二次函數(shù)壓軸題-2022年中考數(shù)學(xué)滿分真題模擬題分類匯編（揚州專用）（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點資料歸納

專題07二次函數(shù)壓軸題

1.（2021?揚州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=f+fcr+c的圖象與x軸交于點

A（—1,0）、以3,0）,與y軸交于點C.

（1）b=9c=；

（2）若點。在該二次函數(shù)的圖象上，且%即=25的門求點。的坐標(biāo)；

（3）若點P是該二次函數(shù)圖象上位于x軸上方的一點，且5^=538,直接寫出點P的坐

【答案】(1)-2--3(2)0(1+而，6)或(1-布，6)(3)(4,5)

【詳解】（1）.?點A和點8在二次函數(shù)丫=/+云+。圖象上,

0=1—b+cb=-2

則,解得:

0=9+3b+c

故答案為：—2,—3；

（2）連接BC,山題意可得:

A(-1,0),3(3,0),C(0,—3),y=x2-2x-3,

SMBC=]x4x3=6,

=2sMec>設(shè)點0(見4-2/n-3),

■~xA8x||=2x6>即gx4x|-2m-31=2x6,

解得：w=l+x/iOa￡l-Vio,代入y=x?-2x-3,

可得：y值都為6,

D(1+V10,6)或(1-亞，6)；

?點P在拋物線位于X軸上方的部分，

1或〃>3,

當(dāng)點P在點A左側(cè)時，即

可知點C到AP的距離小于點B到AP的距離，

,1'SMPC<SgPK'不成乂；

當(dāng)點P在點3右側(cè)時，即〃>3,

A4PC和AAP3都以"為底，若要面積相等，

則點3和點C到"的距離相等，^BCHAP,

設(shè)直線BC的解析式為y="+p,

[0=3A+p

則.1,解得：[k=\,

[-3=p[p=-3

則設(shè)直線AP的解析式為y=x+q,將點A(-1,O)代入，

貝I—1+q=0,解得：q—\,

則直線AP的解析式為y=x+l,將25,〃2一2〃一3)代入,

即”2-2〃-3=〃+1,

解得：”=4或〃=-1(舍)，

〃2-2〃-3=5,

.,?點尸的坐標(biāo)為(4,5).

2.(2018?揚州)如圖1,四邊形。43c是矩形，點A的坐標(biāo)為(3,0),點。的坐標(biāo)為(0,6),

點P從點O出發(fā)，沿。4以每秒1個單位長度的速度向點A運動，同時點。從點A出發(fā)，沿

以每秒2個單位長度的速度向點8運動，當(dāng)點尸與點A重合時運動停止.設(shè)運動時間為

r秒.

(1)當(dāng)f=2時，線段PQ的中點坐標(biāo)為；

(2)當(dāng)ACBQ與APAQ相似時，求才的值；

(3)當(dāng)f=l時，拋物線yuV+fov+c經(jīng)過尸，。兩點，與y軸交于點拋物線的頂點

為K,如圖2所示，問該拋物線上是否存在點。，使=若存在，求出所

有滿足條件的。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【詳解】(1)如圖1,?點A的坐標(biāo)為(3,0),

.,.04=3,

當(dāng)t=2時，OP=t=2,AQ=2f=4,

.?.尸(2,0),6(3,4),

線段尸。的中點坐標(biāo)為：(=，嗎)，即(2，2)；

222

故答案為：(2,2)：

2

(2)如圖1,.,當(dāng)點尸與點A重合時運動停止，且APA?？梢詷?gòu)成三角形,

,\0</<3,

四邊形045。是矩形，

/.ZB=ZPAg=90°,

.?.當(dāng)ACB。與APAQ相似時，存在兩種情況:

①當(dāng)"時，得=器,

.3-Z6-2/

..-----=--------,

2t3

4?-15r+9=0,

3

(/—3)(Z——)=0，

4

3

4=3(舍)，G=—'

4

PAnr

②當(dāng)APAQSAC3Q時，—=—，

?3-5_3

一~2T~6-2t1

產(chǎn)一為+9=0,

9±3近

t=----------,

2

9+3石°

---------->3，

2

?1=2叵不符合題意，舍去，

2

綜上所述，當(dāng)ACB。與APA。相似時，f的值是3或上辿;

