數學建模課程設計報告

數學建模課程設計題目：學院：專業(yè)：班級：姓名：學號：指導教師：實驗日期：摘要本文針對葡萄酒的質量分析與評價問題，以置信區(qū)間、優(yōu)勢矩陣、逐步回歸分析等方法和方差分析理論為基礎，首先分別構建了以評酒員和樣酒為組別的方差數據序列，通過進行雙向顯著性檢驗，接著通過置信區(qū)間法處理的數據進行了方差分析，并確定可信的評價組別。然后以評酒員感官評價為主、葡萄酒的理化指標為輔，采用回歸分析、聚類分析、判別分析法建立葡萄分級模型，繼而使用相關系數矩陣確立葡萄酒與葡萄理化指標中具有較大相關性的指標，實現對葡萄理化指標的初步篩選，進行等級劃分。再利用逐步回歸的方法擬合釀葡萄酒理化指標與葡萄理化指標間一對多的函數關系得出二者之間的聯系。最后通過上文函數關系，同時提取對香氣與口感評分相關度較大的芳香物質，建立芳香物質與葡萄酒質量的函數關系，論證葡萄和葡萄酒的理化指標只在一定程度上對葡萄酒的質量有影響。關鍵字：雙向顯著性檢驗；方差分析；置信區(qū)間；聚類分析；標準化；一、問題重述確定葡萄酒質量時一般是通過聘請一批有資質的評酒員進行品評。每個評酒員在對葡萄酒進行品嘗后對其分類指標打分，然后求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質量。釀酒葡萄的好壞與所釀葡萄酒的質量有直接的關系，葡萄酒和釀酒葡萄檢測的一級理化指標會在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的質量。附件1給出了某一年份一些葡萄酒的評價結果，附件2和附件3分別給出了該年份這些葡萄酒的和釀酒葡萄的成分數據。請嘗試建立數學模型討論下列問題：1.分析附件1中兩組評酒員的評價結果有無顯著性差異，哪一組結果更可信？2.根據釀酒葡萄的一級理化指標和葡萄酒的質量對這些釀酒葡萄進行分級。3.分析釀酒葡萄與葡萄酒的理化指標之間的聯系。4．分析釀酒葡萄和葡萄酒的一級理化指標對葡萄酒質量的影響，并論證能否用葡萄和葡萄酒的一級理化指標來評價葡萄酒的質量？ 附件1：葡萄酒品嘗評分表（含4個表格）附件2：葡萄和葡萄酒的一級理化指標（含2個表格）附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物質（含4個表格）二、問題分析問題一的分析根據題意，葡萄酒的質量評價是通過評酒員的品評進行評分從而得到評價的，考慮到評酒員之間可能存在個人評酒風格等主觀差異因素，若不同評酒員之間的主觀因素差異過大，可能導致不同評酒員對于同一葡萄酒樣的評價差異懸殊，影響酒樣的質量鑒定，因此，需要對主觀因素的影響程度進行檢驗?？刹捎梅讲罘治鰧祿蛄羞M行處理，通過將方差分析中的檢驗量與顯著性水平F的檢驗值相比較從而驗證差異性是否顯著。針對問題二首先我們結合問題一的結論（第二組的的的評價結果比較可靠），所以葡萄酒質量的評價結果就直接引用第二組，再結合釀酒葡萄的一級理化指標，進行主成分分析，得到十種主成分。然后通過聚類分析的原理，在SPSS實現對釀酒葡萄的分類。針對問題三首先，我們分析釀酒葡萄與葡萄酒一級理化指標的數據發(fā)現一級理化指標基本相同，于是把相同的一級理化指標挑選出來。由于釀酒葡萄的一級理化指標遠和葡萄酒的一級理化指標的單位不一致，我們可以通過MATLAB對所選出的一級理化指標進行標準化。然后在excel中對選出的標準化的一級理化指標之間進行數據分析。從而得出葡萄酒一級理化指標與釀酒葡萄的一級理化指標圖形，分析圖形可得出葡萄酒一級理化指標與釀酒葡萄的一級理化指標的聯系。針對問題四首先我們知道，葡萄酒的一級理化指標若理想，葡萄酒的質量就較高；但葡萄的一級理化指標理想，葡萄酒的質量不一定高。因此我們在MATLAB中，運用相關分析，分別計算出葡萄酒的一級理化指標與葡萄酒質量的相關系數、葡萄的一級理化指標與葡萄酒質量的相關系數。然后通過對相關系數的比較，分析葡萄和葡萄酒的一級理化指標對葡萄酒質量的影響。從而論證葡萄和葡萄酒的一級理化指標能否評價葡萄就的質量。三、符號的假設xij；表示評酒員對酒樣的評價得分xi；表示第i位評酒員對全部酒樣評分的σi：表示第i位評酒員對全部酒樣評分的xj；表示編號為j的酒樣得分的σj：表示編號為j的酒樣得分的vij；表示評酒員對酒樣的評分的標準化四、模型的建立與求解問題一的模型依據問題分折，考慮到評酒員間存在主觀困素的差異，可能導致不同評酒員對于同一酒樣的評價差異懸殊，影響酒樣的質量鑒定，從而難以準確反映不同酒樣間差異的顯著性?；诖?