2021屆 人教a版平面向量 單元測試

平面向量

一、單選題

2

橢圓亍+的焦點為”，點在橢圓上，且礪.近則到

1.：/=1F2,M=0,My

軸的距離為（）

A3C2指n石

A.3B*2>/2C?-------D------

33

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)加（%”為），代入橢圓方程；根據(jù)麗?而=0及向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系，可得

%。2+>02=3,解方程組即可求得X。的值，進(jìn)而可得M到y(tǒng)軸的距離-

【詳解】

2

設(shè)“（%為），點M在橢圓工+丁=1上，

4

所以?+%2=1，①

2

橢圓上+y2=l的焦點為耳，F(xiàn),,

4

則可（一6,0）,K（6,O）,

所以一一%,

=（0-%）,MF2=（y/3-x0,-y0^,

由礪■?麗■=(),

可得(一代—X。,一坊)?(V3—%一No)=0,

化簡可得%(；+%2=3,②

聯(lián)立①②可解得3=±2?,

3

故”到y(tǒng)軸的距離為2匹,

3

故選：C.

【點睛】

本題考查了點與橢圓的位置關(guān)系，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.化簡通+而一而一麗=().

A.ADB.0C.BCD.DA

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的線性運算，化簡即可.

【詳解】

由向量的加法和減法的線性運算化簡，即

AB+1H)-AC-CD

=(AB+BD)-(AC+a))

AD-AD=Q

所以選B

【點睛】

本題考查了向量的加法、減法線性運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.設(shè)向量3=（2,0）,b=孚］,則向量3與坂的夾角為（）

3兀

T

【答案】C

【解析】

【分析】

由條件有問=2,忖=3,7B=-3,利用公式cos?b）=a-b

麗可求夾角.

又向量［與B的夾角的范圍是［（）,司

向量Z與B的夾角為弓.

故選：c

4.在同一平面內(nèi)，線段AB為圓C的直徑,動點P滿足麗.麗〉0,則點P與圓c

的位置關(guān)系是（）

A.點P在圓C外部B.點尸在圓C上C.點P在圓C內(nèi)部D.不確定

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)直徑所對圓周角是直角，而圓外的點P使而.麗＞0，由此判斷出正確結(jié)論.

【詳解】

在同一平面內(nèi)，線段為圓C的直徑，動點P滿足麗.麗＞0，所以Z4PB為銳角，

所以點P在圓C外部.故選A.

【點睛】

本小題主要考查圓的直徑所對圓周角為直角，考查向量數(shù)量積的運算公式，考查銳角、

鈍角、直角的余弦值的特點，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知同=1,（￡+24￡=3,向量￡出的夾角為（，則代的值為（）

A.1B.V2C.GD.2

【答案】D

【解析】

j*i*i*i*7r1*11rrrr

試題分析：（a+2份-a=a2+2a2=3,所以“力=1,所以a/="1回（=1,

忖=2.故選D.

考點：向量的數(shù)量積.

6.已知向量”=（3』）/=（%—1）,若。一6與人共線，則x的值等于（）

A.-3B.1C.2D.1或2

【答案】A

【解析】

v?=（3,l）,^=（x,-l）,.-.tz-^=（3-x,2），又Qa-b與B共線，

:.2x=x-3,：.x=-3,故選A.

7.正方形ABC。的邊長為4,M是正方形內(nèi)部（不包括正方形的邊）一點，

威s"=4，貝"IAX/|的最小值為（）

A.yB.與C.2正D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

分別以AB,AD所在的在直線為x,y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M（x,V），根據(jù)鼠.人乙=4

可知x+y=l（0<x<4,0<y<4）,而3|=G+y,根據(jù)其幾何意義可求.

【詳解】

分別以A8,A。所在的在直線為x,y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：

設(shè)M(x,y),則C(4,4),

QAMAC^A'

，4x+4y=4(0<x<4,0<y<4),

即x+y=l(0<x<4,0<y<4),

貝I"AM1=y]x2+y2'

其幾何意義為在直線x+y=l位于正方形內(nèi)取一點使其到原點A的距離最小.