42

(3)當(dāng)f=l時，P(l,0),。(3,2),

把尸(1,0)，Q(3,2)代入拋物線y=丁+法+c中得:

]+b+c=0b=-3

解得:

9+3b+c=2c=2

???拋物線:

4

頂點Kg?-~)，

2(3,2),M(0,2),

.?.MQ//X軸，

作拋物線對稱軸，交MQ丁E,設(shè)。。交y軸于H,

:.KM=KQ,KELMQ,

：.NMKE=ZQKE=gZMKQ,

如圖2,NMQD=；ZMKQ=NQKE,

tanNMQD=tanZQKE=—=絲，

MQEK

3

即竺i=MH=2,

32+l

4

.?.”(0,4),

易得〃Q的解析式為：y=--x+4,

’2“

EIy--x+4

則r3，

y=x2-3x+2

%2—3x+2=—x4-4,

3

2

解得：％=3(舍)，%2=——?

???。(二，竺)；

39

同理，在”的下方，y軸上存在點”，如圖3,使N〃QM=g/MKQ=NQKE,

由對稱性得：”(0,0),

易得。。的解析式：y=(x,

2

則尸M，

y=x2-3x+2

x~—3x+2=-x,

3

?

解得：玉=3(舍)，x2=—?

綜上所述，點O的坐標(biāo)為：￡?(-|,9)或(|，》?

3.(2021?江都區(qū)模擬)已經(jīng)二次函數(shù)丫=以2+法+].

(1)如圖，其圖象與x軸交于點A(-l,0)和點5,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=l.

①求二次函數(shù)解析式；

②F為線段BC上一點，過F分別作x軸，y軸垂線，垂足分別為E、F,當(dāng)四邊形OEAG

為正方形時，求點尸坐標(biāo)；

(2)其圖象上僅有一個點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，且二次函數(shù))>=如2+汝+1函數(shù)值

存在負(fù)數(shù)，求b的取值范圍.

【答案】⑴y=--x2+-x+\F(-,-)(2)b<--,S.h^-\

'33442

a-b+l=0=」

3

【詳解】(1)①由題：b,解得<

---=1

,2a

17

???二次函數(shù)解析式為：y=--x2+-x+l；

33

②設(shè)3C解析式為：y=kx+b,對稱軸為直線％=1.

，圖象與x軸交于點A(-1,0)和點B,對稱軸為直線x=l.

?,.點3(3,0),

..八、、,口f3Z+/?=0

將8(3,0),CQ1)代入得:，

［b=i

解得："=一屋

b=\

.?.3。解析式為：y=-L+l,

3

設(shè)點4-1)?

.?四邊形O￡FG是正方形，

;.EF=GF,

1,

/.m=——，

3

解得m=—

4

冶］)；

44

(2)二次函數(shù)的圖像其有且只有一個點橫、縱坐標(biāo)之和互為相反數(shù)，

.?.-工二&+云+1有兩相等實根，即汗+S+l)x+l=0有兩相等實根,

一［仍+1)2—4〃=0，

解得：a=("+D>0,且bW-1,

4

y=加+云+1存在負(fù)值，

二.從一4々=/一出+1)2>0,解得/

2

綜上：且人工一1.

2

4.(2021?祁江區(qū)二模)我們知道求函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，可以聯(lián)立兩個函數(shù)解析式組成方

程組，方程組的解就是交點的坐標(biāo).如：求直線y=2x+3與y=-x+6的交點坐標(biāo)，我們可

以聯(lián)立兩個解析式得到方程組P=2X+3,解得卜=1,所以直線y=2x+3與y=-x+6的

=+6[v=5

交點坐標(biāo)為(1,5).請利用上述知識解決下列問題：

(1)求直線y=x-2和雙曲線的交點坐標(biāo)；

x

(2)已知直線丫="-3和拋物線y=d+2x+4,若直線與拋物線只有一個交點，則k的值

為:

(3)如圖，已知點A(a,0)是x軸上的動點，B(0,4&),以為邊，在旗右側(cè)作正方

形ABCD,當(dāng)正方形/WCD的邊與反比例函數(shù)y=逑的圖象有4個交點時，請直接求出a

X

【答案】(1)(3,1)或(-1,-3)(2)2土2由(3)a>2或-16<aJ

y=x-2

【詳解】(I)由題意得：3，

丫=一

X

4

直線y=x—2和雙曲線y=±的交點坐標(biāo)為(3,1)或(—1,—3)；

x

(2)聯(lián)立直線丫=履-3和拋物線y=V+2x+4,得：x2+2x+4=fcr-3,

x2+(2-k)x+7=0,

,直線與拋物線只有一個交點，

△=(2—Q2-4xlx7=r-4k-24=0,

解得：k=2±2\/7,

故答案為：2±2"；

(3)①當(dāng)寸，如圖1,

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n<

A(a,O),8(0,4&),

am+n=0

1=4a，

丘

777=---4----

解得：a，

n=4^2

直線AB的解析式為y=--x+4y/2,

a

當(dāng)線段A5與雙曲線只有一個交點時，

聯(lián)立43的解析式和反比例函數(shù)y=2也，得：-逑》+4及=述，

xax

整理得：2%2-2ar+a=0,

△=(-2a)2-4x2〃=0,

解得：a=2,

.?.當(dāng)a>2時，正方形ABCD的邊與反比例函數(shù)的圖象有4個交點；

②當(dāng)avO時，如圖2,

i)當(dāng)邊AO與雙曲線只有一個交點時，過點。作軸于點七，

44O+NZME=90。，ZDAE+ZADE=9^,

ABAO=ZADE,

AB=AD,ZAOB=ZDEA=90°,

:.^OB=\DEA{AAS)，

：.ED=AO=-a,AE=OB=4y/2,

故點O(a+4夜，〃)，

設(shè)直線AD的解析式為>=町工+4，

A(6Z,0),￡)(。+4&,a)，

aniy+4=0

3+4夜)叫+ni=a

夜

解得：8,

V22

n.=-----a

直線4）的解析式為y邛6-會，

聯(lián)立AD的解析式與反比例函數(shù)解析式并整理得：ar2-?2x-16=0,

_4〃X（_16）=0,

解得：a=T或a=0（舍去），

:.a<-4y

ii）當(dāng)邊8C與雙曲線有一個交點時，

同理可得：”=-16,

/.a>—16,

所以當(dāng)正方形A5CD的邊與反比例函數(shù)的圖象有4個交點時，”的取值范圍為：-16<a<-4；

圖1

5.（2021?寶應(yīng)縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（皿2）（其中機為常數(shù)），點8

與點A關(guān)于y軸對稱.在實數(shù)范圍內(nèi)定義函數(shù)y=（其中w為常數(shù)）的圖

[x+x+m（x<1）

象為G.

（1）當(dāng)點（-1,2）在G上時，則機的值是;

（2）求點5在G上時，求機的值；

（3）當(dāng)y最小值的取值范圍是-2掰，-1時，請直接寫出機的取值范圍.

【答案】（1）m=2（2）m=6（3）3勵！4或一工釉t--

44

【詳解】（1）把點（一1,2）代入丁=/+工+加，則1-1+加=2,

:.m=2；

（2）點A的坐標(biāo)為（九2）（其中〃?為常數(shù)），點8與點A關(guān)于y軸對稱，

點3的坐標(biāo)為（一肛2）,

當(dāng)一/九.1時，即〃4,-1時，

把點（一"2）代入y=f+x-，則一加一"2=2,解得帆=1±J5（舍去），

當(dāng)—m<1時，即機>一1時，

把點（一九2）代入y=V+x+m,則〃/一機+加=2,解得m=土（負(fù)值舍去），

綜上，m=A/2；

（3）當(dāng)圖形G上最低點落在函數(shù)y=12+x-〃7（x..l）的圖象上時，則最低點坐標(biāo)為（1,2-峭,

.，.一2領(lǐng)—m—1,

解得：3張M4；

當(dāng)圖形G上最低點落在函數(shù)y=f+x-m（尢<2）的圖象上時，

同理：一,7鼓帆3

44

y=X2+x+加的頂點C（——,m——）,

當(dāng)x=l時，y=x2+x-機的點￡）（1,2-/77）,

1c

m——=2—m,

4

解得"7=2,

8

a

當(dāng)小,一時，D為最低點；

8

Q

當(dāng)"2<—時，C為最低點.