，首先對評價結果的原始數據進行方差分析，驗證對主觀因素的假設分析；再分別應用標準化處理法和置信區(qū)間法，對兩組評酒員的評價結果進行數據處理，以真實反映酒樣間質量的差異，并據此比較兩種處理方法的優(yōu)劣1、基于原始數據顯著性差異分析分別對4組數據進行雙向方差分析，以此減少誤差方差，同時分析不同評酒員之間是否存在顯著的主觀性評分差異。利用Excel軟件處理數據得到結果如表1所示表1：基于原始數據處理的葡萄酒評價方差分析差異源SSdfMSFP-valueFcrit第一組紅葡萄酒行3172.549.00352.507.450.001.92列14017.6726.00539.1411.390.001.54差異源SSdfMSFP-valueFcrit第二組紅葡萄酒行3060.779.00340.0915.450.001.92列4114.3426.00158.247.190.001.54差異源SSdfMSFP-valueFcrit第一組白葡萄酒行18023.939.002002.6633.490.001.92列7304.2727.00270.534.520.001.53差異源SSdfMSFP-valueFcrit第二組白葡萄酒行6725.109.00747.2324.560.001.92列2714.8127.00100.553.310.001.53表1中，SS表示誤差平方和；df表示自由度；MS表示均方差；F表示顯著性統(tǒng)計量；F-crit表示基于顯著性水平為0.01的F統(tǒng)計量值。差異源中“行”表示以評酒員為“區(qū)組”，元素為單個酒樣的評分方差數據序列；“列”表示以酒樣為“區(qū)組”．元索為單個評酒員對全部酒樣的評分方差數據序列。分析上表四組顯著性檢驗數據，基于“行”與“列”的雙向顯著性差異檢驗中，八組數據序列的F統(tǒng)計量均大于基于顯著性水平為0.01的F-crit，表示其差異性極顯著。進一步比較數據大小可知，除第一組紅葡萄酒評分的雙向差異檢驗中“行區(qū)組”與“列區(qū)組”的差異性較為接近，另外三組的雙向差異檢驗結果均表示“行區(qū)組”的差異性顯著高于“列區(qū)組”，說明相較于各酒樣之間質量造成的評價差異，評酒員之間因為主管因素在成的評價差異更顯著。2、基于標準化處理的顯著性差異分析公式：vij=利用Matlab軟件對原始數據進行標準化處理，再對所得結果分別針對4組數據再次進行雙向方差分析，所得結果如表2所示。表2：基于標準化處理的葡萄酒評價方差分析差異源SSdfMSFP-valueFcrit第一組紅葡萄酒行0.209.000.020.051.001.92列152.3326.005.8612.730.001.54差異源SSdfMSFP-valueFcrit第二組紅葡萄酒行0.009.000.000.001.001.92列118.3926.004.557.520.001.54差異源SSdfMSFP-valueFcrit第一組白葡萄酒行0.009.000.000.001.001.92列96.6827.003.585.020.001.53差異源SSdfMSFP-valueFcrit第二組白葡萄酒行0.009.000.000.001.001.92列76.1127.002.823.540.001.53分析表2數據得到，對于四組“行”序列評價的數據序列，其求解到的F統(tǒng)計量均接近于0，遠小于基于顯著性水平為0.01的F-crit，剩余四組“列”序列評價的數據序列的F統(tǒng)計量仍保持大于基于顯著性水平為0.01的F-crit，表示差異性仍屬于極顯著。從數據層面上分析，相較于直接對原始數據進行方差分析得到的各序列的F統(tǒng)汁量，標準化處理后進行分析得到的“行”序列的F統(tǒng)計量顯著減小另一方面“列”序列列應的F統(tǒng)計量數值上基本沒有發(fā)生變化，數值上表示評酒員之間主觀因素造成的評價差異已顯著降低，而酒樣之間質最差異的顯著性則受影響不大。3、基于置信區(qū)間法的顯著性差異分析置信區(qū)間法通過確定指標的置信區(qū)間，并對不隸屬置信區(qū)間內的值進行逐步調整，進而使得同類別的數據最終均處于置信區(qū)間內。置信區(qū)間：m=xj公式：xij=x利用Matlab軟件對數據進行處理。然后基于所得結果分別針對4組數據再次進行雙向方差分析，所得結果如表3所示。