故當(dāng)與直線x+）=l垂直時，|篇7|最小，

根據(jù)點到直線的距離可知ILn=^=y-

故選：B

【點睛】

本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量模及向量模的幾何意義，屬于中檔題.

8,若向量,A-（2*5）,Z■（鳥切滿足條用嗎一了聲=-5,貝以=（）

A.6B.5

C.4D.3

【答案】C

【解析】試題分析：由，i=（2^），?B^X）>得后一工=@一2），

^a-h1c=3-2x=-5>得x=4，故選

C.

考點：向量的坐標(biāo)運算；向量的數(shù)量積.

9.若向量的夾角為（，￡=（血,血），歸+2q=2百，則忖=（）

A.bB.1C.4D.3

【答案】B

【解析】

試題分析：因為5=（0,、0,所以同=J（⑹?+（應(yīng)了=2,因為口+2可=26,

所以h+2^r=12,所以

伍+26)=東+4無6+4后+4同|碓05?+4M=4忖+4忖+4=12,即

懷+忸卜2=0

,解得：忖=1或行卜―2（舍去），故選B.

考點：1、向量的模的坐標(biāo)運算；2、向量的數(shù)量積.

10.A，B,C是平面上不共線的三個點?動點。滿足AP=%尸=i

A3

/lw[0,+8）,則點p的軌跡一定通過小鉆。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】

ABAC

M+M表示以A為起點，分別與通,衣方向相同的兩個單位向量的和,

ABAC

二向量同十辰[的起點為A,終點必定在NBAC的平分線上

(ABAC

IM+MJAG[0,+OO),

ABAC

...向量而與向量在同一條直線上,

因此，動點P滿足即P在NBAC的平分線上,

:由于A、B、C是平面上不共線的三個點,

；.P的軌跡一定通過^ABC的內(nèi)心.

本題選擇B選項.

11.已知向量a=(6,8),B=(sina,cosa),a〃B,則tantz=()

33

A.-

4-4

44

D.

33

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量平行，得到關(guān)于。的關(guān)系式，整理化簡后，得到tana的值.

【詳解】

因為Z//5，a=(6,8),石=(sina,cosa)

所以可得6cosa=8sina

『sina3

整理得tana=----=—

cosa4

故選A項.

【點睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，同角三角函數(shù)關(guān)系，屬于簡單題.

12.設(shè)心5是平面內(nèi)的兩個單像向量，且夾角為60。，則12萬-3目等于（）

A.幣B.曬C.1D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合向量模長的公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

a,5是平面內(nèi)的兩個單位向量，且夾角為60°

a-=|a|x|/?|cos60°=1x1x

pa-34=4片-12無5+9戶=4-12x1+9=7

2

則忸-35卜刀

故選：A.

【點睛】

本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)向量模長的公式是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題

.____/—?n\r/</~>\_u----.sin+2cos0

13.已知兩向量a=（2,s/〃e）,Z?=（l,cos。），若。//6,則----------------

2sin6-3cose

【答案】4

【解析】

【分析】

根據(jù)兩個向量共線的性質(zhì)可得tan6=2,再把要求的式子利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)

tan6+2

系化為,運算求得結(jié)果.

2tan。一3

【詳解】

:兩向量a=（2,sin8）,5=（1,cos。），若￡//B，

則2cos8-sin8=（）,即tan6=2,

sin9+2cosctan3+22+2,

________—_____4故答案為4.

2sin6—3cos。2tan6—34-3

【點睛】

本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.同角三角

函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的

關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.

14.在正三角形A8C中，。是8c上的點，AB=3,BO=1,則麗.亞=.

【答案】二

2

【解析】

試題分析：根據(jù)正三角形的性質(zhì)以及向量的數(shù)量積的定義式，結(jié)合向量的特點，可以確

定麗.麗=麗（2通+,/）=2通2+,而.n=2.9+』.3?3'=",故答

33333322

案為M

2

考點：平面向量基本定理，向量的數(shù)量積，正三角形的性質(zhì).

15.已知向量M=（3,2）,B=（2,T）,若〃啟+/與Z+2B共線，則:等于

【答案】y

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，即可求的mZ+〃石與￡+2行的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式，即可求

得結(jié)果.

