江西省宜春市靖安縣靖安中學2025屆高二上數(shù)學期末監(jiān)測模擬試題含解析

江西省宜春市靖安縣靖安中學2025屆高二上數(shù)學期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.412．積分（）A. B.C. D.3．已知，則“”是“直線與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.5．已知過點的直線與圓相切，且與直線平行，則（）A.2 B.1C. D.6．在等比數(shù)列中，，公比，則（）A. B.6C. D.27．數(shù)列的一個通項公式為（）A. B.C. D.8．若展開式的二項式系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為（）A. B.C. D.9．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°10．不等式表示的平面區(qū)域是一個（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形11．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，為坐標原點，且，則（）A.4 B.2C. D.12．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖像如圖所示，則導函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，復數(shù)，，若是純虛數(shù)，則的虛部為_________.14．已知曲線的方程是，給出下列四個結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過4個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線有4條對稱軸；③曲線上任意一點到原點的距離都不小于1；④曲線所圍成圖形的面積大于4；其中，所有正確結(jié)論的序號是_____15．無窮數(shù)列滿足：只要必有則稱為“和諧遞進數(shù)列”.已知為“和諧遞進數(shù)列”，且前四項成等比數(shù)列，，則=_________.16．雙曲線的離心率為2，寫出滿足條件的一個雙曲線的標準方程__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名中學生，將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖（1）求圖中實數(shù)的值；（2）若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)；（3）若從數(shù)學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取兩名學生，求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率.18．（12分）如圖，已知頂點，，動點分別在軸，軸上移動，延長至點，使得，且.（1）求動點的軌跡；（2）過點分別作直線交曲線于兩點，若直線的傾斜角互補，證明：直線的斜率為定值；（3）過點分別作直線交曲線于兩點，若，直線是否經(jīng)過定點？若是，求出該定點，若不是，說明理由.19．（12分）已知拋物線：的焦點是圓與軸的一個交點.（1）求拋物線的方程;（2）若過點的直線與拋物線交于不同的兩點A、B，О為坐標原點，證明：.20．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF21．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過左焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，的周長為8（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，，是橢圓C的短軸端點，P是橢圓C上異于點，的動點，點Q滿足，，求證與的面積之比為定值22．（10分）已知等差數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.2、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B3、A【解析】首先由兩直線平行的充要條件求出參數(shù)的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，所以“”是“直線與平行”的充分不必要條件.故選：A.4、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因為雙曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A5、C【解析】先根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)切線方程，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑列式解得結(jié)果.【詳解】因為切線與直線平行，所以切線方程可設(shè)為因為切線過點P(2，2)，所以因為與圓相切，所以故選：C6、D【解析】利用等比數(shù)列的通項公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項公式得：.故選：D7、A【解析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項公式，即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項為，所以該數(shù)列一個通項公式為故選：A8、C【解析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得的值，再利用二項式展開式的通項公式，求得結(jié)果即可.【詳解】解：因為展開式的二項式系數(shù)之和為，則，所以，令，求得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：C.9、D【解析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D10、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結(jié)論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個梯形.故選：D.11、B【解析】依題意可得，設(shè)，根據(jù)可得，，根據(jù)為拋物線上一點，可得.【詳解】依題意可得，設(shè)，由得，所以，，所以，，因為為拋物線上一點，所以，解得.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量加法的坐標運算，考查了求拋物線方程，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導數(shù)的正負，從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當時，單調(diào)遞增，則，所以A選項和C選項錯誤；當時，先增，再減，然后再增，則先正，再負，然后再正，所以B選項錯誤.故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系，意在考查學生對該知識的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.一般地，函數(shù)在某個區(qū)間可導，，則在這個區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個區(qū)間可導，，則在這個區(qū)間是減函數(shù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由復數(shù)除法的運算法則求出，又是純虛數(shù)，可求出，從而根據(jù)共軛復數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】解：因為復數(shù)，，所以，又是純虛數(shù)，所以，所以，所以所以的虛部為，故答案：.14、②③④【解析】根據(jù)曲線方程作出曲線，即可根據(jù)題意判斷各結(jié)論的真假【詳解】曲線的簡圖如下：根據(jù)圖象以及方程可知，曲線C恰好經(jīng)過9個整點,它們是，，，所以①不正確；由圖可知，曲線有4條對稱軸，它們分別是軸，軸，直線和，②正確；由圖可知，曲線上任意一點到原點的距離都不小于1，③正確；由圖可知，曲線所圍成圖形的面積等于，④正確故答案為：②③④15、7578【解析】根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，∴，又，為“和諧遞進數(shù)列”，∴，，，，…，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4∴故答案為：757816、（答案不唯一例如：等，只需滿足即可）【解析】根據(jù)離心率和的關(guān)系，可得到，只要滿足以上關(guān)系的即可【詳解】由題可知，又，所以，只要滿足以上關(guān)系即可.,答案不唯一例如：等故答案為：（答案不唯一例如：等，只需滿足即可）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a=0.03；（2）544人；（3）.【解析】（1）根據(jù)圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，得到成績不低于60分的頻率，再根據(jù)該校高一年級共有學生640人求解.