表3：基于置信區(qū)間法的葡萄酒評價方差分析差異源SSdfMSFP-valueFcrit第一組紅葡萄酒行1014.449.00112.727.740.001.92列14090.9626.00541.9637.220.001.54差異源SSdfMSFP-valueFcrit第二組紅葡萄酒行775.689.0086.1910.230.001.92列3994.5626.00153.6418.230.001.54差異源SSdfMSFP-valueFcrit第一組白葡萄酒行6010.099.00667.7923.880.001.92列7464.8927.00276.489.890.001.53差異源SSdfMSFP-valueFcrit第二組白葡萄酒行1942.259.00215.8113.770.001.92列2581.9927.0095.636.100.001.53根據3結果可知，八組數據序列的F統(tǒng)計量均大于基于顯著性水平為0.01的F-crit，表示其差異性極顯著。相較于直接對原始數據進行方差分析得到的各序列的F統(tǒng)計量，基于置信區(qū)間法處理進行分析得到的“行”序列的F統(tǒng)計量整體上顯著減小，同時“列”序列的F統(tǒng)計最整體上顯著增大，數值上表示評酒員之間主觀因素造成的評價差異已顯著降低。同時酒樣之間質量導致的評價差異則顯著提高。相較于標準化處理后的個序列的F統(tǒng)計量，基于置信區(qū)法處理的各組數據序列的F統(tǒng)計量均通過了顯著性檢驗，且數據處理上沒有出現標準化處理導致的數值錯誤問題。4、結果的分析與討論綜合上述三種數據處理方法，結合方差分析的檢驗結果和分析，可得到基于置信區(qū)間法的數據處理方式載三種處理中最優(yōu)，因此選取基于置信區(qū)間法處理的數據的方差分折結果作為評酒員的評價差異分析對象。考慮到顯著性差異的比較中主要進行F統(tǒng)計量的比較，選取F及F-crit的數據整理得到表4。表4：F及F-crit的數據整理比較差異源FFcrit第一組紅葡萄酒行7.741.92列37.221.54差異源FFcrit第二組紅葡萄酒行10.231.92列18.231.54差異源FFcrit第一組白葡萄酒行23.881.92列9.891.53差異源FFcrit第二組白葡萄酒行13.771.92列6.101.53結論：基于表4的F統(tǒng)計量及F-crit進行數據比較，對于酒樣為紅葡萄酒的兩組數據，由于酒樣的數據序列一樣，“行”區(qū)組和“列”區(qū)組的顯著性水平位0.01的F-crit值一樣。比較紅葡萄酒評價結果的“行”區(qū)組F統(tǒng)計量，在F-crit相同的情況下，第一組的值為F=7.74196，小于第二組的值F=10.22737，則表示第二組評酒員因主觀因素造成的酒樣評價差異，相較于第一組評酒員更顯著。再比較紅葡萄酒評價結果的“列”區(qū)組F統(tǒng)計量，在F-crit相同的情況下，第一組的值為F=37.22496，大于第二組的值F=10.22737，則表示第一組評酒員因主觀因素造成的酒樣評價差異，相較于第二組評酒員更顯著。綜合兩項差異比較結論，可得針對紅葡萄酒的質量評價結果，第一組評酒員的評價結果更可信。同理，對于酒樣為白葡萄酒的兩組數據，比較白葡萄酒評價結果的“行”區(qū)組F統(tǒng)計量，在F-crit相同的情況下，第一組的值為F=23.87680，顯著大于第二組的值F=13.77288，則表示第一組評酒員因主觀因素造成的酒樣評價差異，相較于第二組評酒員更顯著。再比較白葡萄酒評價結果的“列”區(qū)組F統(tǒng)計量，在F-crit相同的情況下，第一組的值為F=9.88547，大于第二組的值F=6.10311，則表示第一組評酒員因主觀因素造成的酒樣評價差異，相較于第二組評酒員更顯著。綜合兩項差異比較結論，可得針對白葡萄酒的質量評價結果，第二組評酒員的評價結果更可信。問題二的模型聚類分析的概念聚類分析是根據事物本身的特性研究個體分類的方法。在這里我們采用分層聚類中的凝聚法，即聚類開始把參與聚類的每個個體視為一類，根據兩類之間的距離或相似性逐步合并，直到合并為一個大類為止。模型的求解首先，對紅葡萄進行分級。結合問題一的結論（第二組數據比較可信），所以葡萄酒質量的評價結果就直接引用第二組的評價結果，再對釀酒葡萄的一級理化指標進行主成分分析，得到十種主成分。再對十項主成分的系數求和。結合十項主成分的系數運用MATLAB中的聚類分析對釀酒葡萄進行分類，得到以下結果：等級優(yōu)秀優(yōu)良一般次品葡萄樣品號5,17,24261，2，4，6，8，9,10,11,12,13,14,15，16,18,19,20,23,25,273,7同理可得到白葡萄酒的主成分系數及總和。對所得的主成分系數的總和進行聚類分析，得到下表：等級優(yōu)秀優(yōu)良一般次品葡萄樣品號28211、2、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、22、23、24、25、26、273問題三模型模型的求解：按照問題一中數據標準化的處理方法，在excel中對葡萄酒和釀酒葡萄的理化指標相同的選項進行整理，然后在MATLAB中對這些數據標準化。