一章隨機(jī)及其概率

1海南大學(xué)信息學(xué)院數(shù)學(xué)系

Probabilityandstatistics

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2第一章隨機(jī)事件及其概率第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第二章隨機(jī)變量及其概率分布第三章多維隨機(jī)變量及其分布第五章大數(shù)定律及中心極限定理第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識第七章參數(shù)估計(jì)第八章假設(shè)檢驗(yàn)3

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)曾說：

“生活中最重要的問題,其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率問題”英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯曾對概率論大佳贊賞：

的某種估計(jì),那么我們就寸步難行,無所作為.“概率論是生活真正的領(lǐng)路人,如果沒有對概率4氣象、水文、地震預(yù)報(bào)概率論的應(yīng)用工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)武器精度評估優(yōu)化實(shí)驗(yàn)方案社會、經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、生物產(chǎn)品抽樣驗(yàn)收生產(chǎn)自動化控制5下面我們就來開始一門“將不定性數(shù)量化”的課程的學(xué)習(xí)，這就是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)6第一章隨機(jī)事件及其概率§1隨機(jī)事件§2隨機(jī)事件的概率§3條件概率§4事件的獨(dú)立性和伯努利概型第一章隨機(jī)事件及其概念71.1隨機(jī)現(xiàn)象1.2隨機(jī)事件1.3隨事件的關(guān)系及運(yùn)算§1隨機(jī)事件

第一章隨機(jī)事件及其概念8在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象（必然現(xiàn)象）“可導(dǎo)必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實(shí)例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象1.1隨機(jī)現(xiàn)象

確定性現(xiàn)象的特征:

條件完全決定結(jié)果第一章隨機(jī)事件及其概念9在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.第一章隨機(jī)事件及其概念10結(jié)果有可能為:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.

實(shí)例3

“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.

實(shí)例2

“用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況”.結(jié)果:“彈落點(diǎn)會各不相同”.第一章隨機(jī)事件及其概念11實(shí)例4

“從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個產(chǎn)品”.其結(jié)果可能為:

正品、次品.實(shí)例5

“過馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈”.實(shí)例6

“一只燈泡的壽命”可長可短.隨機(jī)現(xiàn)象的特征:條件不能完全決定結(jié)果第一章隨機(jī)事件及其概念12???第一章概率論的基本概念有矛盾嗎?“天有不測風(fēng)云”和“天氣可以預(yù)報(bào)”實(shí)現(xiàn)的偶然性。無!氣象資料來探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性。

“天氣可以預(yù)報(bào)”指的是隨機(jī)現(xiàn)象一次

“天有不測風(fēng)云”指的是研究者從大量的132.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.問題:什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明:1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.第一章隨機(jī)事件及其概念14第一章隨機(jī)事件及其概念

1.2隨機(jī)事件1.隨機(jī)試驗(yàn)1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).定義

在概率論中,把具有以下三個特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).15第一章隨機(jī)事件及其概念說明：

1.

隨機(jī)試驗(yàn)簡稱為試驗(yàn),是一個廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn),也包括對客觀事物進(jìn)行的“調(diào)查”、“觀察”、或“測量”等.實(shí)例

“拋擲一枚硬幣,觀察正面,反面出現(xiàn)的情況”.分析2.

隨機(jī)試驗(yàn)通常用E來表示.(1)

試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;16第一章隨機(jī)事件及其概念1.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn)(2)

試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:正面，反面;(3)

進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).

故為隨機(jī)試驗(yàn).17第一章隨機(jī)事件及其概念3.

記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).4.

考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.

從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.18第一章隨機(jī)事件及其概念2.樣本空間問題

隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果?定義

隨機(jī)試驗(yàn)

E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為

E的樣本空間,

記為Ω

.樣本空間的元素

,即試驗(yàn)E的每一個結(jié)果,稱為樣本點(diǎn)(SamplePoint),常記為ω

，實(shí)例1

拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況.19第一章隨機(jī)事件及其概念實(shí)例2

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).實(shí)例3

從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的情況.20第一章隨機(jī)事件及其概念實(shí)例4

記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).實(shí)例5考察某地區(qū)12月份的平均氣溫.21第一章隨機(jī)事件及其概念實(shí)例6

從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.實(shí)例7記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù).注：試驗(yàn)的樣本空間是根據(jù)試驗(yàn)的內(nèi)容確定的！22第一章隨機(jī)事件及其概念問題：？怎樣用數(shù)學(xué)語言表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間

的子集(或某些樣本點(diǎn)的子集），稱為E的隨機(jī)事件,簡稱事件，常用A、B、C

等表示.試驗(yàn)中,骰子“出現(xiàn)1點(diǎn)”,“出現(xiàn)2點(diǎn)”,…,“出現(xiàn)6點(diǎn)”,“點(diǎn)數(shù)不大于4”,“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”等都為隨機(jī)事件.實(shí)例

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).23第一章隨機(jī)事件及其概念基本事件:(相對于觀察目的不可再分解的事件)事件

B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).

事件Ai

={擲出i點(diǎn)},i=1,2,3,4,5,6由一個樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.基本事件24第一章隨機(jī)事件及其概念事件B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)1,3,5中的某一個出現(xiàn).當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱事件A發(fā)生.如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).25第一章隨機(jī)事件及其概念特例—必然事件必然事件樣本空間Ω也是其自身的一個子集Ω也是一個“隨機(jī)”事件每次試驗(yàn)中必定有Ω中的一個樣本點(diǎn)出現(xiàn)必然發(fā)生“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過6”為必然事件。例——記作Ω26第一章隨機(jī)事件及其概念特例—不可能事件空集Φ也是樣本空間的一個子集不包含任何樣本點(diǎn)不可能事件Φ也是一個特殊的“隨機(jī)”事件不可能發(fā)生“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”是不可能事件例——記作Φ27第一章隨機(jī)事件及其概念隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系每一個隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個樣本空間,樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件一般的事件怎樣構(gòu)成

?任何事件都由基本事件組成!必然事件不可能事件是兩個特殊的隨機(jī)事件28第一章隨機(jī)事件及其概念

1.3事件的關(guān)系及運(yùn)算

1.包含關(guān)系若事件A出現(xiàn),必然導(dǎo)致B出現(xiàn),則稱事件B包含事件A,記作實(shí)例

“長度不合格”必然導(dǎo)致“產(chǎn)品不合格”所以“產(chǎn)品不合格”包含“長度不合格”.圖示

B包含

A.

