壓軸訓(xùn)練：分式和分式方程（原卷版）

分式和分式方程壓軸訓(xùn)練壓軸題型一求使分式為正(負)數(shù)時未知數(shù)的取值范圍例題：（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）若分式的值大于零，則x的取值范圍是______．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）若分式的值為負數(shù)，x的取值范圍是_________．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知分式的值是正數(shù)，那么的取值范圍是_____．壓軸題型二求使分式值為整數(shù)時未知數(shù)的整數(shù)值例題：（2023春·七年級單元測試）若表示一個負整數(shù)，則整數(shù)________．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·山西忻州·八年級統(tǒng)考期中）如果m為整數(shù)，那么使分式的值為整數(shù)的m的值為_______．（寫出兩個即可）2．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市真光中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知的值為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為_________________________.3．（2024上·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）若分式的值為整數(shù)，則的整數(shù)值為．4．（2024上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）我們可以將一些只含有一個字母且分子、分母的次數(shù)都為一次的分式變形，轉(zhuǎn)化為整數(shù)與新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．參考上面的方法，解決下列問題：(1)將變形為滿足以上結(jié)果要求的形式：；(2)將變形為滿足以上結(jié)果要求的形式：；(3)若為正整數(shù)，且也為正整數(shù)，則的值為．壓軸題型三與分式有關(guān)的規(guī)律性問題例題：（2024九年級下·安徽·專題練習(xí)）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；；按照以上規(guī)律，解決下列問題(1)寫出第6個等式：；(2)寫出你猜想的第個等式（用含的式子表示），并驗證其正確性．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·安徽淮南·期末）有下列等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：……請你按照上面的規(guī)律解答下列問題：(1)第4個等式是；(2)用含n（n為正整數(shù)）的代數(shù)式表示第n個等式，并證明其正確性．2．（2024·安徽合肥·一模）觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；…；按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：；(2)寫出你猜想的第n個等式：（用含n的等式表示），并證明．3．（2024·安徽阜陽·二模）觀察下列各式規(guī)律．第1個等式：第2個等式：第3個等式：第4個等式：………(1)根據(jù)上述規(guī)律，請寫出第5個等式：；(2)請猜想出滿足上述規(guī)律的第n個等式，并證明．壓軸題型四與分式方程有關(guān)的規(guī)律性問題例題：（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）解方程：①的解．②的解．③的解．④的解．……(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫出⑤，⑥個方程及它們的解；(2)請你用一個含正整數(shù)n的式子表示上述規(guī)律，并求出它的解．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程的解是；(2)利用（1）的結(jié)論解關(guān)于x的方程：；(3)利用（1）的結(jié)論解關(guān)于x的方程：．2．（23-24八年級下·江蘇南京·期中）先閱讀下面的材料，然后回答問題：閱讀材料一：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…閱讀材料二：在處理分式問題時，當(dāng)分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，運算時我們可以將分式拆分成一個整式和一個分式（分子為正數(shù)）的和（差）的形式．如：；再如：．(1)根據(jù)上面材料一的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程的解是________；(2)根據(jù)材料二將分式分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式________________，利用（1）的結(jié)論得到關(guān)于x的方程的解是________；(3)利上述材料及（1）的結(jié)論解關(guān)于x的方程：．壓軸題型五與分式有關(guān)的新定義型問題例題：（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”如，，則和都是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是：______（填序號）；①；②；③；④．(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形為：______．(3)當(dāng)x取什么整數(shù)時，“和諧分式”的值為整數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）我們給出定義：若一個分式約分后是一個整式，則稱這個分式為“巧分式”，約分后的整式稱為這個分式的“巧整式”．例如：，則稱分式是“巧分式”，4x為它的“巧整式”．根據(jù)上述定義，解決下列問題．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序號）；①；②；③．(2)若分式（m、n為常數(shù)）是一個“巧分式”，它的“巧整式”為，求m、n的值；(3)若分式的“巧整式”為，請判斷是否是“巧分式”，并說明理由．2．（23-24八年級下·甘肅天水·階段練習(xí)）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：，，則和都是“和諧分式”．(1)下列式子中，屬于“和諧分式”的是（填序號）．①；②；③；④；(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式為．(3)拓展：若，求A、B的值．3．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）閱讀下列材料：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分數(shù)可分為“真分數(shù)”和“假分數(shù)”，而假分數(shù)都可化為帶分數(shù)，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如，，，，這樣的分式就是假分式；再如：這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式即：整式與真分式的和的形式．如：；，再如：．解決下列問題：(1)分式是分式填“真”或“假”；(2)先將假分式化為帶分式，再當(dāng)?shù)闹禐檎麛?shù)，求的整數(shù)值．寫出過程(3)將假分式化為帶分式，當(dāng)時，試求的最小值．壓軸題型六與分式運算的有關(guān)的新定義型問題例題：（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）定義：若分式A與分式B的和等于它們的積，即，則稱分式A與分式B互為“等和積分式”．如與，因為所以與互為“等和積分式”，其中一個分式是另外一個分式的“等和積分式”．(1)分式與分式“等和積分式”(填“是”或“不是”)；(2)求分式的“等和積分式”；(3)①觀察(1)(2)的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式的“等和積分式”；②用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：若與互為“等和積分式”，求實數(shù)m，n的值．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級下·江蘇宿遷·期末）【知識背景】若分式與分式的差等于它們的積，，則稱分式是分式的“友好分式”．如與，因為，，所以是的“友好分式”．【知識應(yīng)用】（1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；（2）小明在求分式的“友好分式”時，用了以下方法：設(shè)的“友好分式”為，則，，．請你仿照小明的方法求分式的“友好分式”；【拓展延伸】（3）①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式的“友好分式”______；②若是的“友好分式”，求的值．2．（22-23八年級下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）定義：若分式與分式的差等于它們的積，即，則稱分式是分式的“關(guān)聯(lián)分式”．如與，因為，，所以是的“關(guān)聯(lián)分式”．(1)分式____