8

綜上所述，機的取值范圍為：3張如4或-2轟近

44

6.（2021?江都區(qū)二模）如圖，已知拋物線y=o?+bx-3與x軸交于A（-2,0）、8（6,0）兩點,

與y軸交于C點，設(shè)拋物線的頂點為￡）.過點。作￡>E_Lx軸，垂足為E.P為線段上上

一動點，尸("?,0)為x軸上一點，且PCP/7.

(1)求拋物線的解析式；

(2)①當(dāng)點P與點。重合時，求加的值；

②在①的條件下，將ACOF繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。并平移，得到△CCK，點C,O,

產(chǎn)的對應(yīng)點分別是點C-?！冈拢簟鰿Q,的兩個頂點恰好落在拋物線上，直接寫出點

耳的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點尸在線段史上運動時，求機的變化范圍.

備用圖

【答案】(1)y=-x2-x-3(2)m=4F^-,2)或(一U,￡_)(3)?領(lǐng)加4

4,21661448

【詳解】(1)將4-2,0)、3(6,0)代入拋物線解析式丫=奴2+云-3中得：

1

44-26-3=0

解得:4,

36。+6b—3=0

.??該拋物線的解析式為：y=-x2-x-3,

4

(2)①。為拋物線的頂點，

.-.0(2,-4),

當(dāng)點P與點。重合時，如圖所示：過點。作G￡>〃x軸，過尸點作y軸平行線交8延長線

于點H,

由題意易得：CG=3GD=2,FH=4,而PC上PF,HPZCDF=90°,

NCGD=ZDHF=90°,ZCDG=ZDFH,

:.\CGD^^DHF，

CGGD12

---=---即nn,----=—,

DHHFDH4

:.DH=2,

而四邊形￡DEH為矩形，，EF=DH=2,

:.OF=4r即尸（4,0）,

/.m=49

（2）按題意，將△（%＞「繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到△CVF,如圖所示:

顯然此時U、。、/三點都不在拋物線上，故需要將△CO尸平移才能得到兩個頂點恰

好落在拋物線上，根據(jù)C'、O'、F三點特點，可設(shè)：

a（X,y），則G*+3,y），耳（x,y+4）,

①當(dāng)。G經(jīng)平移后在拋物線上，把a（x，y），G（x+3,y）代入）=；/一工一3中：

y=-x2-x-3

4

解得：x=1,

2

②當(dāng)6G經(jīng)平移后在拋物線上，把耳(x,y+4),。I*+3,)，)代入》=工X2一1一3中：

4

/12c

y+4=-x-x-3

<,

y=—(X+3)2—(元+3)-3

I4

解得：x=--

6

故平叫施

③當(dāng)。苗經(jīng)平移后在拋物線上，因為?？诙谪Q直方向，故不成立.

綜上所述：甲L2)或(一絲，望)，

'2166144

(3)O(2,T),￡(2,0),C(0,—3),點P為線段DE上一動點，尸(九0)為工軸上一點，且

PC-LPF,

如(2)①中當(dāng)點P與點。重合時，m=4,取得最大，隨著P向石移動，相隨之變化，設(shè)

存在一點P使團最小，如圖所示:

根據(jù)AFEPSAPQC得:

FEEP2-m_y

——=——即011：

PQQC3-y2

17

可得關(guān)系式：相1+-

8

177

->0,當(dāng)y=二時，加取得最小值一,

228

7

綜上所述：一效帆4.