BA一、隨機(jī)事件間的關(guān)系29第一章隨機(jī)事件及其概念若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.2.事件的和(并)實(shí)例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品不合格”是“長度不合格”與“直徑不合格”的并.圖示事件

A與

B的并.

BA30第一章隨機(jī)事件及其概念3.事件的交(積)推廣31第一章隨機(jī)事件及其概念圖示事件A與B

的積事件.

ABAB實(shí)例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格”是“長度合格”與“直徑合格”的交或積事件.32第一章隨機(jī)事件及其概念和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)33第一章隨機(jī)事件及其概念實(shí)例拋擲一枚硬幣,“出現(xiàn)花面”與“出現(xiàn)字面”是互不相容的兩個事件.4.事件的互不相容(互斥)若事件A、B滿足則稱事件A與B互不相容.34第一章隨機(jī)事件及其概念“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子出現(xiàn)2點(diǎn)”圖示A與B互斥

AB互斥實(shí)例拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).說明當(dāng)A

B=

時(shí),可將A

B記為“直和”形式A+B.

任意事件A與不可能事件為互斥.35第一章隨機(jī)事件及其概念5.事件的差圖示A與B的差

AB實(shí)例“長度合格但直徑不合格”是“長度合格”與“直徑合格”的差.

BA事件“A出現(xiàn)而B不出現(xiàn)”，稱為事件A與B的差.記作A-B(或)36第一章隨機(jī)事件及其概念若事件A、B滿足實(shí)例“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)”圖示A與B的對立.

BA6.事件的互逆（對立）對立則稱A與B為互逆(或?qū)α?事件.A的逆記作37第一章隨機(jī)事件及其概念對立事件與互斥事件的區(qū)別

ABABA、B對立A、B互斥互斥對立38第一章隨機(jī)事件及其概念二、事件間的運(yùn)算規(guī)律39第一章隨機(jī)事件及其概念某射手向目標(biāo)射擊三次，用表示第次擊中目標(biāo)試用及其運(yùn)算符表示下列事件：（1）三次都擊中目標(biāo)：（2）至少有一次擊中目標(biāo)：

（3）恰好有兩次擊中目標(biāo)：（4）最多擊中一次：（5）至少有一次沒有擊中目標(biāo)：（6）三次都沒有擊中目標(biāo)：例1：復(fù)合事件的表示40第一章隨機(jī)事件及其概念練一練1.A,B,C為同一樣本空間的隨機(jī)事件，試用A，B，C的運(yùn)算表示下列事件1）A，B，C都不發(fā)生2）A與B發(fā)生，C不發(fā)生3）A，B，C至少有一個發(fā)生4）A，B，C中恰有二個發(fā)生5）A，B，C中至少有二個發(fā)生6）事件3）的對立事件412.

設(shè)Ａ，Ｂ是兩個任意的隨機(jī)事件，則解（1997）第一章隨機(jī)事件及其概念練一練42解選Ｄ（2001）3.

對于任意兩個事件Ａ和Ｂ，不等價(jià)的是（）與第一章隨機(jī)事件及其概念練一練43選Ｃ

4.在電爐上安裝了４個控溫器，解的誤差是隨機(jī)的。溫器顯示的溫度不低于臨界溫度電。顯示的按遞增順序排列的溫度值則事件Ｅ等于（）。（2000）其顯示溫度在使用過程中，只要有兩個控以Ｅ表示事件“電爐斷電”，設(shè)為４個控溫器示的溫度大于或等于，顯示的溫度一定大于等于“電爐斷電”表示至少有２個控溫器顯則此時(shí)第三個控溫器，電爐就斷第一章隨機(jī)事件及其概念練一練44第一章隨機(jī)事件及其概念隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件基本事件必然事件不可能事件復(fù)合事件小結(jié)1.隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系45第一章隨機(jī)事件及其概念2.概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系概率論集合論樣本空間（必然事件）Ω

全集不可能事件Φ

空集Φ子事件A?B子集A?B和事件A∪B并集A∪B積事件A∩B交集A∩B差事件A-B差集A-B對立事件補(bǔ)集46第一章隨機(jī)事件及其概念

德·摩根（Ａ.DeMorgan,1806～1871）英國著名數(shù)學(xué)家，所著的《代數(shù)學(xué)》是我國第一本代數(shù)學(xué)譯本

。負(fù)數(shù)的認(rèn)識問題

德·摩根不承認(rèn)負(fù)數(shù)。1831年，德·摩根在他的《論數(shù)學(xué)的研究和困難》中仍堅(jiān)持認(rèn)為負(fù)數(shù)是荒謬的．他舉例說：“父親活56，他的兒子29歲，問什么時(shí)候，父親的歲數(shù)將是兒子的2倍?”解方程56＋x＝2（29＋x）,得x＝－2，他說這個結(jié)果是荒謬的。

47第一章隨機(jī)事件及其概念四色猜想

四色猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。

1852年,剛從倫敦大學(xué)畢業(yè)的弗南西斯·葛斯里在對英國地圖著色時(shí)發(fā)現(xiàn),對無論多么復(fù)雜的地圖,只需用四種顏色就足夠?qū)⑾噜彽膮^(qū)域分開。這個千萬人屢見不鮮的有趣事實(shí)引起了他的注意,他感到這種現(xiàn)象決非偶然,可能隱藏著深刻的科學(xué)道理。他把他的想法告訴了他的哥哥弗德雷克。弗德雷克是著名數(shù)學(xué)家德·摩根的學(xué)生，他對這個問題極感興趣,憑他的數(shù)學(xué)敏銳性，他感到這是個數(shù)學(xué)問題，于是便設(shè)法證明?？墒?盡管他絞盡腦汁，仍百思不得其解，于是他以“四色定理”為名，請他的老師德·摩根證明。

