浙江省麗水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題

麗水市2023學(xué)年第二學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控高二數(shù)學(xué)試題卷本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫(xiě)在答題紙上.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題紙上.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集運(yùn)算法則求解即可.【詳解】由題意，集合，，所以故選：C2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】用復(fù)數(shù)的除法法則和模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】，.故選：.3.已知，則“”是“”成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別判斷充分條件和必要條件是否成立，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，和無(wú)意義，可知“”是“”的不充分條件；當(dāng)時(shí)，，可知“”是“”必要條件；綜上所述：“”是“”的必要不充分條件本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.4.已知直線和平面，則下列判斷中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中直線，平面的位置關(guān)系分析判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，由，，則與可能平行，相交，異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，則，故C正確；對(duì)于D，由，，則或或，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.若樣本，，，，的平均數(shù)為10，方差為20，則樣本，，，，的平均數(shù)和方差分別為（）A.16，40 B.16，80 C.20，40 D.20，80【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)與方差的線性公式，即可求解【詳解】因?yàn)闃颖?，，，，的平均?shù)為10，方差為20，所以樣本，，，，的平均數(shù)，方差為.故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析得到，即得解.【詳解】由題得，，且..所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7.一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，除標(biāo)號(hào)外沒(méi)有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次，設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，事件“第二次摸出球的標(biāo)號(hào)小于3”，事件“第一次摸出球的標(biāo)號(hào)為奇數(shù)”，則（）A.與互斥 B.與相互獨(dú)立C.與互斥 D.與相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】以、分別表示第次、第次摸球的編號(hào)，以為一個(gè)基本事件，列舉出所有的基本事件，以及事件、、、、所包含的基本事件，利用互斥事件以及獨(dú)立事件的定義逐項(xiàng)判斷，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】以、分別表示第次、第次摸球的編號(hào)，以為一個(gè)基本事件.摸球方式為不放回摸球，則所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、，共3種，則，根據(jù)互斥事件的概念可知與不互斥，所以A錯(cuò)誤；，，所以與不相互獨(dú)立，所以B錯(cuò)誤；，根據(jù)互斥事件的概念可知與不互斥，所以C錯(cuò)誤；，，所以與相互獨(dú)立，所以D正確.故選：D8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，是偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性定義，再加賦值可解.【詳解】的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，則（?）；是偶函數(shù)，則，則的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，則（??）；令代入（?）得，，解得，代入（??）得到.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，，則（）A. B.C. D.向量在向量上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示相關(guān)知識(shí)逐一作答.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，不存在?shí)數(shù)使得成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，向量在向量上的投影向量為，故D正確，故選：BD10.在中，角所對(duì)的邊分別為，，，以下判斷正確的是（）A.若，則的面積為 B.若，則C.若，則 D.若有兩解，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可判斷A；根據(jù)正弦定理計(jì)算即可判斷B；根據(jù)余弦定理計(jì)算即可判斷C；根據(jù)正弦定理和且即可判斷D.【詳解】A：若，則，故A正確；B：若，由正弦定理得，即，解得，故B錯(cuò)誤；C：若，由余弦定理得，即，整理得，由解得，故C正確；D：由正弦定理得，則，由得，若有兩個(gè)解，則且，所以，即，解得，故D正確.故選：ACD11.如圖，在矩形中，，是的中點(diǎn)，沿直線將翻折成（不在平面內(nèi)），是的中點(diǎn)，設(shè)二面角的大小為.（）A.若，則B.直線與所成的角為定值C.若，則三棱錐的外接球的表面積為D.設(shè)直線與平面所成的角為，則【答案】BCD【解析】【分析】如圖，利用反證法即可判斷A；如圖，確定為異面直線與的所成角，即可判斷B；如圖，確定外接球的球心位置，建立關(guān)于R的方程，解之即可判斷C；如圖，確定、，求出即可判斷D.【詳解】A：，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，四邊形為正方形，所以.假設(shè)，由平面，得平面，又平面，所以，這與“”矛盾，所以假設(shè)不成立，故A錯(cuò)誤；B：取的中點(diǎn)，連接，則且，所以四邊形是平行四邊形，故，所以為異面直線與的所成角.