專題：代數(shù)式規(guī)律探究（解析版）

代數(shù)式規(guī)律探究題型01數(shù)、式的規(guī)律探究【典例分析】【例1-1】（22-23七年級上·江蘇宿遷·期末）三個連續(xù)偶數(shù)中最小的一個為，則這三個偶數(shù)中最大的可表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】三個連續(xù)偶數(shù)，根據(jù)偶數(shù)的表示形式，即可求解．【詳解】解：三個連續(xù)偶數(shù)中最小的一個為，∴第二個偶數(shù)位，第三個偶數(shù)位，故答案為：．【點睛】本題主要考查字母表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系，掌握字母表示數(shù)或數(shù)量關(guān)系的規(guī)則是解題的關(guān)鍵．【例1-2】（23-24七年級上·福建莆田·階段練習(xí)）有一組數(shù)：，1，2，，5，8，，21，34請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第前個數(shù)的和首次超過100．【答案】12【分析】找到這組數(shù)據(jù)的規(guī)律，故可求解；此題主要考查規(guī)律的查找，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)符號的規(guī)律，從而求解．【詳解】規(guī)律是：從第三個數(shù)開始往后，每一個數(shù)的絕對值是前兩個數(shù)絕對值的和，數(shù)所站位置數(shù)字被3除，余數(shù)為1的時候，此位置的數(shù)的符號為負(fù)，其余的數(shù)的符號為正，故第10個數(shù)為，第11個數(shù)為，第12個數(shù)為，∵第1個到第11個的和為，第1個到第12個的和為，故第前12個數(shù)的和首次超過100，故答案為：12．【例1-3】（23-24七年級上·湖南常德·期中）小明同學(xué)在查閱大數(shù)學(xué)家高斯的資料時，知道了高斯如何求．小明于是對從開始連續(xù)奇數(shù)的和進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)如下式子：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；探索以上等式的規(guī)律，解決下列問題：(1)；(2)完成第n個等式的填空：；(3)利用上述結(jié)論，計算．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了規(guī)律探究，有理數(shù)的混合運算；（1）根據(jù)題目中的規(guī)律,寫出答案即可；（2）根據(jù)題目中的規(guī)律，推論答案即可（3）利用規(guī)律通式，代入計算即可．【詳解】（1）解：，故答案為：3；（2）由題意可得，，故答案為：；（3）．【變式演練】【變式1-1】（23-24七年級上·四川樂山·階段練習(xí)）一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個交點；4條直線兩兩相交，最多有6個交點；5條直線兩兩相交，最多有10個交點；8條直線兩兩相交，最多有（

）個交點．A．24 B．26 C．28 D．30【答案】C【分析】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類；根據(jù)所給數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：n條直線兩兩相交，最多有個交點，然后進(jìn)行計算即可．【詳解】解：∵3條直線兩兩相交，最多有個交點，4條直線兩兩相交，最多有個交點，5條直線兩兩相交，最多有個交點，∴n條直線兩兩相交，最多有個交點，∴8條直線兩兩相交，最多有個交點，故選：C．【變式1-2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）觀察以下等式：第個等式：；第個等式；第個等式；第個等式；……；按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第個等式；（2）寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示）．【答案】【分析】本題考查有理數(shù)和整式的知識，解題的關(guān)鍵是觀察等式，得到規(guī)律，進(jìn)行解答．（1）根據(jù)上述等式可知，減數(shù)的分母是被減數(shù)分母分子的乘積，分子是被減數(shù)分子分母的和，即可得到第六個等式；（2）根據(jù)上述等式的規(guī)律，求解等式的左邊等于等式的右邊，即可．【詳解】解：（1）∵第個等式：，第個等式，第個等式，第個等式，∴第個等式為：．故答案為：．（2）由（1）得，第個等式：，故答案為：．【變式1-3】（23-24七年級上·江蘇宿遷·期中）(1)第5個式子是_______；第個式子是_______．(2)從計算結(jié)果中找規(guī)律，利用規(guī)律計算：_______；(3)計算：（由此拓展寫出具體過程）：①；②．【答案】(1)；(2)(3)①；②【分析】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）觀察一系列等式得到一般性規(guī)律，寫出第5個式子與第個式子即可；（2）原式利用得出的規(guī)律化簡，計算即可得到結(jié)果；（3）①原式變形為，利用得出的規(guī)律化簡，計算即可得到結(jié)果；②原式變形為，利用得出的規(guī)律化簡，計算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：∵，，，，∴第5個式子是：；第個式子是；故答案為：；；（2）解：；（3）解：①．②．

題型02圖形的規(guī)律探究【典例分析】【例2-1】（23-24七年級上·山東德州·期末）將圖①中的正方形剪開得到圖②，圖②中共有4個正方形；將圖②中一個正方形剪開得到圖③，圖③中共有7個正方形；將圖③中一個正方形剪開得到圖④，圖④中共有10個正方形，…，如此下去，則第2020個圖中共有正方形的個數(shù)為（