48第一章隨機(jī)事件及其概念

德·摩根也無法解決這個問題，于是德·摩根寫信請著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓幫助解答，這位智慧超群的人也被這個簡單的問題弄得一籌莫展，他冥思苦想了13年，直至逝世仍毫無結(jié)果。在1876年，當(dāng)時(shí)很有名望的數(shù)學(xué)家凱萊在數(shù)學(xué)年會上把這個問題歸納為“四色猜想”提出，并征求問題的解答。于是“四色猜想”開始引人注目?！八纳孪搿钡碾y度一開始并未引起人們的注意。愛因斯坦的老師閔可夫斯基平時(shí)為人很謙虛，偏偏有一次給大學(xué)生上課時(shí)在這個問題上出了洋相。49第一章隨機(jī)事件及其概念

他在課堂上，一時(shí)興起,便說：“四色猜想之所以一直沒有解決,那僅僅是由于當(dāng)今世界上第一流的數(shù)學(xué)家沒有研究它,其實(shí)要解決這一猜想并不見得會有多難?！闭f著拿起粉筆竟要在課堂上即興推演,以為可以一揮而就。沒想到越寫越多,越寫越復(fù)雜，最后竟不由自主地“掛”起黑板來。但他仍胸有成竹，確信可證明此問題。可是一連幾個星期的課,他都以失敗而告終。有一天,他疲憊不堪地走進(jìn)教室，當(dāng)時(shí)正值驚雷震耳，暴雨滂沱，他十分愧疚地對同學(xué)說：“唉，看來上帝也在責(zé)怪我的狂妄自大!四色猜想真難呀，我簡直拿他毫無辦法?！?0第一章隨機(jī)事件及其概念

1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文,宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。11年后,即1890年,數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯誤的。不久,泰勒的證明也被人們否定了。后來，越來越多的數(shù)學(xué)家雖然對此絞盡腦汁,但一無所獲。于是，人們開始認(rèn)識到，這個貌似容易的題目,實(shí)是一個可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。進(jìn)入20世紀(jì)以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。1913年，伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進(jìn)了一些新技巧，51第一章隨機(jī)事件及其概念

美國數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。

1950年,有人從22國推進(jìn)到35國。1960年,有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國?？磥磉@種推進(jìn)仍然十分緩慢。電子計(jì)算機(jī)問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上,用了1200個小時(shí),作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。四色猜想的計(jì)算機(jī)證明,轟動了世界。52第一章隨機(jī)事件及其概念2.1頻率2.2概率2.3古典概型2.4幾何概型§2隨機(jī)事件的概率53第一章隨機(jī)事件及其概念

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小也就是事件的概率.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是人為的嗎?否！54第一章隨機(jī)事件及其概念2.1頻率

1.定義

在相同的條件下,進(jìn)行了n次試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值n

A/n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成fn(A).55

這三條性質(zhì)刻畫了頻率的本質(zhì)特征,啟發(fā)我們定義事件的概率若是兩兩不相容事件,則有限可加性？2.性質(zhì)設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)E的任一事件,則第一章隨機(jī)事件及其概念56第一章隨機(jī)事件及其概念試驗(yàn)序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實(shí)例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性57第一章隨機(jī)事件及其概念從上述數(shù)據(jù)可得(2)拋硬幣次數(shù)n較小時(shí),頻率f

的隨機(jī)波動幅度較大,但隨n

的增大,頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)n

逐漸增大時(shí)頻率f總是在0.5附近擺動,且逐漸穩(wěn)定于0.5.(1)頻率有隨機(jī)波動性,即對于同樣的n,所得的

f不一定相同;58第一章隨機(jī)事件及其概念實(shí)驗(yàn)者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500559第一章隨機(jī)事件及其概念頻率穩(wěn)定值概率頻率與概率之間的關(guān)系事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性大小頻率的性質(zhì)概率的公理化定義60第一章隨機(jī)事件及其概念2.2概率【1.定義】設(shè)

E是隨機(jī)試驗(yàn)，S

是它的樣本空間，非負(fù)性規(guī)范性可列可加性函數(shù)滿足下列條件：對于E

的每一個事件A

賦予一個實(shí)數(shù)，稱為事件A

的概率。記為，要求集合相容的事件，若是兩兩互不有61第一章隨機(jī)事件及其概念證明由概率的可列可加性得2.性質(zhì)62第一章隨機(jī)事件及其概念概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得63第一章隨機(jī)事件及其概念證明64第一章隨機(jī)事件及其概念證明證明65第一章隨機(jī)事件及其概念證明由圖可得又由性質(zhì)3得因此得66第一章隨機(jī)事件及其概念推廣------

三個事件和的情況n個事件和的情況67第一章隨機(jī)事件及其概念解68第一章隨機(jī)事件及其概念

ABAB69第一章隨機(jī)事件及其概念例2解

由概率的性質(zhì)，可得

.70第一章隨機(jī)事件及其概念例3解(1)由題意又所以(2)由于所以再由對偶律，可得71第一章隨機(jī)事件及其概念例4

某城市中發(fā)行2種報(bào)紙A,B.經(jīng)調(diào)查在這2種報(bào)紙的訂戶中,訂閱A報(bào)的有45%,訂閱B報(bào)的有35%,同時(shí)訂閱這2種報(bào)紙的有10%,求(1)只訂閱A報(bào)的概率;(2)只訂閱1種報(bào)紙的概率.72第一章隨機(jī)事件及其概念例5

