標(biāo)，再根據(jù)的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；【小問1詳解】解：設(shè)所求的雙曲線方程為（，），則，，∴，又則，∴所求的雙曲線方程為【小問2詳解】解：∵直線l與y軸相交于M且過焦點，∴l(xiāng)的斜率一定存在，則設(shè)．令得，∵且M、Q、F共線于l，∴或當(dāng)時，，，∴，∵Q在雙曲線上，∴，∴，當(dāng)時，，代入雙曲線可得：，∴綜上所求直線l的方程為：或18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結(jié)合向量法求得到平面的距離.【小問1詳解】以B為坐標(biāo)原點，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得，，，.，.因為，所以.【小問2詳解】，設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因為平面的法向量為，所以.由題設(shè)，可得，所以.點B到DFE平面距離.19、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)出切線方程，聯(lián)立后用韋達(dá)定理及根的判別式進(jìn)行表達(dá)出A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出直線的方程，化簡即為結(jié)果；（2）再第一問的基礎(chǔ)上，利用向量的夾角公式表達(dá)出夾角的余弦值，進(jìn)而證明出結(jié)論.【小問1詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，化簡得.因為方程有兩個相等實根，故切點A的橫坐標(biāo)，得，則，故，則，即.【小問2詳解】同理可得，又與均過，所以.故，，，又因為，所以，則，，故，故.【點睛】圓錐曲線中證明角度相關(guān)的問題，往往需要轉(zhuǎn)化為斜率或向量進(jìn)行求解.20、最大值為，最小值為【解析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，進(jìn)而可得極值，比較極值和端點值的大小即可求解.【詳解】由可得：，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又因為，，所以，綜上所述：函數(shù)在上的最大值為，最小值為.21、（1）；（2）證明見解析，的最小值為.【解析】（1）將點的坐標(biāo)代入拋物線方程，由此求得的值，進(jìn)而求得拋物線的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，寫出韋達(dá)定理，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程求得的坐標(biāo)，由此判斷出動點在定直線上.求得的表達(dá)式，利用基本不等式求得其最小值.【詳解】（1）將點坐標(biāo)代入拋物線方程得，所以.（2）由（1）知拋物線的方程為，所以，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去得，所以.由于為三角形的垂心，所以，所以直線的方程為，即.同理可求得直線的方程為.由，結(jié)合，解得，所以在定直線上.直線的方程為，到直線的距離為，到直線的距離為.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最小值為.【點睛】本小題主要考查拋物線方程的求法，考查直線和