由，得，則，所以，即異面直線與的所成角為定值，故B正確；C：如圖，由選項(xiàng)A的分析知為二面角的平面角，即.當(dāng)時(shí)，，易知，，則為外接圓的圓心.過(guò)作于，過(guò)作，在上取使得，則四邊形為矩形，得，則為三棱錐外接球的球心，設(shè)其半徑為，則，所以，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積為，故C正確；D：過(guò)作平面于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，為二面角的平面角，即，為直線與平面所成的角，即，由，平面，知平面，又平面，所以，所以為的中點(diǎn)，得，又，所以，即，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決選項(xiàng)A的關(guān)鍵是熟練反證法的應(yīng)用；解決選項(xiàng)B的關(guān)鍵是為異面直線與的所成角；解決選項(xiàng)C的關(guān)鍵是確定外接球的球心位置；解決選項(xiàng)D的關(guān)鍵是確定、.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，先求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得，所以.故答案為：.13.已知，，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式可得，即可根據(jù)同角關(guān)系求解.【詳解】由可得，進(jìn)而可得，由于，故，進(jìn)而可得，故，故答案為；14.已知，，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】令，把已知式用表示，也用表示后，利用基本不等式求得最小值.【詳解】令，則，且，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是換元法后利用“1”的代換，使用基本不等式求解最值.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值，以及相應(yīng)的值.【答案】（1）（2）2，【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換得到，利用求出最小正周期；（2）時(shí)，，整體法求出函數(shù)的最大值及相應(yīng)的的值.【小問(wèn)1詳解】，所以周期；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，則，的最大值為2，此時(shí)，即.16.本學(xué)期初，某校對(duì)全校高二學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生成績(jī)，被抽取的成績(jī)?nèi)拷橛?0分到100分之間（滿(mǎn)分100分），將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按照如下方式分成六組：第一組，第二組，…，第六組，畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求該樣本的中位數(shù)；（3）為進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從分?jǐn)?shù)位于的學(xué)生中，按照第二組，第三組，第四組分層抽樣6人，再?gòu)?人中任取2人，求此2人分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率.【答案】（1）（2）75（3）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1列方程即可求解；（2）結(jié)合頻率分布直方圖和中位數(shù)的定義即可求解；（3）通過(guò)列舉法和對(duì)立事件即可求得概率.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可得：，得；【小問(wèn)2詳解】設(shè)中位數(shù)為該樣本的中位數(shù)為，所以，得；【小問(wèn)3詳解】由分層抽樣知，第二組中抽1人，記作，第三組中抽2人，記作，第四組中抽3人，記作，這6人中抽取2人有，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)樣本點(diǎn)；2人來(lái)自同一組的有，，，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以2人來(lái)自不同組的的概率.17.如圖，在四棱錐中，，，，平面，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)中位線和平行四邊形的性質(zhì)得到，然后利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)線面角的定義得到為直線與平面所成角，然后求正弦值即可.小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，所以，，又，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面所以平面；【小問(wèn)2詳解】過(guò)作直線的垂線，為垂足，連結(jié)，由三棱錐的體積為，得，解得，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，平面，且，所以平面，又平面，所以平面平面，所以直線在平面上的射影為直線，所以即為與平面所成角，在中，，所以，所以與平面所成角的正弦值為.18.已知，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)；（3）設(shè)，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將不等式化簡(jiǎn)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可；（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理即可證明；（3）作差變形后，結(jié)合基本不等式利用作差法即可判斷.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，不等式即為，即，所以，解得；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，，，所以由零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在內(nèi).【小問(wèn)3詳解】由知，，因?yàn)?，所?19.設(shè)為正整數(shù)，，，記.（1）當(dāng)時(shí)，若，，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，設(shè)是的子集，且滿(mǎn)足：對(duì)于中的任意兩個(gè)不同的元素，.寫(xiě)出一個(gè)集合，使其元素個(gè)數(shù)最多；（3）當(dāng)時(shí)，，，其中是銳角的三個(gè)內(nèi)角，證明：.【答案】（1）0（2