某市有甲,乙,丙三種報(bào)紙,訂每種報(bào)紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時(shí)訂甲,乙兩種報(bào)紙.沒有人同時(shí)訂甲丙或乙丙報(bào)紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報(bào)紙的概率.解:設(shè)A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報(bào)73第一章隨機(jī)事件及其概念

甲、乙兩人同時(shí)向目標(biāo)射擊一次，設(shè)甲擊中的概率為0.85，乙擊中的概率為0.8．兩人都擊中的概率為0.68．求目標(biāo)被擊中的概率．

解

＝0.85＋0.8－0.68＝0.97

練一練

設(shè)Ａ表示甲擊中目標(biāo)，Ｂ表示乙擊中目標(biāo)，Ｃ表示目標(biāo)被擊中，則74第一章隨機(jī)事件及其概念練一練

考察甲，乙兩個城市6月逐日降雨情況。已知甲城出現(xiàn)雨天的概率是0.3,乙城出現(xiàn)雨天的概率是0.4,甲乙兩城至少有一個出現(xiàn)雨天的概率為0.52,試計(jì)算甲乙兩城同一天出現(xiàn)雨天的概率.解

設(shè)A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”則所以75第一章隨機(jī)事件及其概念2.3古典概型

1.定義如果一個隨機(jī)試驗(yàn)E具有以下特征（1）試驗(yàn)的樣本空間中僅含有有限個樣本點(diǎn)；（2）每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同。則稱該隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型。首先引入的計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，是在概率論的發(fā)展過程中最早出現(xiàn)的研究對象，通常稱為古典概型.76第一章隨機(jī)事件及其概念如何理解古典概型中的等可能假設(shè)？

等可能性是古典概型的兩大假設(shè)之一，有了這兩個假設(shè)，給直接計(jì)算概率帶來了很大的方便。但在事實(shí)上，所討論問題是否符合等可能假設(shè)，一般不是通過實(shí)際驗(yàn)證，而往往是根據(jù)人們長期形成的“對稱性經(jīng)驗(yàn)”作出的。例如，骰子是正六面形，當(dāng)質(zhì)量均勻分布時(shí)，投擲一次，每面朝上的可能性都相等；裝在袋中的小球，顏色可以不同，只要大小和形狀相同，摸出其中任一個的可能性都相等。因此，等可能假設(shè)不是人為的，而是人們根據(jù)對事物的認(rèn)識一對稱性特征而確認(rèn)的。77第一章隨機(jī)事件及其概念

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個樣本點(diǎn)構(gòu)成,A為E的任意一個事件,且包含

m個樣本點(diǎn),則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計(jì)算公式稱此為概率的古典定義.

78第一章隨機(jī)事件及其概念3.古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1

設(shè)袋中有M個白球和

N個黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出m+n個球,求所取球恰好含m個白球,n個黑球的概率?樣本點(diǎn)總數(shù)為A所包含的樣本點(diǎn)個數(shù)為解設(shè)A={所取球恰好含m個白球,n個黑球}79(2)有放回地摸球問題2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球第一章隨機(jī)事件及其概念80基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為課堂練習(xí)1o

電話號碼問題

在7位數(shù)的電話號碼中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率.

2o

骰子問題

擲3顆均勻骰子,求點(diǎn)數(shù)之和為4的概率.第一章隨機(jī)事件及其概念814.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量無限問題1

把4個球放到3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率,其中假設(shè)每個杯子可放任意多個球.4個球放到3個杯子的所有放法第一章隨機(jī)事件及其概念82第一章隨機(jī)事件及其概念因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為83第一章隨機(jī)事件及其概念(2)每個杯子只能放一個球問題2

把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球,求第1至第4個杯子各放一個球的概率.解第1至第4個杯子各放一個球的概率為84第一章隨機(jī)事件及其概念許多表面上提法不同的問題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型：

有n個人，每個人都以相同的概率1/N(N≥n)被分在

N間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率.人房人任一天

有n個人，設(shè)每個人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個人的生日互不相同的概率.85

有n個旅客，乘火車途經(jīng)N個車站，設(shè)每個人在每站下車的概率為1/N(N≥n)，求指定的n個站各有一人下車的概率.旅客車站第一章隨機(jī)事件及其概念

某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同.求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率.車禍天86第一章隨機(jī)事件及其概念解5.典型例題87第一章隨機(jī)事件及其概念在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有88第一章隨機(jī)事件及其概念例3

將n只球隨機(jī)的放入N(N

n)個盒子中去，求每個盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）解：將n只球放入N個盒子中去,共有而每個盒子中至多放一只球, 共有故種放法種放法89第一章隨機(jī)事件及其概念有很多問題與本例有相同的數(shù)學(xué)模型例如至少有兩個人生日相同的概率為是等可能的,即都等于1/365,那么隨機(jī)取設(shè)每個人的生日在一年365天中的任一天個人，他們的生日各不相同的概率為90第一章隨機(jī)事件及其概念我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.91第一章隨機(jī)事件及其概念例4

在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為解92第一章隨機(jī)事件及其概念于是所求概率為93第一章隨機(jī)事件及其概念例5

將15名新生隨機(jī)地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是特長生.問(1)每一個班級各分配到一名特長生的概率是多少?(2)3名特長生分配在同一個班級的概率是多少?解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù):(1)每一個班級各分配到一名特長生的分法共有94第一章隨機(jī)事件及其概念因此所求概率為(2)將3名特長生分配在同一個班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名特長生分配在同一個班級的分法共有因此所求概率為95第一章隨機(jī)事件及其概念例6

某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777故一周內(nèi)接待12次來訪共有96第一章隨機(jī)事件及其概念小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四12341222222

