【題型梳理練】有理數(shù)中的規(guī)律探究（原卷版）

2/2【題型梳理練】有理數(shù)中的規(guī)律探究 TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)字類規(guī)律探究】 1【題型2四則運(yùn)算中的規(guī)律探究】 2【題型3乘方中的規(guī)律探究】 2【題型4周期中的規(guī)律探究】 3【題型5遞進(jìn)中的規(guī)律探究】 4【題型6表格中的規(guī)律探究】 5【題型7圖形中的規(guī)律探究】 6【題型8新定義中的規(guī)律探究】 8【題型1數(shù)字類規(guī)律探究】【例1】（23-24七年級(jí)·黑龍江綏化·階段練習(xí)）觀察一組按規(guī)律排列的數(shù)：1，2，4，8，16，…，則第2024個(gè)數(shù)是（

）．A．22024 B．22024-1 C．【變式1-1】（23-24七年級(jí)·陜西商洛·期末）觀察下面一列數(shù)：第1組第2組第3組第4組第5組……1,-12,43,-94,165,-25按照此規(guī)律第9組的兩數(shù)之和為．【變式1-2】（23-24七年級(jí)·山東濱州·階段練習(xí)）一組按規(guī)律排列的數(shù)-14，39，-516，725，-【變式1-3】（23-24七年級(jí)·廣西崇左·期末）如圖，在各正方形中的四位數(shù)之間有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（

）.A．16,257 B．16,91 C．10,101 D．10,161【題型2四則運(yùn)算中的規(guī)律探究】【例2】（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知：11×2=1-12，12×3=(1)用含有n（n為正整數(shù)）的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；(2)按照上面算式的規(guī)律計(jì)算：21×2【變式2-1】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）觀察以下等式：第1個(gè)等式：21-32=12；第2個(gè)等式32-56=2(1)寫出第6個(gè)等式；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示）.【變式2-2】（23-24七年級(jí)·寧夏銀川·期中）觀察下列各式：1-122=34=12(1)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫下列式子的結(jié)果：1-1(2)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：1-1【變式2-3】（2024七年級(jí)·安徽·專題練習(xí)）研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1×3+1=4=2×4+1=9=3×5+1=16=4×6+1=25=…(1)請你找出規(guī)律并計(jì)算7×9+1==()(2)用含有n的式子表示上面的規(guī)律：．(3)用找到的規(guī)律解決下面的問題：計(jì)算：(1+11×3)(1+【題型3乘方中的規(guī)律探究】【例3】（23-24七年級(jí)·山東青島·階段練習(xí)）如圖，觀察由棱長為1的小立方體擺成的圖形，尋找規(guī)律：如圖①中：共有1個(gè)小立方體，0個(gè)看不見；如圖②中：共有8個(gè)小立方體，1個(gè)看不見；如圖③中：共有27個(gè)小立方體，8個(gè)看不見；…，則第⑥個(gè)圖中看得見的有個(gè)．【變式3-1】（23-24七年級(jí)·江蘇常州·期中）我們根據(jù)乘方運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，如下表是兩種運(yùn)算對應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例：乘方運(yùn)算222…333…新運(yùn)算logloglog…logloglog…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個(gè)式子：①log216=4，②log525=5，③【變式3-2】（23-24七年級(jí)·河北秦皇島·階段練習(xí)）觀察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75A．0 B．1 C．6 D．8【變式3-3】（23-24七年級(jí)·四川瀘州·期末）根據(jù)圖中數(shù)字的排列規(guī)律，在第⑩個(gè)圖中，a-b-c的值是（