8

7.(2021?湖北模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=以2+灰+c的圖象與x軸交于

A(4,0),8兩點，與y軸交于點C(0,2),對稱軸x=l,與無軸交于點H.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)直線>=丘+1(%*0)與y軸交于點E,與拋物線交于點尸，Q(點P在y軸左側(cè)，點。

在y軸右側(cè))，連接CP,CQ,若ACP。的面積為逐，求點P,。的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，連接AC交PQ于G,在對稱軸上是否存在一點K,連接GK,將

線段GK繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90。，使點K恰好落在拋物線上？若存在，請直接寫出點K的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=--x2+-x+2(2)(-1-A/5,-拘、(-1+75,8(3)K(l,2土半)

【詳解】⑴對稱軸x=I,則點3(-2,0),

則拋物線的表達式為：y=a(x+2)(x-4)=a(x2-2x-8),即-8a=2,解得：a=--,

4

故拋物線的表達式為：>=」/+4+2；

’42

(2)設(shè)直線尸。交y軸于點夙0,1),點P、。橫坐標(biāo)分別為〃,7〃，

△C尸Q的面積=—xCEx(〃一根)=石，即〃一加=2行，

2

聯(lián)立拋物線與直線PQ的表達式并整理得：一；幺+(；一左口+1=0…①,

機+〃=2—4攵，〃7Z2=T,

n-m=2\/5=J(m+=2-=y](2-4k)24-16，

解得：k=a（舍去）或1；

將后=1代入①式并解得：x=-l±V5,

故點P、Q的坐標(biāo)分別為：（-1-小,-石）、（-1+石，V5）.

（3）設(shè)點K（l,〃z）,線段GK繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到線段GR.

聯(lián)立尸。和AC的表達式并解得：x=|,故點G（|,|）

過點G作x軸的平行線交函數(shù)對稱軸于點M，交過點R與y軸的平行線于點N,

215

GM=1一一=—=NR,MK=\一一加

333

故點R的縱坐標(biāo)為:則點/?（〃—,3）

33

將該坐標(biāo)代入拋物線表達式解得：x=l±—,

3

痂“底

故加=2±---，

3

故點K（l,2士半）.

8.（2021?東莞市一模）如圖,已知拋物線丫=正+翼+,與x軸相交于A（-l,0）,8（加,0）兩

點，與y軸相交于點C（0,-3）,拋物線的頂點為。.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點E在x軸上，且NECB=NCBD,求點E的坐標(biāo).

（3）若P是直線BC下方拋物線上任意一點，過點P作P4，x軸于點"，與BC交于點M.

①求線段PM長度的最大值.

②在①的條件下，若下為y軸上一動點，求丹/+”F+孝。尸的最小值.

【答案】(1)y=/-2x-3(2)點E的坐標(biāo)是(|,0)或(6,0)(3)g叱十.

}-b+c=O

【詳解】(I)把4-1,0),點C(0,-3)代入拋物線1=入+物+。中得:

c=-3

b=-2

解得:

c=-3

拋物線的解析式為：y=d-2x-3；

(2)y=x2-2x-3=(x-l)2-4

二頂點O(D，

當(dāng)y=0時，X2-2X-3=0,

(x-3)(x+l)=0,

x=3或一1,

8(3,0)；

如圖I,連接80,

圖1

設(shè)比＞所在直線的解析式為：y=Jt(x-3),將。點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得—24=-4,

解得攵=2,

故必所在直線的解析式為：y=2x-6,

AECB=/CBD,

:.CE/!BD,

設(shè)CE所在直線的解析式為：y=2x+b,將C點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得匕=-3,

故CE所在直線的解析式為：y=2x-3,

3

當(dāng)y=0時，x=|

同理，當(dāng)點E在點3的右側(cè)時，點E的坐標(biāo)是(6,0).

3

.,.綜上所述，點E的坐標(biāo)是(/,0)或(6,0)；

8(3,0),C(0,-3),

設(shè)8c的解析式為：y=kx+b,

3k+b=0

則

b=-3

k=l

解得:

b=-3'

3c的解析式為：y=x-3,

設(shè)P(x,d-2x-3),則M(x,x-3),

3Q

PM=(x—3)—(x**—2x—-3)=—%2+3x=—(x——)2+—,

當(dāng)時，尸M有最大值為2；

24

②當(dāng)尸M有最大值，P(2,

24

在x軸的負(fù)半軸了取一點K,使NOCK=45。，過F作FNLCK于N,

...FN=^CF,

2

當(dāng)N、尸、”三點共線時，PH+NH最小,即PH+族+丫-。尸的值最小,

2

RtAOCK中，OC=3,

:.OK=3,

OH=—，

2

39

:,KH=-+3=-

22f

RtAKNH中，/KHN=45。,

,,KN=—KH=^f

24

9J2

■,NH=KN=^—,

4

PH+HF+—CF的最小值是PH+NH=9員於

24

9.(2021?建湖縣一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。)，中，拋物線y=ax2+H+3(a、。為常

數(shù)，且a*0)與x軸交于點4-1,0)和點8,與y軸交于點C,已知該拋物線的對稱軸是直

線x=I.