12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為97第一章隨機(jī)事件及其概念——若P(A)很小(0.01,0.05),則稱A為小概率事件小概率事件——一次試驗(yàn)中小概率事件一般是不會發(fā)生的.若在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生了,則可懷疑該事件并非小概率事件.小概率原理98第一章隨機(jī)事件及其概念解例7設(shè)：A={i位顧客中獎}到第i位顧客為止，試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為而第i位顧客中獎可以抽到k張有獎券中的任意一張，其他的顧客在剩余的n-1張獎券中任意抽取，所以事件A包含的基本事件數(shù)為某商場為促銷舉辦抽獎活動，投放的n張獎券中k(k<n)張是有獎的，每位光臨的顧客均可抽取一張獎券，求第i(i≤n)位顧客中獎的概率99第一章隨機(jī)事件及其概念所以，求第i(i≤n)位顧客中獎的概率為注意由于概率與i無關(guān)，即抽簽與順序無關(guān)盡管抽獎的先后次序不同，各人中獎的概率是一樣的，大家機(jī)會相同.另外還值得注意的是放回抽樣的情況與不放回抽樣的情況下P(A)是一樣的。100第一章隨機(jī)事件及其概念

一樓房共14層，假設(shè)電梯在一樓啟動時(shí)有10名乘客，且乘客在各層下電梯是等可能的。試求下列事件的概率：A1={10個人在同一層下}；A2={10人在不同的樓層下}；A3={10人都在第14層下}；A4={10人恰有4人在第8層下}.練一練總的基本事件數(shù)：各事件含有的基本事件數(shù)分別為：A1A2A3A41解所以，各事件的概率為：………..101第一章隨機(jī)事件及其概念2.4幾何概型

把有限個樣本點(diǎn)推廣到無限個樣本點(diǎn)的場合,人們引入了幾何概型.由此形成了確定概率的另一方法——幾何方法.概率的古典定義具有可計(jì)算性的優(yōu)點(diǎn),但它也有明顯的局限性.要求樣本點(diǎn)有限,如果樣本空間中的樣本點(diǎn)有無限個,概率的古典定義就不適用了.102第一章隨機(jī)事件及其概念定義1

當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個區(qū)域,并且任意一點(diǎn)落在度量(長度,面積,體積)相同的子區(qū)域是等可能的,則事件A的概率可定義為說明:

事件A發(fā)生的概率與位置無關(guān),只與A的度量有關(guān)，這體現(xiàn)了某種“等可能性”

.103第一章隨機(jī)事件及其概念例1某人午覺醒來,發(fā)覺表停了,便打開收音機(jī)收聽電臺報(bào)時(shí),已知電臺每個整點(diǎn)報(bào)時(shí),求他能在10分鐘之內(nèi)聽到報(bào)時(shí)的概率.由于上一次報(bào)時(shí)和下一次報(bào)時(shí)的時(shí)間間隔為60分鐘，而這個人可能在內(nèi)的任一時(shí)刻打開收音機(jī)，所以這是一個直線上的幾何概型問題.解用x表示他打開收音機(jī)的時(shí)刻，A表示事件{他能在10分鐘之內(nèi)聽到電臺報(bào)時(shí)},則104第一章隨機(jī)事件及其概念兩船發(fā)生沖突的充要條件為例2甲、乙兩船在某碼頭的同一泊位?？啃敦洠恐淮伎赡茉谠绯科唿c(diǎn)至八點(diǎn)間的任一時(shí)刻到達(dá)，并且卸貨時(shí)間都是20分鐘，求兩只船使用泊位時(shí)發(fā)生沖突的概率.會面問題解因?yàn)榧?、乙兩船都在七點(diǎn)至八點(diǎn)間的60分鐘內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)，以x,y分別表示甲乙二船到達(dá)的時(shí)刻，那么105第一章隨機(jī)事件及其概念故所求的概率為若以x,y

表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有106第一章隨機(jī)事件及其概念例3

甲、乙兩人約定在下午1時(shí)到2時(shí)之間到某站乘公共汽車,又這段時(shí)間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開車時(shí)刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果他們約定見車就乘;求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時(shí)刻是互相不牽連的,且每人在1時(shí)到2時(shí)的任何時(shí)刻到達(dá)車站是等可能的.107第一章隨機(jī)事件及其概念見車就乘的概率為設(shè)x,y分別為甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻,則有解108第一章隨機(jī)事件及其概念蒲豐投針試驗(yàn)例4

1777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問題.平面上畫有等距離為a(>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b(<a)的針,試求針與任一平行直線相交的概率.解109第一章隨機(jī)事件及其概念由投擲的任意性可知,這是一個幾何概型問題.110第一章隨機(jī)事件及其概念111第一章隨機(jī)事件及其概念蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義112第一章隨機(jī)事件及其概念歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)

3.179585925200.54191925Reina

3.1415929180834080.831901Lazzerini

3.159548910300.751884Fox

3.1373826001.01860DeMorgan

3.1554121832040.61855Smith

3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長時(shí)間試驗(yàn)者113第一章隨機(jī)事件及其概念

(分賭注問題)甲、乙各下注a元，以猜硬幣方式賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。若甲贏得第一局后，賭博被迫中止，賭注該如何分？解法一：應(yīng)按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注。即在余下的四局中甲贏得2局以上即可。甲最終獲勝的概率為P4(2)+P4(3)+P4(4)每局甲獲勝的概率是1/2賭注應(yīng)按11：5的比例分配。114第一章隨機(jī)事件及其概念解法二：一般情況下不必比到第五局，有一方贏得三局即中止。甲方在第三局結(jié)束賭博獲得勝利的概率為甲方在第四局結(jié)束賭博獲勝的概率為甲方在第五局結(jié)束賭博獲勝的概率為故甲方最終獲勝的概率為P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)賭注應(yīng)按11：5的比例分配。115第一章隨機(jī)事件及其概念

1)在線段AD上任意取兩個點(diǎn)B、C，在B、C處折斷此線段而得三折線，求此三折線能構(gòu)成三角形的概率。(1/4)2)甲、乙兩船?？客淮a頭，各自獨(dú)立地到達(dá)，且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的。若甲船需停泊1小時(shí)，乙船需停泊2小時(shí)，而該碼頭只能停泊一艘船。試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率（0.121)

練一練3)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個數(shù)，求下列事件的概率：(1)兩個數(shù)中較小(大)的小于1/2；(3/4,1/4)(2)兩數(shù)之和小于3/2；(7/8)(3)兩數(shù)之積小于1/4。(0.5966)116第一章隨機(jī)事件及其概念§3條件概率

3.1條件概率3.2乘法公式3.3全概率公式3.4貝葉斯公式117第一章隨機(jī)事件及其概念3.1條件概率在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生的概率，將此概率記作P(B|A).

