寒假作業(yè)12探究與表達規(guī)律（原卷版）

限時練習：30min完成時間：月日天氣：寒假作業(yè)12探究與表達規(guī)律一、圖形規(guī)律探究的一般步驟：1.寫序號:記每組圖形的序數(shù)為“1，2,3，...，n"(如題圖中的圖分別標為圖①，圖②，圖③，...；2.數(shù)圖形個數(shù):在圖形數(shù)量變化時，要記錄每組圖形個數(shù)(圖①，圖②,圖③，...分別是由幾個圖形組成)；3.尋找圖形數(shù)量與序數(shù)n的關系：①觀察所給圖形和上一個圖(基礎圖)，找出增加的部分；②將增加的圖形個數(shù)用含序數(shù)的式子表示出來；③歸納出含有序數(shù)n的關系式．二、數(shù)字規(guī)律探究的一般步驟：1.當所給的組數(shù)是整數(shù)時，先觀察這組數(shù)字是自然數(shù)列、正數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列還是正整數(shù)列經(jīng)過平方、平方加1或減1等運算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)字的符號，判斷數(shù)字符號的正負是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn)一種符號，最后把數(shù)字規(guī)律和符號規(guī)律結合起來從而得到結果；2.當數(shù)字是分數(shù)和整數(shù)結合時，先把這組數(shù)據(jù)的所有整數(shù)寫成分數(shù)，然后分別推斷出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第n項的規(guī)律；3.當所給的代數(shù)式含有系數(shù)時，先觀察其每一項的系數(shù)之間是否有自然數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列或交替存在一定的對稱性，然后觀察其指數(shù)是否存在相似的規(guī)律，最后將系數(shù)和指數(shù)的規(guī)律結合起來求得結果．三、等式規(guī)律探究的一般步驟1.標序數(shù)；2.對比式子與序號，即分別比較等式中各部分與序數(shù)(1，2,3,4，...，n)之間的關系，把其隱含的規(guī)律用含序數(shù)的式子表示出來，通常方法是將式子進行拆分，觀察式子中數(shù)字與序號是否存在倍數(shù)或者次方的關系；3.根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個等式，并進行檢驗．1．用火柴棍搭建如圖所示的小魚圖形，搭建第6個小魚圖形需要用到的火柴棍根數(shù)是（

）

A．36 B．38 C．40 D．482．工人師傅要把一根質地均勻的圓柱形木料鋸成若干段，按如圖的方式鋸開，每鋸斷一次所用的時間相同．若鋸成6段需要10分鐘，則鋸成（，且為整數(shù)）段所需的時間為（

）

A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘3．一個紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍紫的順序重復排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個數(shù)可能是（

）A． B． C． D．4．已知整數(shù)，，，，滿足下列條件：，，，，依此類推，則的值為（

）A． B． C． D．5．一組按規(guī)律排列的單項式：，，，，…，其中第10個式子是（）A． B． C． D．6．如圖，是按照一定規(guī)律畫出的“樹形圖”，經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖①中有1個“樹枝”，圖②中有3個“樹枝”，圖③中有7個“樹枝”……照此規(guī)律，圖⑦中有（

）個“樹枝”．

A．63個 B．87個 C．91個 D．127個7．將一張長方形的紙按如圖對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，第一次對折后可得到1條折痕（圖中虛線），第二次對折后可得到3條折痕，第三次對折后得到7條折痕，那么第7次對折后得到的折痕比第5次對折后得到的折痕多條．

8．觀察下列圖形：根據(jù)圖形的變化規(guī)律，第個圖形共有個點．

9．你玩過“數(shù)字黑洞”的游戲嗎？下面我們就來玩一種數(shù)字游戲，它可以產(chǎn)生“黑洞數(shù)”，操作步驟如下：第一步，任意寫出一個自然數(shù)(以下稱為原數(shù))；第二步，再寫出一個新的三位數(shù)，它的百位數(shù)字是原數(shù)中偶數(shù)數(shù)字的個數(shù)，十位數(shù)字是原數(shù)中奇數(shù)數(shù)字的個數(shù)，個位數(shù)字是原數(shù)的位數(shù)；以下每一步，都對上一步得到的數(shù)按照第二步的規(guī)則繼續(xù)操作，直至這個數(shù)不再變化為止．不管你開始寫的是一個什么數(shù)，幾步之后變成的自然數(shù)總是相同的，最后這個總相同的數(shù)就稱為“黑洞數(shù)”．請你以20221019為例進行嘗試：這個數(shù)字游戲的“黑洞數(shù)”是．(零作為偶數(shù))10．如圖是某月的月歷．

(1)十字框中的五個數(shù)的和與中間數(shù)有什么關系？(2)若將十字框上、下、左、右平移，可框住另外五個數(shù)，設中間數(shù)為a，這五個數(shù)還有這種規(guī)律嗎？若有請證明，若沒有請說明理由．11．等邊在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A、C對應的數(shù)分別為0和﹣1，若△ABC繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉，翻轉1次后，點B所對應的數(shù)為1；則翻轉100次后，點B所對應的數(shù)是（