【詳解】

因為M=（3,2）石=（2,—1）,

故可得〃也+=（3/n+2/1,2m—n）,Q+2B=（7,0）,

因為ma+〃石與〃+2坂共線，

m1

故可得14加—7〃=0,即可得一=一.

n2

故答案為：一.

2

【點睛】

本題考查向量坐標(biāo)的運算，以及由向量共線求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.

16.已知向量礪=（左,12）,加=（4,5）,無=（—女,10）,且A、B、C三點共線,

貝！Jk=____

2

【答案】—§

【解析】

【分析】

先求出血，冊的坐標(biāo)，再根據(jù)A、B、。三點共線求出人的值.

【詳解】

由題得通=礪一礪=（4一％,-7）,

BC=OC-OB=（-k-4,5）,

因為A、B、。三點共線，

所以A月=/1沅，

所以（4—左＞5+7（一左一4）=0,

2

所以％=一5.

s一,2

故答案為：-§

【點睛】

本題主要考查向量的坐標(biāo)運算和共線向量，考查三點共線，意在考查學(xué)生對這些知識的

理解掌握水平.

三、解答題

17.已知點P是曲線G：匕+y2=i上的動點，延長PO（。是坐標(biāo)原點）到Q,使

4

得|0Q|=2|0P|,點。的軌跡為曲線

（1）求曲線C?的方程；

（2）若點耳，工分別是曲線G的左、右焦點，求耶?硬的取值范圍；

（3）過點P且不垂直X軸的直線/與曲線交于M，N兩點,求AQA/N面積的最

大值.

【答案】⑴—+=1（2）[-11-6\/3,--]（3）6G

1642

【解析】

【分析】

（工）用動點轉(zhuǎn)移法求軌跡方程，即設(shè)Q（x,y）,尸（大,力），由已知用x',y'表示％）’,

并把（兌y）代入C,方程可得C2方程；

（2）設(shè)P（2cose,sin。），貝ijQ（-4cose,-2sin。）.求出包戶?收后可得取值范圍；

（3）設(shè)尸（2cos6,sin6）,則。（Teos。,一2sin6）.設(shè)經(jīng)過點P的直線方程為：

y-sine=Z（x-2cos。），N（x2,y2）.由直線與橢圓相交弦試公式（用

韋達(dá)定理求解）得弦長|MN|,求出。到直線MN的距離后可表示出AQMN的面積，

注意引入三角恒等變換，設(shè)|sin8—2左cos例=|sina|，可化簡表達(dá)式，從而

求得最值.

【詳解】

,1

x=——x

2

解：⑴設(shè)Q（x,y）,尸（x'，V）,：麗=2而，，（x,y）=-2（x',y'）,可得<

.1

整+（方=「可喘+?j

代入

22

曲線c,的方程為土+2-

164

(2)^(-V3,0),^(V3,0).設(shè)P(2cosasin6),則Q(-4cosa—2sin6).則

FpF2Q=^2cos0+y/3,sin0)(-4cos9—?-2sine)=(2cose+g)(-4cos0—G)+sine(-2sin6

JA⑸21

=-6cos<9+——一,

32

\7

Vcos^e[-l,lJ,AF；P-^Qe[-ll-6V3,-1].

(3)設(shè)P(2cossin。)，則。(-4cos夕,一2sin。).

設(shè)經(jīng)過點尸的直線方程為:y-sin6>=Kx-2cos0）,M（方,y）,N（x2,y2）.

y-sine=Z(x-2cose)

聯(lián)立

x2+4y2=16

消去y得：(1+4攵2)%2-8Z(sine—2Zcose)x+4(sine-2Zcos8)~-16=0,

._8Z(sine-2Zcose)4(sin^-2Z:cos^)--16

..%1+x=--~TH------，x,x=—-------------------'

21+4%17-1+4左2

+16-—(sin9-2Zcose)2

22

二|MN|=^l+^)[(x(+X2)-4X]X2]=4‘1+"也

1+4〃

|-4kcos6+2sin6+sin6—2Zcos6\31sin。一2Zcos0\

點。到直線/的距離d

Jl+公yjl+k2

161sin9一2kcos0\J4+16/-(sin。-Z&cos。，

^QMN=-d\MN\=--------------------**----------------L

令|sin6-2次cos6|=，l+4左2|sintz|，

2

則S^QMN=61sin?|\/4-sina,令I(lǐng)sina|=fG[0,1],

則(f)=一36〃+144產(chǎn)=一36(/—2)2+144,

當(dāng)且僅當(dāng)y=1時，/?）取得最大值6G.