一般地P(B|A)≠P(B)118第一章隨機(jī)事件及其概念P(B)=1/6，1.引例.

擲一顆均勻骰子，A={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，

B={擲出2點(diǎn)}，P(B|A)=？擲骰子已知事件A發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是A，

P(B|A)=1/3.

A中共有3個元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個在集B中.容易看到P(B|A)于是119第一章隨機(jī)事件及其概念P(B)=3/10，

又如,

10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.現(xiàn)從這10件中任取一件，記

B={取到一等品}A={取正品}，P(B|A)則120第一章隨機(jī)事件及其概念P(B)=3/10，

B={取到一等品}P(B|A)=3/7本例中，計(jì)算P(B)時(shí)，依據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一等品的比例.A={取到正品}，計(jì)算P(B|A)時(shí)，這個前提條件未變，只是加上“事件A已發(fā)生”這個新的條件.這好象給了我們一個“情報(bào)”，使我們得以在某個縮小了的范圍內(nèi)來考慮問題.121第一章隨機(jī)事件及其概念若事件A已發(fā)生,則為使B也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在A中又在B中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道A已發(fā)生,故A變成了新的樣本空間,于是有(1).

設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0,則稱

2.

條件概率的定義為在事件A發(fā)生的條件下,事件B的條件概率.(1)122第一章隨機(jī)事件及其概念3.條件概率的性質(zhì)(自行驗(yàn)證)123第一章隨機(jī)事件及其概念例1

已知某家庭有3個小孩，且至少有一個是女孩，求該家庭至少有一個男孩的概率．則所以解：設(shè)A={3個小孩至少有一個女孩}

B={3個小孩至少有一個男孩}124第一章隨機(jī)事件及其概念125第一章隨機(jī)事件及其概念所以由于126第一章隨機(jī)事件及其概念由條件概率對稱地有可推得乘法公式3.2乘法公式127第一章隨機(jī)事件及其概念多個事件的乘法公式128第一章隨機(jī)事件及其概念例3

某批產(chǎn)品中，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占，并且甲廠的產(chǎn)品的次品率為.從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品的概率.解由題意可知所求概率即為

.由乘法公式可得

,又129第一章隨機(jī)事件及其概念例4

某人忘記了所要撥打的電話號碼的最后一位數(shù)字，因而只能隨意撥碼.求他（她）撥碼不超過3次接通電話的概率.解則顯然互不相容，所以130第一章隨機(jī)事件及其概念例5

五個鬮,其中兩個鬮內(nèi)寫著“有”字,三個鬮內(nèi)不寫字,五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有抓鬮是否與次序有關(guān)?

131第一章隨機(jī)事件及其概念132第一章隨機(jī)事件及其概念依此類推故抓鬮與次序無關(guān).133第一章隨機(jī)事件及其概念摸球試驗(yàn)

解例6134第一章隨機(jī)事件及其概念此模型被波利亞用來作為描述傳染病的數(shù)學(xué)模型.135第一章隨機(jī)事件及其概念例7袋中有一個白球與一個黑球，解則設(shè)＝“次均未取到黑球”＝“第次取到白球”由乘法公式，有從中取出一球，回外再加進(jìn)一個白球，現(xiàn)每次若取出白球，則除把白球放直至取出黑球?yàn)橹埂Ｇ笕×舜味嘉慈〕龊谇虻母怕?36第一章隨機(jī)事件及其概念137第一章隨機(jī)事件及其概念例8設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，解落下時(shí)打破的概率為1/2

，打破，次落下未打破，求透鏡落下三次而未打破的概率。第一次若第一次落下未第二次落下打破的概率為7/10，若前兩第三次落下打破的概率為9/10次落下打破”，次而未打破”，以B

表示事件“透鏡落下三有以

(i=1,2,3)表示事件“透鏡第i138第一章隨機(jī)事件及其概念練一練某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件;B表示“能活25歲以上”的事件,則有解139第一章隨機(jī)事件及其概念練一練

甲，乙，丙3人參加面試抽簽，每人的試題通過不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的10個試題簽中有4個是難題簽，按甲先，乙次，丙最后的次序抽簽。試求1）甲抽到難題簽，2）甲和乙都抽到難題簽，3）甲沒抽到難題簽而乙抽到難題簽，4）甲，乙，丙都抽到難題簽的概率。解設(shè)A，B，C分別表示“甲、乙、丙抽到難簽”則140第一章隨機(jī)事件及其概念為E

的一組事件.若滿足3.3全概率公式1.樣本空間的劃分定義

設(shè)

為試驗(yàn)

E

的樣本空間，則稱為樣本空間

的一個劃分.141第一章隨機(jī)事件及其概念全概率公式兩兩互不相容或設(shè)隨機(jī)事件及滿足則有——全概率公式142第一章隨機(jī)事件及其概念圖示證明化整為零各個擊破由143第一章隨機(jī)事件及其概念說明

全概率公式的主要用處在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為若干個簡單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.故在應(yīng)用全概率公式時(shí)，關(guān)鍵是找到一個合適的S的劃分144第一章隨機(jī)事件及其概念全概率公式的應(yīng)用將事件B看作某一過程的結(jié)果，看作該過程的若干個原因，據(jù)歷史資料，已知），已知（即已知），公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率（即求）.將事件根每一原因發(fā)生的概率已知（即且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度則我們可用全概率145第一章隨機(jī)事件及其概念例1