）A．99 B．100 C．101 D．10312．觀察圖中正方形四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律，可知數(shù)2022應標在（

）

A．第506個正方形的左下角 B．第506個正方形的右上角C．第505個正方形的右上角 D．第505個正方形的左下角13．察圖中每一個圓中各點處所標數(shù)字的規(guī)律，2021應標在（

）A．第505個圓的“A”點處 B．第506個圓的“B”點處C．第506個圓的“A”點處 D．第505個圓的“D”點處14．如圖是一組有規(guī)律的圖案，第①個圖案由4個基礎圖形組成，第②個圖案由7個基礎圖形組成，……，設第n（n是正整數(shù)）個圖案是由y個基礎圖形組成的，則y與n之間的關系式是．

15．下面每個表格中的四個數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的：

根據(jù)此規(guī)律確定的值為，的值為，的值為．16．如圖，將一串有理數(shù)按一定規(guī)律排列，探索下列問題：

(1)在A處的數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)？(2)負數(shù)排在A，B，C，D中的什么位置？(3)第2021個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)？排在對應于A，B，C，D中的什么位置？17．如圖，從左向右依次擺放序號分別為1，2，3，……，n的小桶，其中任意相鄰的四個小桶所放置的小球數(shù)之和相等．

(1)______．(2)若，則這些小桶內(nèi)所放置的小球數(shù)之和是多少？(3)用含k（k為正整數(shù)）的代數(shù)式表示裝有“2個球”的小桶序號為______．18．如圖，每個小正方形的面積均為1．將左圖中黑色的小正方形移動，得到右邊拼成的長方形，根據(jù)兩種圖形方法計算小正方形的個數(shù)；如圖得出以下等式：(1)請寫出第3個等式：__________；(2)猜想第n個等式為：__________（用含n的等式表示）；(3)當n為多少時，左圖中的最底端有2024個小正方形？此時左圖中共有多少個小正方形？19．如下表，從左邊第1個格子開始依次在每個格子中填入一個正整數(shù)，第1個格子填入，第2個格子填入，第3個格子填入，…，第個格子填入，以此類推，表中任意4個相鄰格子中所填正整數(shù)之和都相等，其中．……(1)若，則____________；____________；(2)若，求表中前100個數(shù)的和；(3)將表中前2022個數(shù)的和記為S，若，求S的值．20．已知，，且m，n均為正整數(shù)，如果將進行如圖所示的“分解”，那么下列四個敘述中：①在的“分解”中最大的數(shù)是11；②在的“分解”中最小的數(shù)是13；③若的“分解”中最大的數(shù)是29，則；④若的“分解”中最小的數(shù)是79，則；正確的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個21．將邊長為1的正方形紙片按如圖1所示的方法進行對折，記第一次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，請根據(jù)圖2化簡（

）A． B． C． D．22．英語字母表中的字母排列順序是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，若尾字母的后面又接上首字母，則可將個字母排成一個循環(huán)圓圈，現(xiàn)給定一個破譯密碼“”（其中代表字母表中的任意一個字母，表示將該字母換成向后移動位所得到的字母），就可以將“暗語”破譯成“明語”，如“暗語”可通過破譯密碼“”破譯成“明語”，則利用該破譯密碼對“暗語”破譯正確的“明語”是（

）A． B． C． D．23．一只小球落在數(shù)軸上的某點，第一次從向左跳1個單位到，第二次從向右跳2個單位到，第三次從向左跳3個單位到，第四次從向右跳4個單位到若按以上規(guī)律跳了100次時，它落在數(shù)軸上的點所表示的數(shù)恰好是2021，則這只小球的初始位置點所表示的數(shù)是（

）A．1971 B．1970 C． D．24．定義一種關于整數(shù)n的“F”運算：（1）當n是奇數(shù)時，結果為；（2）當n是偶數(shù)時，結果是（其中k是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算重復進行．例如：取，第一次經(jīng)F運算是29，第二次經(jīng)F運算是92，第三次經(jīng)F運算是23，第四次經(jīng)F運算是74，……；若，則第2020次運算結果是（