(1)求拋物線的表達式及點5的坐標(biāo)；

(2)連接AC、BC,求N4CO的正切值；

(3)已知點P是拋物線上的一點，連接3P,當(dāng)NPBC=NACO時，求點P的坐標(biāo).

【詳解】(1)拋物線丫=火2+灰+3與彳軸交于點A(-l,0)且拋物線的對稱軸是直線x=1,

"1

2a

0=a-b+3

解得:

b=2

.??拋物線的表達式為：y=-/+2x+3；

令y=0,則一/+2》+3=0,

解得：x,=—1,Xj=3>

8(3,0),

(2)令拋物線y=-f+2x+3中，x=0，則y=3,

即，C(0,3),在RtAAOC中，40=1,CO=3,

因此，tanZACO=—=-,

CO3

(3)如圖所示，過點。作肱7_13。交BP于〃、N點，即點P分別位于線段BC的上方或

下方，

①當(dāng)P位于線段3c的上方，過N作y軸垂線交于E點，

0C=BC=3，

BC=30,

.?.ACO/?為等腰直角三角形，

而MV_L3C，

:.△COBs^NEC,

故A7VEC也為等腰直角三角形，

1NC

,tanZACO=tanZNBC=-=，

3BC

:.NC=42,

:.NE=EC=\,

故N(l,4),而(1,4)剛好為拋物線頂點坐標(biāo)，即N與P南合,

P(l,4),

②當(dāng)P位于線段BC的下方，過M作y軸垂線交于F點，

tanZACO=tanNMBC=1="，

3BC

而EN//MF,

.-.ZCMF=45°,即ACM尸也為等腰直角三角形，

MF=CF=1,

而點P'在直線MB上且與拋物線相交，

設(shè)直線MB的解析式為y=fcc+A,將8、M坐標(biāo)代入得:

[2=-k+b

]Q=3k+b'

k=--

解得：2

,3

b=—

2

ia

直線MB的解析式為：y=——x+—,

22

13

y=——x+—

聯(lián)立方程：22

y=-x2+2x4-3

1

x=——

x=3

解得：72或(舍去),

y=0

17

故p(-/,—)>

17

綜上所述，當(dāng)NP3C=NACO時，點。的坐標(biāo)為(1,4)或(_鼻，-).

10.(2021?東莞市校級一模)如圖1,二次函數(shù)^=以2+以+2的圖象交x軸于點A(-2,0),

8(3,0),交y軸于點C,P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的動點.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)過點P作PQJ_x軸于點。，若以點P、A、Q為頂點的三角形與ABOC相似，求點P

的坐標(biāo)；

(3)如圖2.連接交直線BC于點O,當(dāng)點。是線段8c的三等分點時，求tan乙4DC

的值.

【答案】(1)y=--x2+-x+2(2)P(l,2)(3)tanZADC=—tanZADC=—

331916

【詳解】(1)把A(-2,0),3(3,0)代入>=加+云+2,

4〃―2。+2=0

解得

9。+3b+2=0

b=—

/.這個二次函數(shù)的表達式為y=--X2+-X+2.

33

(2)如圖1,設(shè)尸(x,--X2+1X+2)(0<X<3),則。(X,0).

33

拋物線y=-92+9+2與y軸交于點C,

「.0(0,2),OC=2,

又?.A(-2,0),3(3,0),

OA—2，OB=3,QA=x+2>

ZBOC=ZAQP=90°,且AAQPsA50c,

.PQ_QA

OCOB

11r

—x2+-x+2,與

.33_尤+2

??一,

23

整理，得f+工_2=0,解得石=1,%=-2(不符合題意，舍去)，

2

(3)如圖2,BD=-BC,設(shè)AP交y軸于點尸，作FG_LC。于點G,。石，x軸于點石.