）

A．2021 B．2020 C．6051 D．6058【答案】D【分析】本題主要考查圖形規(guī)律，根據(jù)圖示找出每個圖示中正方形的個數(shù)，得出規(guī)律為：正方形的個數(shù)是，由此即可求解，理解圖示，掌握有理數(shù)的混合運算，整式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：第一個圖示中，正方形的個數(shù)為；第二個圖示中，正方形的個數(shù)為；第三個圖示中，正方形的個數(shù)為；第四個圖示中，正方形的個數(shù)為；第個圖示中，正方形的個數(shù)為，∴第個圖示中，正方形的個數(shù)為：，故選：．【例2-2】（22-23七年級上·浙江嘉興·期末）如圖是一個由黑點、白點交替鋪成的（其中n為正整數(shù)）的正方形點陣，根據(jù)該點陣中的規(guī)律，可知其中白點的總數(shù)為個（請用含n的代數(shù)式表示）．【答案】【分析】此題考查圖形的變化規(guī)律，結(jié)合圖形，找出數(shù)字的運算規(guī)律，根據(jù)題意得列共有，則這個點陣中前行的白點和等于，再將第二列與第列相加，以此類推計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意知，．故答案為【例2-3】（23-24七年級上·江蘇淮安·期中）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相等的等邊三角形組合而成，第1個圖案有4個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形…照此規(guī)律擺下去：(1)照此規(guī)律，擺成第5個圖案需要_____________個三角形；(2)照此規(guī)律，擺成第n個圖案需要_____________個三角形（用含n的代數(shù)式表示）；(3)照此規(guī)律，擺成第2021個圖案需要幾個三角形？【答案】(1)16(2)(3)【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類以及列代數(shù)式，根據(jù)各圖案所需三角形個數(shù)的變化，找出變化規(guī)律“”是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)前4個圖案所需三角形的個數(shù)，可得出每個圖案所需三角形的個數(shù)比前一個圖形多3個，再結(jié)合的值即可求出的值；（2）由（1）的結(jié)論“每個圖案所需三角形的個數(shù)比前一個圖形多3個”，可得出；（3）代入即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)擺成第n（n為正整數(shù)）個圖案需要個三角形．∵，∴，∴．故答案為：16；（2）解：由（1）可知：．故答案為：；（3）解：當(dāng)時，，∴擺成第2021個圖案需要個三角形．【變式演練】【變式2-1】（23-24七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）按如圖所示的規(guī)律搭正方形：搭一個小正方形需要4根小棒，搭兩個小正方形需要7根小棒，搭2024個這樣的小正方形需要小棒（

）根．A．6072 B．6073 C．6074 D．6075【答案】B【分析】本題考查圖形中的數(shù)字規(guī)律．解題的關(guān)鍵是正確的抽象概括出數(shù)字規(guī)律．根據(jù)給出的圖形，抽象概括出數(shù)字規(guī)律，利用規(guī)律進(jìn)行計算即可．【詳解】解：搭1個小正方形需要4根小棒，搭2個小正方形需要根小棒，搭3個小正方形需要根小棒，搭個小正方形需要根小棒，∴搭2024個這樣的小正方形需要小棒根；故選B【變式2-2】（24-25七年級上·四川成都）根據(jù)下面四幅圖的規(guī)律，第7幅圖中有個●，個△．【答案】3613【分析】本題考查圖形和數(shù)字類規(guī)律探究，根據(jù)前幾個圖形中●的個數(shù)，得到變化規(guī)律：第n幅圖中有個●；同理，根據(jù)前幾個圖形中△的個數(shù)，得到變化規(guī)律：第n幅圖中有個△；進(jìn)而可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：第1幅圖中有0個●，第2幅圖中有1個●，第3幅圖中有4個●，第4幅圖中有9個●，第n幅圖中有個●；第1幅圖中有1個△，第2幅圖中有3個△，第3幅圖中有5個△，第4幅圖中有7個△，第n幅圖中有個△；第7幅圖中有個●，個△．故答案為：36，13．【變式2-3】（22-23七年級上·遼寧沈陽·期中）觀察如圖所示的圖形，回答下列問題：(1)按甲方式將桌子拼在一起，6張桌子拼在一起共有______個座位，n張桌子拼在一起共有______個座位；(2)按乙方式將桌子拼在一起，4張桌子拼在一起共有______個座位，m張桌子拼在一起共有______個座位；(3)某食堂有A，B兩個餐廳，現(xiàn)有102張這樣的長方形桌子，計劃把這些桌子全放在兩個餐廳，每個餐廳都要放有桌子．將a張桌子放在A餐廳，按甲方式每6張拼成1張大桌子且無剩余；將其余桌子都放在B餐廳，按乙方式每4張桌子拼成1張大桌子，兩個餐廳一共可以提供多少個座位？（用含a的代數(shù)式表示）．(4)在（3）的條件下，將102張桌子中的30張放在A餐廳，其余放B餐廳，A、B兩個餐廳能否一共提供400個座位？請說明理由．【答案】(1)16；(2)18；(3)兩個餐廳一共提供(4)兩個餐廳能一共提供400個座位，理由見解析【分析】（1）觀察圖形發(fā)現(xiàn)，在一桌坐6個人基礎(chǔ)上，每增加一張桌子多兩個人，據(jù)此尋找規(guī)律求解即可；（2）觀察圖形發(fā)現(xiàn)，在一桌坐6個人基礎(chǔ)上，每增加一張桌子多四個人，據(jù)此尋找規(guī)律求解即可；（3）根據(jù)（1）（2）中列出的關(guān)系式，分別求出每6張以及每4張時甲乙方式的座位數(shù)，進(jìn)而即可求出兩個餐廳個提供的座位數(shù)；（4）根據(jù)（3）中的代數(shù)式，結(jié)合題意可令時進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）觀察可得，按該方式將6張桌子拼在一起共有16個座位，n張桌子拼在一起有個座位；故答案為：16；；（2）觀察可得，按該方式將4