（3）由頻率分布直方圖得到成績在[40，50)和[90，100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)，先列舉出從數(shù)學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取兩名學生的基本事件總數(shù)，再得到兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10”的基本事件數(shù)，代入古典概型概率求解.【詳解】（1）∵圖中所有小矩形的面積之和等于1，∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85，

∵該校高一年級共有學生640人，

∴由樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)約為640×0.85=544人.

（3）成績在[40，50)分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2人，分別記為A，B，

成績在[90，100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F(xiàn).

若從數(shù)學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取兩名學生，

則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，

(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共15種.

如果兩名學生的數(shù)學成績都在[40，50)分數(shù)段內(nèi)或都在[90，100]分數(shù)段內(nèi)，

那么這兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定不大于10.

如果一個成績在[40，50)分數(shù)段內(nèi)，另一個成績在[90，100]分數(shù)段內(nèi)，

那么這兩名學生數(shù)學成績之差的絕對值一定大于10.

記“這兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，

則事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共7種.

∴所求概率為P(M)=.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及古典概型概率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）設(shè)點M,P,Q的坐標,將向量進行坐標化，整理即可得軌跡方程；（2）設(shè)點，，直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，用斜率公式計算得到，即可計算kAB；（3）若，由兩直線斜率積為-1，可得到關(guān)于與的等量關(guān)系，寫出直線AB的方程，將等量關(guān)系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過的定點【詳解】（1）設(shè)，，.由，得，即.因為，所以，所以.所以動點的軌跡為拋物線，其方程為.（2）證明：設(shè)點，，若直線的傾斜角互補，則兩直線斜率互為相反數(shù)，又，，所以，，整理得，所以.（3）因為，所以，即，①直線的方程為：，整理得：，②將①代入②得，即，當時，即直線經(jīng)過定點.【點睛】本題考查直接法求軌跡方程，考查直線斜率為定值的求法和直線恒過定點問題.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由圓與軸的交點分別為，可得拋物線的焦點為，從而即可求解；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線方程，由韋達定理及，求出即可得證.【小問1詳解】解：由題意知，圓與軸的交點分別為，則拋物線的焦點為，所以，所以拋物線方程為；【小問2詳解】證明：設(shè)直線為，聯(lián)立方程，有，所以，所以，所以.20、(1)(2)見解析.【解析】（1）在中，，求得，由此能求出四棱錐的體積；（2）由平面，證得和，由此利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.試題解析：（1）在中，.在中,.則.（2），為的中點，.平面.平面.為中點，為為中點，，則.平面.考點：四棱錐的體積公式；直線與平面垂直的判定與證明.21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)周長為8，求得a，再根據(jù)離心率求解；（2）方法一：設(shè)，，得到直線和直線的方程，聯(lián)立求得Q的橫坐標，根據(jù)在橢圓上，得到，然后代入Q的橫坐標求解；方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點P橫坐標，再由的直線方程聯(lián)立，得到P，Q的橫坐標的關(guān)系求解.【小問1詳解】解：∵的周長為8，∴，即，∵離心率，∴，，∴橢圓C的標準方程為【小問2詳解】方法一：設(shè)，則直線斜率，∵，∴直線斜率，∴直線的方程為：，同理直線的方程為：，聯(lián)立上面兩直線方