2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第九章統(tǒng)計(jì)9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE9.2.2總體百分位數(shù)的估計(jì)9.2.3總體集中趨勢(shì)的估計(jì)素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．學(xué)會(huì)計(jì)算樣本百分位數(shù)，會(huì)對(duì)總體百分位數(shù)做出合理估計(jì).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．理解平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義，會(huì)從已知數(shù)據(jù)中獲得上述特征數(shù)值.(數(shù)據(jù)分析)1．對(duì)比中位數(shù)，感受百分位數(shù)的含義，進(jìn)一步體會(huì)四分位數(shù)的特征和價(jià)值.2．要始終基于詳細(xì)的案例體會(huì)數(shù)據(jù)向均值集中的趨勢(shì).必備學(xué)問·探新知學(xué)問點(diǎn)1百分位數(shù)1．第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有__p%__的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.2．計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按__從小到大__排列原始數(shù)據(jù).第2步，計(jì)算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的__平均數(shù)__.3．四分位數(shù)25%,50%,75%這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)，其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).學(xué)問點(diǎn)2眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中__出現(xiàn)次數(shù)最多__的數(shù).(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小依次排列后，處于__中間__位置的數(shù).假如個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取__中間__兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的__和__除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù).[學(xué)問解讀]1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的理解(1)一組數(shù)據(jù)中，某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).說明：假如有幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這幾個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).(2)假如一組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，且依據(jù)從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數(shù)的中位數(shù)；假如一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且依據(jù)從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱eq\f(xn＋xn＋1,2)為這組數(shù)的中位數(shù).(3)假如給定的一組數(shù)是x1，x2，…，xn，則這組數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).2．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對(duì)極端值不敏感中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對(duì)極端值不敏感平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對(duì)樣本中的極端值更加敏感任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變更都會(huì)引起平均數(shù)的變更，數(shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一百分位數(shù)的計(jì)算典例1從某珍寶公司生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨意抽取12顆珍寶，得到它們的質(zhì)量(單位：g)如下：7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0．(1)分別求出這組數(shù)據(jù)的第25,50,95百分位數(shù)；(2)請(qǐng)你找出珍寶質(zhì)量較小的前15%的珍寶質(zhì)量；(3)若用第25,50,95百分位數(shù)把公司生產(chǎn)的珍寶劃分為次品、合格品、優(yōu)等品和特優(yōu)品，依照這個(gè)樣本的數(shù)據(jù)，給出該公司珍寶等級(jí)的劃分標(biāo)準(zhǔn).[解析](1)將全部數(shù)據(jù)從小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×25%＝3,12×50%＝6,12×95%＝11.4，則第25百分位數(shù)是eq\f(8.0＋8.3,2)＝8.15，第50百分位數(shù)是eq\f(8.5＋8.5,2)＝8.5，第95百分位數(shù)是第12個(gè)數(shù)據(jù)為9.9．(2)因?yàn)楣灿?2個(gè)數(shù)據(jù)，所以12×15%＝1.8，則第15百分位數(shù)是第2個(gè)數(shù)據(jù)為7.9．即產(chǎn)品質(zhì)量較小的前15%的產(chǎn)品有2個(gè)，它們的質(zhì)量分別為7.8,7.9．(3)由(1)可知樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是8.15g，第50百分位數(shù)為8.5g，第95百分位數(shù)是9.9g，所以質(zhì)量小于或等于8.15g的珍寶為次品，質(zhì)量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍寶為合格品，質(zhì)量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍寶為優(yōu)等品，質(zhì)量大于9.9g的珍寶為特優(yōu)品.[歸納提升]1．計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的一般步驟：(1)排列：依據(jù)從小到大排列原始數(shù)據(jù)；(2)算i：計(jì)算i＝n×p%；(3)定數(shù)：若i不是整數(shù)，大于i的最小整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).2．依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)，首先要理解頻率分布直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率的計(jì)算，其次估計(jì)百分位數(shù)在哪一組，再應(yīng)用方程的思想方法，設(shè)出百分位數(shù)，解方程可得.