）A．-512 B．-514 C．510 D．512【題型4周期中的規(guī)律探究】【例4】（2024·北京西城·七年級(jí)期末）將1，2，3，4，5，…，37這37個(gè)連續(xù)整數(shù)不重不漏地填入37個(gè)空格中．要求：從左至右，第1個(gè)數(shù)是第2個(gè)數(shù)的倍數(shù)，第1個(gè)數(shù)與第2個(gè)數(shù)之和是第3個(gè)數(shù)的倍數(shù)，第1，2，3個(gè)數(shù)之和是第4個(gè)數(shù)的倍數(shù)，…，前36個(gè)數(shù)的和是第37個(gè)數(shù)的倍數(shù)．若第1個(gè)空格填入37，則第2個(gè)空格所填入的數(shù)為，第37個(gè)空格所填入的數(shù)為．37【變式4-1】（23-24七年級(jí)·浙江·期中）從大拇指開始，按照大拇指→食指→中指→無名指→小指→無名指→中指→食指→大拇指→食指……的順序，依次數(shù)整數(shù)1，2，3，4，5，6，7，……當(dāng)數(shù)到2022時(shí)，對應(yīng)的手指為；當(dāng)?shù)趎次數(shù)到食指時(shí)，數(shù)到的數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）．【變式4-2】（23-24七年級(jí)·安徽黃山·期中）觀察算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36【變式4-3】（23-24七年級(jí)·河南開封·期中）如圖所示，在一個(gè)電子青蛙游戲程序中，電子青蛙只能在標(biāo)有五個(gè)數(shù)字點(diǎn)的圓周上跳動(dòng)，游戲規(guī)則：若電子青蛙，停在奇數(shù)點(diǎn)上，則它下次沿順時(shí)針方向跳兩個(gè)點(diǎn)；若電子青蛙停在偶數(shù)點(diǎn)上，則它下次沿逆時(shí)針方向跳一個(gè)點(diǎn)．現(xiàn)在電子青蛙若從4這點(diǎn)開始跳，則經(jīng)過2022次后它停的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為（）

A．1 B．2 C．3 D．5【題型5遞進(jìn)中的規(guī)律探究】【例5】（23-24七年級(jí)·江西贛州·期末）如圖，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為3，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)A1處，第2次從A1跳動(dòng)到A1O的中點(diǎn)A2處，第3次從A2點(diǎn)跳動(dòng)到A2O的中點(diǎn)A．32n-2 B．32n-1 C．【變式5-1】（2024·山西太原·二模）觀察圖中給出的四個(gè)點(diǎn)陣，按照圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜想第n個(gè)點(diǎn)陣中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)．（用含n的代數(shù)式表示）【變式5-2】（23-24七年級(jí)·全國·假期作業(yè)）如圖所示的點(diǎn)陣圖中，圖①中有3個(gè)點(diǎn)，圖②中有7個(gè)點(diǎn)，圖③中有13個(gè)點(diǎn)，圖④中有21個(gè)點(diǎn)，按此規(guī)律，圖⑩中有個(gè)點(diǎn)．【變式5-3】（23-24七年級(jí)·寧夏銀川·期末）生物課題研究小組對附著在物體表面的三個(gè)微生物（課題組成員把他們分別標(biāo)號(hào)為1，2，3）的生長情況進(jìn)行觀察記錄，這三個(gè)微生物第一天各自一分為二，產(chǎn)生新的微生物（依次被標(biāo)號(hào)為4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照這樣的規(guī)律變化，即每個(gè)微生物一分為二，形成新的微生物（課題組成員用如圖所示的圖形進(jìn)行形象的記錄），那么標(biāo)號(hào)為1000的微生物會(huì)出現(xiàn)在第（