）A．1 B．2 C．7 D．825．（1）觀察下列圖形與等式的關系，并填空：

①

②

③

④

⑤（________）（2）歸納上述圖形變化規(guī)律：[________]=________；（3）根據(jù)上述結論計算=________26．我國著名數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過，“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事非”，數(shù)形結合的思想方法在數(shù)學中應用極為廣泛．觀察下列按照一定規(guī)律堆砌的鋼管的橫截面圖：用含n的式子表示第n個圖的鋼管總數(shù)．【分析思路】圖形規(guī)律中暗含數(shù)字規(guī)律，我們可以采用分步的方法，從圖形排列中找規(guī)律；把圖形看成幾個部分的組合，找到每一部分對應的數(shù)字規(guī)律，進而找到整個圖形對應的數(shù)字規(guī)律．如：要解決上面問題，我們不妨先從特例入手（統(tǒng)一用表示第n個圖形鋼管總數(shù)）．【解決問題】(1)如圖，如果把每個圖形按照它的行來分割觀察，你發(fā)現(xiàn)了這些鋼管的堆砌規(guī)律了嗎？像的情形那樣，在所給橫線上，請用數(shù)學算式表達你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．，___________．(2)其實，對同一個圖形，我們的分析眼光可以是不同的．請你像（1）那樣對每一個所給圖形添加分割線，提供與（1）不同的分割方式；并在所給橫線上，請用數(shù)學算式表達你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：___________，___________，___________，___________．(3)用含n的式子列式，并計算第n個圖的鋼管總數(shù)為___________．27．如圖所示，是由若干棱長相同的小正方體疊成的幾何體．第1個幾何體由1個小正方體疊成，第2個幾何體由4個小正方體疊成，第3個幾何體由10個小正方體疊成，……請你解決以下問題：(1)按此規(guī)律，第4個幾何體由________個正方體疊成；(2)為了方便表述，我們記第個幾何體由個小正方體疊成（其中），則________；________；________；(3)求值：.28．提出問題：有12個相同的長方體紙盒，它們的長、寬、高分別是4、3、5，現(xiàn)要用這12個紙盒搭成一個大長方體，怎樣搭可使長方體的表面積最?。糠治鰡栴}：對于這種問題，我們一般采用復雜問題簡單化的策略，進行由特殊到一般的探究．探究一：我們以兩個長、寬、高分別是4、3、5的長方體為例進行分析．我們發(fā)現(xiàn)，無論怎樣放置這兩個長方體紙盒，搭成的大長方體體積都不變，但是由于擺放位置的不同，它們的表面積會發(fā)生變化，經(jīng)過操作，發(fā)現(xiàn)共有3種不同的擺放方式，如圖所示．

(1)請計算圖1、圖2、圖3中的拼成的新的大長方體的長、寬、高及其表面積，并填充下表：長（cm）寬（cm）高（cm）表面積（cm2）圖1546148圖21043164圖3583____________根據(jù)上表可知，表面積最小的是____________所示的長方體．（填“圖1”、“圖2”、“圖3”）(2)探究二：有4個相同的長方體紙盒，它們的長、寬、高分別是5、4、3，現(xiàn)要用這4個紙盒搭成一個大長方體，怎樣搭可使長方體的表面積最??？先畫出各種擺法的示意圖，再根據(jù)各自的表面積得到最小擺法，是一種常規(guī)的方法，但比較耗時，也不方便，可以按照下列思路考慮：在圖1的基礎上繼續(xù)擺，要使表面積小，就要重疊大面，得到的長方體，這個長方體的表面積為____________；在圖2的基礎上繼續(xù)擺，要使表面積小，就要重疊大面，得到的長方體，這個長方體的表面積為____________；在圖3的基礎上繼續(xù)擺，要使表面積小，就要重疊大面，得到的長方體，這個長方體的表面積為____________；綜上所述，有4個相同的長方體紙盒，它們的長、寬、高分別是5、4、3，要用這4個紙盒搭成一個大長方體的表面積最小為____________．(3)探究三：我們知道，在體積相同的前提下，正方體的表面積最小，所以我們可以盡可能地使所搭成的幾何體為正方體或接近正方體，我們還可以這樣思考：將4分解質因數(shù)，得到，或兩種情況，通過與小長方體的長寬高進行組合：在時，搭成的L×K×H的大長方體最接近正方體，此時表面積最小，表面積為____________（直接寫出結果）．類比應用：請你仿照探究三的解題思路，解答開始提出的問題：有12個相同的長方體紙盒，它們的長、寬、高分別是4、3、5，現(xiàn)要用這12個紙盒搭成一個大長方體，怎樣搭可使長方體的表面積最??？拓展延伸：將168個棱長為的小正方體，拼成一個長方體，使得長方體的表面積達到最小，這個表面積是____________．29．問題探究：如圖1，2個角的各邊相交，第2個角的每條邊最多會與第1個角的2條邊新產(chǎn)生2個交點，所以共有個交點；如圖2，3個角的各邊相交，第3個角的每條邊最多會與前面2個角的4條邊新產(chǎn)生4個交點，所以共有個交點；若4個角的各邊相交，第4個角的每條邊最多會與前面3個角的6條邊新產(chǎn)生6個交點，所以共有個交點；……(1)若5個角的各邊相交，最多有多少個交點？（仿照上面的“問題探究”中的方法，寫出必要的探究過程）(2)直接寫出10個角的各邊相交，最多共有________個交點；(3)直接寫出n個角的各邊相交，最多共有________個交點（用含n的代數(shù)式表示）．30．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）觀察下面兩行數(shù)：取每行數(shù)的第7個數(shù)，計算這兩個數(shù)的和是（

）A．92 B．87 C．83 D．7831．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，那么的值為（）

A． B． C． D．3