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)求下列數(shù)據(jù)的四分位數(shù).13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20．(2)某年級(jí)120名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成果全部介于13秒與18秒之間.將測(cè)試結(jié)果分成5組：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.假如從左到右的5個(gè)小矩形的面積之比為1︰3︰7︰6︰3，那么成果的70%分位數(shù)約為__16.5__秒.[解析](1)把12個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列可得：12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31，計(jì)算12×25%＝3,12×50%＝6,12×75%＝9，所以數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為eq\f(15＋18,2)＝16.5，第50百分位數(shù)為eq\f(20＋22,2)＝21，第75百分位數(shù)為eq\f(27＋28,2)＝27.5．(2)設(shè)成果的70%分位數(shù)為x，因?yàn)閑q\f(1＋3＋7,1＋3＋7＋6＋3)＝0.55，eq\f(1＋3＋7＋6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.85，所以x∈[16,17)，所以0.55＋(x－16)×eq\f(6,1＋3＋7＋6＋3)＝0.70，解得x＝16.5(秒).題型二眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算典例2某小區(qū)廣場(chǎng)上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練，兩群市民的年齡如下(單位：歲)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56．(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征？(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲？其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征？[解析](1)甲群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(歲)，中位數(shù)為15歲，眾數(shù)為15歲.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等，因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為eq\f(54＋3＋4＋4＋5＋6＋6＋6＋6＋56,10)＝15(歲)，中位數(shù)為6歲，眾數(shù)為6歲.由于乙群市民大多數(shù)是兒童，所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征，而平均數(shù)的牢靠性較差.[歸納提升]平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法平均數(shù)一般是依據(jù)公式來(lái)計(jì)算的；計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的依次排列，再依據(jù)各自的定義計(jì)算.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?某班甲、乙兩位同學(xué)在5次階段性檢測(cè)中的數(shù)學(xué)成果(百分制)如下所示，甲的成果是75,83,85,85,92，乙的成果是74,84,84,85,98，甲、乙兩位同學(xué)得分的中位數(shù)分別為x1，x2，得分的平均數(shù)分別為y1，y2，則下列結(jié)論正確的是(D)A．x1<x2，y1<y2 B．x1<x2，y1>y2C．x1>x2，y1>y2 D．x1>x2，y1<y2[解析]由題意可得x1＝85，x2＝84，故x1>x2，而甲的平均數(shù)y1＝eq\f(1,5)×(75＋83＋85＋85＋92)＝84，乙的平均數(shù)y2＝eq\f(1,5)×(74＋84＋84＋85＋98)＝85，故y1<y2．題型三總體集中趨勢(shì)的估計(jì)典例3某校從參與高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成果的眾數(shù)、中位數(shù)、平均分；(2)估計(jì)該校參與高二年級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).[解析](1)①由題圖知眾數(shù)為eq\f(70＋80,2)＝75．②由題圖知，設(shè)中位數(shù)為x，由于前三個(gè)矩形面積之和為0.4，第四個(gè)矩形面積為0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位數(shù)位于第四個(gè)矩形內(nèi)，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3．③由題圖知這次數(shù)學(xué)成果的平均分為：eq\f(40＋50,2)×0.005×10＋eq\f(50＋60,2)×0.015×10＋eq\f(60＋70,2)×0.02×10＋eq\f(70＋80,2)×0.03×10＋eq\f(80＋90,2)×0.025×10＋eq\f(90＋100,2)×0.005×10＝72．(2)由于數(shù)據(jù)是來(lái)自高二年級(jí)全部參與學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生的簡(jiǎn)潔隨機(jī)樣本，所以可以估計(jì)高二年級(jí)參與學(xué)業(yè)水平測(cè)試的學(xué)生的眾數(shù)是75，中位數(shù)是73.3，平均分是72．[歸納提升]用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：取最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù).(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積相等的部分的分界線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù).(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：mm)進(jìn)行檢測(cè)，如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)為(C)A．20 B．25C．22.5 D．22.75[解析]產(chǎn)品的中位數(shù)出現(xiàn)在概率是0.5的地方.自左至右各小矩形面積依次為0.1,0.2,0.4，…，設(shè)中位數(shù)是x，則由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故選C．易錯(cuò)警示不能正確理解平均數(shù)的含義典例4下列推斷正確的是(D)A．樣本平均數(shù)肯定小于總體平均數(shù)B．樣本平均數(shù)肯定大于總體平均數(shù)C．樣本平均數(shù)肯定等于總體平均數(shù)D．樣本量越大，樣本平均數(shù)越接近于總體平均數(shù)[錯(cuò)解]A或B或C．[錯(cuò)因