在Excel中將以上數據繪制成圖形：模型的評價與推廣模型的評價模型的優(yōu)點：本文首先依據數理統(tǒng)計的相關知識，在MATLAB中對兩組數據進行單因子方差分析，快速而又直觀地看出兩組數據是否有顯著差異性。其次，本文也利用多元回歸分析、相關分析把較龐大的數據變得較直觀、簡潔，便于處理問題。模型的缺點：但是限于題目所給數據的不足和存在的誤差，模型建立所假設的穩(wěn)定條件以及現實中偶然因素的發(fā)生，在實際中需要進行合理的調整。假設釀造葡萄酒的環(huán)境是相同的；只考慮低醇、酯類、苯等芳香物質影響酒的香氣，忽略了其他成分的影響。模型的推廣本文主要應用數理統(tǒng)計、多元回歸分析、相關分析、聚類分析以及判別分析等知識。根據數理統(tǒng)計知識，我們利用MATLAB進行數據處理研究，判斷出兩組評酒員的評酒結果有顯著性差異，并選擇出數據較為可靠的一組。根據聚類分析、判別分析對數據處理研究，基本得到需要的答案。該模型用于生活實踐中，也可以解決很多實際問題，例如醫(yī)學實踐中根據各種化驗結果、疾病癥狀、體征判斷患者患的是什么?。惑w育選材中根據運動員的體形、運動成績、生理指標心理素質指標、遺傳因素判斷是否選入運動隊繼續(xù)培養(yǎng)，等等。它在生活中有廣泛的適用性。參考文獻汪曉銀周保平，數學建模與數學實驗，北京，科學出版社，2010.2李華劉曙東王華張予林，葡萄酒感官評價結果的統(tǒng)計分析方法研究，中國食品學報，第6卷第2期：1—1,2006.4。李華劉曙東王華張予林，葡萄酒感官評價結果的統(tǒng)計分析方法研究，中國食品學報，第6卷第2期：4—5,2006.4。姜啟源謝金星葉俊，數學模型，北京，高等教育出版社，2008.3附錄：Matlab程序：（1）數據標準化clearallfori=1:10forj=1:28Z=[857885758461847579757964827874698186758084657182867558668047677747458146694246424248484954446668494866568066407588868980778383818186857583848786908383828590807982827989615475656065665460606052496771657071687159586973697567697679787779787481708774676679817078727383767280677493598893917583625680595575716265646191717164818677825967915587838513688748080737383867776787987878580848376786877816685806879787467687781736256626867627464636270707178787674769573908579657785769188686581748492747387888087867790738879817986748482838571727069738277918177808474758581847790];a=[76.2956.7183.5064.3976.1172.6481.7170.6481.1179.50];%x(i)平均值b=[7.9113.693.856.997.1612.2312.026.758.385.80];%x(i)標準差v(i,j)=(Z(i,j)-a(i))./b(i)endendxlswrite('Book6.xlsx',v,'Sheet1')（2）置信區(qū)間調整clearallforj=1:27a=[62.780.380.468.673.372.271.572.381.574.270.153.974.67358.774.979.359.978.678.677.177.285.67869.273.873];%x(j)平均值b=[9.646.316.7710.397.877.7310.186.635.745.518.418.926.706.009.254.259.386.876.885.1010.777.115.708.658.045.597.06];%x(j)標準差m=a+b;n=a-b;endfori=1:10forj=1:27Z=[5171805274726364776773546970697270637678737383706073706681856474697076788260428477508079658484908385857880774986896572717665768372407970508091