2025屆浙江省金華市金華十校數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆浙江省金華市金華十校數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.2．甲乙兩個(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8，飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.983．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，漸近線上的一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．某汽車制造廠分別從A，B兩類輪胎中各隨機(jī)抽取了6個(gè)進(jìn)行測(cè)試，下面列出了每一個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程（單位：）A類輪胎：94，96，99，99，105，107B類輪胎：95，95，98，99，104，109根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)小于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)B.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差等于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差C.A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)大于B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)D.A類輪胎的性能更加穩(wěn)定5．已知命題p：函數(shù)在（0，1）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)；命題q：函數(shù)在上是減函數(shù)，若p且為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.2C.1<≤2 D.≤l或>26．4位同學(xué)報(bào)名參加四個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（）A.24種 B.81種C.64種 D.256種7．圓與直線的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不能確定8．橢圓的離心率為（）A B.C. D.9．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，10．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.11．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最大值為（）A.10 B.8C.4 D.2012．?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則的歐拉線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.14．已知拋物線的焦點(diǎn)與的右焦點(diǎn)重合，則__________.15．若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則__________.16．已知雙曲線的漸近線方程為，，分別為C的左，右焦點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P在C的右支上，則的最小值是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)或，（1）若時(shí)，p是q的什么條件？（2）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）討論的單調(diào)性19．（12分）設(shè)圓的圓心為﹐直線l過點(diǎn)且與x軸不重合，直線l交圓于A，B兩點(diǎn).過作的平行線交于點(diǎn)P.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l交E于M，N兩點(diǎn)，C在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求四邊形面積的取值范圍；20．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點(diǎn)，且，證明：直線過定點(diǎn).21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.22．（10分）已知數(shù)列與滿足（1）若，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的第k項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng)，即恒成立．求證：的第k項(xiàng)是數(shù)列的最小項(xiàng)；（3）設(shè)．若存在最大值M與最小值m，且，試求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先得到三棱錐的每一個(gè)面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計(jì)算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個(gè)面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.2、D【解析】利用對(duì)立事件的概率求法求飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率.【詳解】由題設(shè)，飛行目標(biāo)不被甲、乙發(fā)現(xiàn)的概率分別為、，所以飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為.故選：D3、C【解析】由雙曲線的漸近線方程和兩點(diǎn)的距離公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)和，在中，利用余弦定理，求得的關(guān)系式，再由離心率公式，計(jì)算即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，設(shè)在漸近線上，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)，由，解得，即點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理可得，可得，即，所以雙曲線離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.4、D【解析】根據(jù)眾數(shù)、極差、平均數(shù)和方差的定義以及計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：對(duì)A：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為99，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的眾數(shù)為95，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為13，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為14，選項(xiàng)B錯(cuò)誤對(duì)C：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤對(duì)D：A類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，B類輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的方差為，故A類輪胎的性能更加穩(wěn)定，選項(xiàng)D正確故選：D.5、C【解析】命題p為真時(shí)：；命題q為真時(shí)：，因?yàn)閜且為真命題，所以命題p為真，命題q為假，即，選C考點(diǎn)：命題真假6、D【解析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】每位同學(xué)均有四種選擇，故不同的報(bào)名方法有種.故選：D7、B【解析】用圓心到直線的距離與半徑的大小判斷【詳解】解：圓的圓心到直線的距離，等于圓的半徑，所以圓與直線相切，故選：B8、D【解析】根據(jù)橢圓方程先寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出便可得到離心率.【詳解】解：由題意得：，，故選：D9、C【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，是特稱命題，所以其否定是全稱命題，即為，故選：C10、C【解析】根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為，可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程，最后化成一般式方程即可.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，故所求直線的斜率等于，所求直線的方程為，即，故選：C11、A【解析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)表示的一簇直線畫出向可行域平移即可求解.【詳解】作出可行域，如圖所示轉(zhuǎn)化為，令則，作出直線并平移使它經(jīng)過可行域點(diǎn)，經(jīng)過時(shí)，，解得，所以此時(shí)取得最大值，即有最大值，即故選：A.12、B【解析】根據(jù)的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，先求解出重心的坐標(biāo)，然后再根據(jù)三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線的方程，聯(lián)立方程，即可算出外心的坐標(biāo)，最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】由題意可得的重心為．因?yàn)?，，所以線段的垂直平分線的方程為．因?yàn)椋灾本€的斜率，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段的垂直平分線的方程為．聯(lián)立，解得，則的外心坐標(biāo)為，故的歐拉線方程是，即故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求定義域，再求導(dǎo)，針對(duì)分類討論，結(jié)合單調(diào)性，極值，最值得到，研究其單調(diào)性及其零點(diǎn)，求出結(jié)果.【詳解】定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞減，不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，故，又因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，故要想在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，令，，，單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，.故答案為：14、【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即為的右焦點(diǎn)可得答案.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，在橢圓中：，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.15、2【解析】將點(diǎn)代入拋物線方程即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以，即.故答案為：2.16、【解析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義可知，從而利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以，即，所以雙曲線方程為.設(shè)，則，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）充要條件；（2）.【解析】（1）根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行求解判斷即可；（2）根據(jù)必要不充分條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，解得或，顯然p是q的充要條件；【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為全體實(shí)數(shù)集，顯然由，但不成立，因此p是q的充分不必要條件，不符合題意；當(dāng)時(shí)，該不等式的解集為：，顯然當(dāng)時(shí)，不一定成立，因此p不是q的必要不充分條件，當(dāng)時(shí)，該不等式解集為：，要想p是q的必要不充分條件，只需，而，所以，因此a的取值范圍為：.18、（1）極小值為，無極大值（2）答案見解析【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，得減區(qū)間，從而得極值；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論確定和解得單調(diào)性小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，(x>0)則令，得，得，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為.所以的極小值為f(2)=，無極大值.【小問2詳解】令則當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，得，，得;，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.19、（1）（2）【解析】（1）由得，，再由，可得的軌跡方程；（2）設(shè)四邊形的面積為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入，整理后再利用函數(shù)單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】（1）圓的圓心為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，且，，所以的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)四邊形面積為，則，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，>0恒成立.設(shè)，則，=，令，則，在上單調(diào)遞增，，即四邊形面積的取值范圍.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由離心率、過點(diǎn)和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)連線斜率公式表示出，整理可得直線為；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線所過定點(diǎn)；綜合兩種情況可得直線過定點(diǎn).【詳解】（1）橢圓過點(diǎn)，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，則，，解得：，直線方程為；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得：，設(shè)，則，（*），則，將*式代入化簡(jiǎn)可得：，即，整理得：，代入直線方程得：，即，聯(lián)立方程組，解得：，，直線恒過定點(diǎn)；綜上所述：直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線方程；④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數(shù)，，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，不妨取，則有在上單調(diào)遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到22、（1）（2）證明見解析．（3）【解析】（1）由已知關(guān)系得出是等差數(shù)列及公差，然后可得通項(xiàng)公式；（