市場供應(yīng)的某種商品中，甲廠生產(chǎn)的占50%，乙廠生產(chǎn)的占30%

，丙廠生產(chǎn)的占20%，又知這三個廠的產(chǎn)品合格率分別為90%，85%，95%，求顧客買到的這種產(chǎn)品為合格品的概率是多少?設(shè)事件B為“買到的產(chǎn)品為合格品”,解表示“買到的分別是甲乙丙廠家生產(chǎn)的”顯然146第一章隨機(jī)事件及其概念又由題意由全概率公式得147第一章隨機(jī)事件及其概念例2

人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢螘r(shí)間內(nèi)價(jià)格的變化，往往會分析影響股票價(jià)格的因素，比如利率的變化.假設(shè)利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在利率下調(diào)的情況下，該股票價(jià)格上漲的概率為80%，在利率不變的情況下，其價(jià)格上漲的概率為40%.求該股票價(jià)格上漲的概率.解由題意148第一章隨機(jī)事件及其概念由全概率公式得149第一章隨機(jī)事件及其概念

袋中有a

只紅球b

只白球,先從袋中任取一球,記下顏色后放回，同時(shí)向袋中放入同顏色的球1只,然后再從袋中取出一球.求第二次取到白球的概率.記第次取到白球第次取到紅球第次取到白球則是

的一個分劃，由全概率公式有

第二次取到白球的概率與第一次取到白球的概率相等，與前面放入什么顏色的球無關(guān)如果加入c

個同色球有什么結(jié)果？例3解150第一章隨機(jī)事件及其概念

有10個袋,其中甲袋二個,每袋中有紅球、白球各2個;乙袋三個,每袋中有紅球3個、白球2個;丙袋五個,每袋中有紅球2個、白球3個.從十個袋中任取一袋,再從袋中任取一球,求取到白球的概率.記分別表示取到甲、乙、丙袋由全概率公式有取到白球從甲、乙、丙袋取到白球的概率全概率公式是概率的加權(quán)平均例4解如果將三類袋中的球混合在一起，然后任取一球，那么取到白球的概率是否相同？151第一章隨機(jī)事件及其概念例5

某小組有20名射手，解＝“選級射手參加比賽”由全概率公式，有射手分別為2、6、9、3名。四級射手參加比賽，分別為0.85，0.64，0.45，0.32，參加比賽，又若選一、二、三、其中一、二、三、四級則在比賽中射中目標(biāo)的概率今隨機(jī)選一人試求該小組在比賽中射中目標(biāo)的概率設(shè)＝“該小組在比賽中射中目標(biāo)”152第一章隨機(jī)事件及其概念例6

甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.

設(shè)A={飛機(jī)被擊落}

Bi={飛機(jī)被i人擊中},i=1,2,3則A=B1AUB2AUB3A解依題意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,

P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)153第一章隨機(jī)事件及其概念可求得

為求P(Bi),

設(shè)Hj={飛機(jī)被第j人擊中},j=1,2,3將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.154第一章隨機(jī)事件及其概念P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458

=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.于是155第一章隨機(jī)事件及其概念3.4貝葉斯公式（Bayes）兩兩互不相容或設(shè)隨機(jī)事件及滿足則有156第一章隨機(jī)事件及其概念全概率公式條件概率乘法定理157第一章隨機(jī)事件及其概念Bayes公式的應(yīng)用將事件B看作某一過程的結(jié)果，看作該過程的若干個原因，據(jù)歷史資料，已知），已知（即已知），經(jīng)發(fā)生，將事件根每一原因發(fā)生的概率已知（即且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度如果已知事件B已要求此時(shí)是由第個原因引起的概率則用Bayes公式（求。158第一章隨機(jī)事件及其概念機(jī)器調(diào)整得良好

產(chǎn)品合格機(jī)器發(fā)生某一故障

例1

對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，生某一故障時(shí)，器開動時(shí)，某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，得良好的概率是多少？產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)其合格率為30%.每天早上機(jī)機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%.已知試求機(jī)器調(diào)整分析159第一章隨機(jī)事件及其概念解說明

稱為后驗(yàn)概率.Bayes公式中，稱為先驗(yàn)概率；160第一章隨機(jī)事件及其概念SB1B2B3A

例2

某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由元件制造廠次品率

提供晶體管的份額

10.02

0.1520.01

0.8030.03

0.05三家元件廠提供的。的數(shù)據(jù)。根據(jù)以往的記錄有以下161第一章隨機(jī)事件及其概念

設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合（1）在倉庫中隨機(jī)的取一只晶體管，（2）在倉庫中隨機(jī)的取一只晶體管，

解

設(shè)A

表示“取到的是一只次品”，的，且無區(qū)別的標(biāo)志。次品的概率。取到的是次品試分析此次品出自那家工廠的可能性最大。

(i=1,2,3)表示“取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”，求它是若已知162第一章隨機(jī)事件及其概念元件制造廠次品率

供晶體管的份額

10.02×0.1520.01×0.8030.03×0.05全概率公式貝葉斯公式163第一章隨機(jī)事件及其概念元件制造廠

10.02×0.1520.01×0.8030.03×0.05B1B2B3A164第一章隨機(jī)事件及其概念165第一章隨機(jī)事件及其概念例3用某種方法普查某種疾病，現(xiàn)有一人試驗(yàn)反應(yīng)為陽性，解反應(yīng)陽性”，A=“被檢查者患有此病”，設(shè)B=“試驗(yàn)已知求此人真正患病的概率通過該例題，考慮以下兩個問題：166第一章隨機(jī)事件及其概念如果不做試驗(yàn),抽查一人,他是患者的概率患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為從0.005增加到0.0456,將近增加10倍.1.這種試驗(yàn)對于診斷一個人是否患有癌癥有意義.P(A｜B)=0.1066

P(A)=0.005167第一章隨機(jī)事件及其概念試驗(yàn)結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(A｜B)=0.04562.