DE//OC,

.?.ABED^MOC，

EBBDED2

"0C~3,

22c4

.-.￡B=-x3=2,￡D=-x2=->

333

:.OE=2>￡4=3，

MFO^/SADE,

OFOA2

----=-----='—1，

EDEA3

248810

???o尸b=2o-§=5；

BC=M+》=岳,/4=sinN°C8=+,

CrDCYJLD

f^=25.=tanZBCO

CGOC

2210V1320vH

CG=-FG=-x--------

3339117

如18c=|x1=半

r-2>/1320/19A/13

?.?灰=小一丁—-=守

10而

3930

tanZ.ADC=----產(chǎn)=—；

19V1319

117-

1八萬

如圖3,BD=-BC=-^―>

ABED^^BOC，

EBEDBD\

'~OB=OC~~BC~3,

i12

EB=-OB=1,ED=-OC=--

333

:.OE=2,￡4=4，

AAFO0°AADE)

OF_04J

ED-E4-2

5

.\OF=-ED=-x-=~.CF=2--

223333

FG=，4小叵,CG*FG=Z鴻10V13

3V1313331339

"G=g-姮-9T6屈

33939

5713

tanZADC=—.

16A16

39

綜上所述，tanZADC=一或tanZADC=—.

11.（2020?廣陵區(qū)校級一模）如圖，拋物線y=-Y+fer+c與兩軸分別交于A、B、C三點,

已知點A(-3,0),8(1,0).點P在第二象限內(nèi)的拋物線上運動，作PD_Lx軸于點O,交直

線AC于點E.

(1)b=；c=；

(2)求線段PE取最大值時點P的坐標(biāo)，這個最大值是多少：

(3)連接"，并以"為邊作等腰直角AAPQ,當(dāng)頂點。恰好落在拋物線的對稱軸上時,

直接寫出對應(yīng)的P點坐標(biāo).

【答案】⑴-2,3⑵(-1號⑶R(土”士普)上"血”"2,3)

2

【詳解】(1)設(shè)拋物線的表達式為：y=6Z(X-X1)(X-X2)=-(X+3)(X-1)=-X-2A+3,

故b=-2,c=3,

故答案為：-2,3；

(2)c=3,

一.點C(O,3),

設(shè)直線AC的表達式為：y^mx+n,則［°=一淅+〃，解得：［"之

［〃=31〃=3

故直線AC的表達式為：y=x+3,

設(shè)點P的坐標(biāo)為:(乂-f_2X+3),則點E(x,x+3),

則PE=(-x2-2x+3)—(x+3)=-x2-3%,

-1<0,

故PE有最大值，此時x=-±Q,PE的最大值為O己，

24

點p的坐標(biāo)為(-3,身)；

24

(3)設(shè)點尸的坐標(biāo)為：(m,n),〃=-*!-2,?^+3①，點Q(T,s),

①當(dāng)NAPQ為直角時，如圖1,

過點P作x軸的平行線交拋物線對稱軸于點N,交過點A與y軸的平行線于點M.

NNPQ+NAPM=9。。,ZAPM+ZM4P=90°,

/MAP=/NPQ,

又?/PNQ=ZAMP=90。,PA=PQ,

??.APNQ^MMP（AAS）,

:.PN=MA,HP-\-m=n?,

聯(lián)立①②并解得：x=7土布（舍去正值），

2

故點尸（土畫，上叵）；

22

②當(dāng)NPQA為直角時，如圖2,

過點P作PN垂直于拋物線對稱軸于點N,拋物線對稱軸交x軸于點M,

圖2

同理可得：AMQ△w^QNP(AAS),

:.PN=QM.QN=AM,

即：〃一s=2③，-l—m=s?>

聯(lián)立①③④并解得：加=-2或1(舍去1),

故點尸(-2,3)；

③當(dāng)NR4Q為直角時，

同理可得：點P的坐標(biāo)為：(-1-3,2)；

綜上點P的坐標(biāo)為：：(7P式-1-6,2),P3(-2,3).