）A．第7天 B．第8天 C．第9天 D．第10天【題型6表格中的規(guī)律探究】【例6】（23-24七年級(jí)·安徽蕪湖·期中）下列表格中的四個(gè)數(shù)都是按照規(guī)律填寫的，則表中x的值是（）A．139 B．209 C．109 D．259【變式6-1】（23-24七年級(jí)·遼寧沈陽·期中）把1～9這9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都等于15，這樣便構(gòu)成了一個(gè)“九宮格”，它源于我國古代的“洛書”(圖1)，“洛書”是世界上最早的“幻方”，圖2是僅可以看到部分?jǐn)?shù)值的“九宮格”，則其中m的值為(A．1 B．3 C．6 D．9【變式6-2】（23-24七年級(jí)·河南南陽·期末）干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，干支是天干和地支的總稱．干支紀(jì)年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循環(huán)配合，每個(gè)組合代表一年，60年為一個(gè)循環(huán)．我們把天干、地支按順序排列，且給它們編上序號(hào)．天干的計(jì)算方法是：年份減3，除以10所得的余數(shù)；地支的計(jì)算方法是：年份減3，除以12所得的余數(shù)．以2022年為例：天干為：2022-3÷10=201??9；地支為：2022-3÷12=168??3；對照天干地支表得出，123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥請你依據(jù)上述規(guī)律推斷2024年為農(nóng)歷年．【變式6-3】（23-24七年級(jí)·湖北黃岡·期中）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．

圖形標(biāo)號(hào)①②③④⑤…火柴棒根數(shù)5913____________…(1)按圖示規(guī)律完成表格(2)按照這種方式搭下去，搭第n個(gè)圖形需要多少根火柴棒？(3)搭第2024個(gè)圖形需要多少根火柴棒？【題型7圖形中的規(guī)律探究】【例7】（23-24七年級(jí)·山東濰坊·期中）如圖，把面積為1的正方形進(jìn)行分割，觀察其規(guī)律，可得算式12+122A．125 B．126 C．【變式7-1】（23-24七年級(jí)·山西臨汾·期中）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)是．【變式7-2】（23-24七年級(jí)·浙江金華·期末）用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成下列圖形，則第10個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)是……（

）A．110 B．330 C．440 D．572【變式7-3】（23-24七年級(jí)·山西晉中·期中）閱讀與探索：問題情境：通過學(xué)習(xí)“探索與表達(dá)規(guī)律”讓我們感受到：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的規(guī)律是一件十分有趣的事情．用簡潔的語言表達(dá)變化規(guī)律應(yīng)該從簡單入手，經(jīng)過熟悉、認(rèn)知、思考、總結(jié)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．請你用自己學(xué)到的方法探索并表達(dá)下列規(guī)律：（1）如圖，搭1個(gè)小正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)小正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)小正方形需要10根火柴棒……，如果用n表示所搭正方形的個(gè)數(shù)，那么搭n個(gè)這樣的小正方形需要__________根火柴棒（用n的代數(shù)式表示）．類比探索：（2）如圖，是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第n個(gè)圖案需要__________根火柴棒（用n的代數(shù)式表示）．

（3）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個(gè)圖案由4個(gè)小等邊三角形圍成1個(gè)小菱形，第②個(gè)圖案由6個(gè)小等邊三角形圍成2個(gè)小菱形，．．．．．．．若按此規(guī)律拼下去，則第n個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為__________（用含n的式子表示）．

拓展應(yīng)用：（4）觀察并找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個(gè)圖形中黑色正方形的數(shù)量是__________個(gè)．

【題型8新定義中的規(guī)律探究】【例8】（23-24七年級(jí)·江蘇蘇州·期末）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“H”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5，（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k（其中k是正整數(shù)，且使得n2k為奇數(shù)）；并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：n=12時(shí)，第一次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是3，第二次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是14，第三次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是7，第四次經(jīng)“H”運(yùn)算的結(jié)果是26……．若n=58，則第2024次經(jīng)“HA．29 B．92 C．23 D．74【變式8-1】（23-24七年級(jí)·廣西欽州·期末）已知C32=3×21×2=3，C53【變式8-2】（23-24七年級(jí)·北京西城·階段練習(xí)）對于正整數(shù)n，定義Fn=n2,n<10fn,規(guī)定：F1n=Fn，例如：F2按此定義，F(xiàn)24=，【變式8-3】