即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有4.56%(平均來說，10000個人中大約只有456人確患癌癥)，

可見，雖然檢驗(yàn)法相當(dāng)可靠，但被診斷患有癌癥而真正患有癌癥的可能性并不大此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn).

168第一章隨機(jī)事件及其概念1.條件概率全概率公式貝葉斯公式乘法定理小結(jié)169第一章隨機(jī)事件及其概念170第一章隨機(jī)事件及其概念貝葉斯資料ThomasBayesBorn:1702inLondon,England

Died:17Apr.1761inTunbridgeWells,Kent,England171第一章隨機(jī)事件及其概念4.1兩個事件的獨(dú)立性4.2多個事件的獨(dú)立性4.3伯努利概型§4事件的獨(dú)立性和伯努利概型

172第一章隨機(jī)事件及其概念4.1兩個事件的獨(dú)立性由條件概率，知一般地，這意味著：事件B的發(fā)生對事件A發(fā)生的概率有影響.然而，在有些情形下又會出現(xiàn)：173第一章隨機(jī)事件及其概念則有1.引例174第一章隨機(jī)事件及其概念2.定義注.

1o說明

事件A與B相互獨(dú)立,是指事件A的發(fā)生與事件B發(fā)生的概率無關(guān).175第一章隨機(jī)事件及其概念2o獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如二者之間沒有必然聯(lián)系獨(dú)立是事件間的概率屬性互斥是事件間本身的關(guān)系11由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥.176第一章隨機(jī)事件及其概念由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.又如：兩事件相互獨(dú)立.兩事件互斥177第一章隨機(jī)事件及其概念可以證明：

特殊地，A與B

獨(dú)立

A與B

相容(不互斥)

或A與B

互斥

A與B

不獨(dú)立證若A與B獨(dú)立,則

即A與B

不互斥(相容).178第一章隨機(jī)事件及其概念若A與B互斥，則AB=

B發(fā)生時(shí)，A一定不發(fā)生.這表明:B的發(fā)生會影響A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生),即B的發(fā)生造成A發(fā)生的概率為零.所以A與B不獨(dú)立.理解:

BA179第一章隨機(jī)事件及其概念3.性質(zhì)(1)

必然事件及不可能事件與任何事件A相互獨(dú)立.證∵A=A,P()=1∴P(A)=P(A)=1?P(A)=P()P(A)即與A獨(dú)立.∵

A=

,P(

)=0∴P(

A)=P(

)=0=P(

)P(A)即與A獨(dú)立.180第一章隨機(jī)事件及其概念(2)

若事件A與B相互獨(dú)立,則以下三對事件也相互獨(dú)立.①②③證①注稱此為二事件的獨(dú)立性關(guān)于逆運(yùn)算封閉.181第一章隨機(jī)事件及其概念又∵A與B相互獨(dú)立③182第一章隨機(jī)事件及其概念183第一章隨機(jī)事件及其概念注意：在實(shí)際應(yīng)用中，對于事件的獨(dú)立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實(shí)際意義來加以判斷的。具體的說，題目一般把獨(dú)立性作為條件告訴我們，要求直接應(yīng)用定義中的公式進(jìn)行計(jì)算。例如甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，B={乙命中}，記A={甲命中}問A與B是否獨(dú)立？由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立。184第一章隨機(jī)事件及其概念一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.185第一章隨機(jī)事件及其概念甲,乙兩人同時(shí)向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6,乙擊中敵機(jī)的概率為0.5,求敵機(jī)被擊中的概率.解設(shè)A={甲擊中敵機(jī)}B={乙擊中敵機(jī)}C={敵機(jī)被擊中}依題設(shè),∴A與B不互斥

例1

(P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B))186第一章隨機(jī)事件及其概念由于甲，乙同時(shí)射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以A與B獨(dú)立,進(jìn)而=0.8187第一章隨機(jī)事件及其概念甲乙二人向同一目標(biāo)射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為0.6，乙擊中目標(biāo)的概率為0.5。試計(jì)算1）兩人都擊中目標(biāo)的概率；2）恰有一人擊中目標(biāo)的概率；3）目標(biāo)被擊中的概率。解設(shè)A表示“甲擊中目標(biāo)”，B表示“乙擊中目標(biāo)”則例2188第一章隨機(jī)事件及其概念解由于

,,,

所以又所以有189第一章隨機(jī)事件及其概念4.2多個事件的獨(dú)立性1.三事件兩兩相互獨(dú)立的概念定義190第一章隨機(jī)事件及其概念注意三個事件相互獨(dú)立三個事件兩兩相互獨(dú)立2.

三事件相互獨(dú)立的概念191第一章隨機(jī)事件及其概念設(shè)A1，A2，…，An為n個事件，若對于任意k(1≤k≤n),及1≤i1<i2<···<ik≤n3.n個事件的獨(dú)立性定義若事件A1，A2，…，An

中任意兩個事件相互獨(dú)立，即對于一切1≤i<j≤n,有定義192第一章隨機(jī)事件及其概念兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立?的區(qū)別與聯(lián)系多個事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立對

個事件193第一章隨機(jī)事件及其概念兩個結(jié)論注.194第一章隨機(jī)事件及其概念n個獨(dú)立事件和的概率公式:設(shè)事件相互獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立即n個獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.結(jié)論的應(yīng)用195第一章隨機(jī)事件及其概念

P(A1

…

An)=1-(1-p1)…(1-pn)若設(shè)n個獨(dú)立事件發(fā)生的概率分別為類似可以得出：至少有一個不發(fā)生”的概率為“=1-p1

…pn

則“

至少有一個發(fā)生”的概率為196第一章隨機(jī)事件及其概念注意

當(dāng)時(shí)，此式表明，小概率事件遲早要發(fā)生是某一隨機(jī)事件，則前次試驗(yàn)中至少出現(xiàn)一次的