12.(2020?江都區(qū)校級一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，AAO8是等腰直

角三角形，2403=90。，4(2,1).

(1)求點5的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過A、O、8三點的拋物線的函數(shù)表達式；

(3)在(2)所求的拋物線上，是否存在一點P,使四邊形鉆QP的面積最大？若存在，

求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【詳解】(1)如圖I,過A作AC_Lx軸于點C,過3作3。軸于點。,

A4O8為等腰三角形，

/.AO=BO,

ZAOB=90°,

ZAOC+ZDOB=ZDOB+Z.OBD=90°,

/.ZAOC=/OBD,

在AACO和△OQ3中

ZAOC=ZOBD

<NACO=NODB

AO=BO

/.AACO=AODB(A4S),

A(2,l),

??8=AC=1,BD=OC=2,

，8(-1,2)；

(2)?拋物線過。點，

可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,

a_5

把A、B兩點坐標(biāo)代入可得1,解得16

\a-b=2,7

Ib=——

6

7

X

.?.經(jīng)過A、B、O原點的拋物線解析式為y6-

(3)?四邊形

二可知點P在線段。4的下方，

過P作PE//y軸交AO于點E,如圖2,

圖2

設(shè)直線AO解析式為丁=區(qū),

42,1),

???直線AO解析式為丁=」”,

2

571

設(shè)尸點坐標(biāo)為",-/--力,則E(r,-

662

157555/八25

/.PE=-t-(z-t2--tx)=一一t2+-t=一一(t-1)+一

2666366

2

SAAOP=^-PEx2=PE=-^t-1)^,

2oo

由42,1)可求得。4=08=6,

?s=-AO.BO=-

22

加邊形AMP=SMOB+S“op=—杼+'+,=_:(￡TA+岑,

--<0,

6

.■.當(dāng)f=l時，四邊形ABQP的面積最大，此時P點坐標(biāo)為(1,-g),

綜上可知存在使四邊形ABOP的面積最大的點P,其坐標(biāo)為(1,-g).

13.(2020?邛江區(qū)校級一模)如圖1,已知拋物線頂點C(l,4),且與y軸交于點0(0,3).

(1)求該拋物線的解析式及其與x軸的交點A、B的坐標(biāo)；

(2)將直線AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45。后得到直線AE,與拋物線的另一個交點為E,請求

出點E的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點P是該拋物線上位于第一象限的點，線段釬交皿于點M、交y軸于點N,

和ADMN的面積分別為&,5,,求S1-S2的最大值.

【答案】(1)(-1,0)、(3,0)(2)E(-,—)(3)—

3932

【詳解】(1)設(shè)拋物線的表達式為：y=a(x-/z)2+Z=a(x-l)2+4,

將點。的坐標(biāo)代入上式并解得：a=-\,

故拋物線的表達式為：y=—(x—Ip+4=-/+2x+3①;

令y=0,則x=-l或3,

故點A、8的坐標(biāo)分別為：(-1,0)、(3,0)；

(2)如圖，設(shè)函數(shù)的對稱軸交x軸于點G，交AE于點”，過點H作HW_LAC于點N,

在AAGC中，tanZACG=—=-=-=tanZA7C^,

CG42

在RtACHN中，設(shè)“N=x,PI'JGV=/￡VtanAHCN=2x,

在RtAANH中，NNAH=45°,則/W=AW=x,

故AC=/W+OV=3X=J(1+1)2+42=2&故》=孚,

在RtACHN中，CH=\ICN2+NH2=>/5x=—,故點

3

由點A、”的坐標(biāo)得，直線4/的表達式為：y=--@,

3x+3

聯(lián)立①②并解得：x=§或-1（舍去-1）,

3

故點￡（-，—）;

39

（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（九-4+2團+3）,

由點P、A的坐標(biāo)得，直線”的表達式為：y=-（機一3）（X+1）,當(dāng)x=0時，y=3-m,

即點N(0,3—m),即ON=3-利，

則S|—S?=[s用p—S.ON—S四邊形08MN]~[SASQD—S四邊形08MN]=S,

MBP-SAROD-S.MCW

即

x