【點睛】

本題考查向量的數(shù)乘運算及數(shù)量積，考查用動點轉(zhuǎn)移法求軌跡方程，考查直線與橢圓的

位置關(guān)系，考查橢圓中的三角形面積.考查了三角函數(shù)的恒等變換與性質(zhì).解析幾何中

的設(shè)而不求思想在本題也起到了重要作用，本題對學(xué)生要求較高，對運算求解能力要求

較高，屬于困難題.

18.在四邊形45。中，己知A（0,0）,3（4,0）,C（3,2）,D（l,2）.

（1）判斷四邊形4成笫的形狀；

（2）求向量/與麗夾角的余弦值.

【答案】（1）等腰梯形；（2）一2

【解析】

【分析】

（1）計算得到AB=-DC,且|印4=石=|耳耳，得到答案.

（2）/=（3,2）,麗=（-3,2）,利用夾角公式計算得到答案.

【詳解】

（i）AB=（4,0）,DC=（2,0）,故而=g反，

礪=（1,2）,BC=（-1,2）,故|加卜石=|月@,故四邊形ABCZ）為等腰梯形.

⑵/=（3,2）,麗=（-3,2）,故cos（AC,町=國,阿廠石.

【點睛】

本題考查了根據(jù)向量判斷四邊形形狀，向量夾角，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

19.已知向量3,坂的夾角為60°,且卜|=1,忖=2,設(shè)用=3左一石，n=ta+2b.

（1）試用f來表示質(zhì)工的值；

（2）若說與7的夾角為鈍角，試求實數(shù)f的取值范圍.

【答案】（Z）[G=2f-2;（2）{小<1且"一6}.

【解析】

【分析】

（1）由數(shù)量積的運算律計算.

U1一一

（2）由機(jī).〃<（）解得f的范圍，排除加，〃反向的f值.

【詳解】

（Z）由已知4出=1、2'（：0560°=1，

—>>—>—*—>—*—?2-*—?-*2

m-n-（3a-b）-（ta+2Z?）=3ta+（6-t）a-b-2b=3z+（6—。-8=21—2.

（2）m與〃的夾角為鈍角，則根.〃=2/—2<0，1<1,

___it=3k[k=-2

謖m=kn，即/。+2石=%（3。-垃，貝心。.?解得《，此時機(jī)與〃方向相

2=-k[r=-6

反.

所以f的取值范圍是“上<1且fN-6}.

【點睛】

本題考查向量的數(shù)量積運算，掌握平面向量數(shù)量積運算律是解題關(guān)鍵.<0時，m

與［的夾角為鈍角或平角，即向量方向相反時，數(shù)量積也小于0.注意檢驗排除.

20.已知向量4=。,2),5=(-3,1)

(1)求與2M+B同向的單位向量。；

(2)若向量=［-3,-?}請以向量心B為基底表示向量小

(3)若心看夾角為。，求cos28的值.

-，、-(扃5扃1小-c-1廠小24

【答案】(1)e=［--玄,-26(2)c=-2a+-h(3)cos20=--

【解析】

【分析】

，根據(jù)G=|2；+5|Q萬+」)求得結(jié)果;(2)設(shè)

(1)利用坐標(biāo)運算可求得忸+可

c=Aa+^b,可構(gòu)造出關(guān)于4〃的方程組，解方程組求得結(jié)果；(3)利用向量數(shù)量積

求得cos。，根據(jù)二倍角余弦公式求得結(jié)果.

【詳解】

(1);2M+B=(2,4)+(-3,1)=(-1,5).?.怩+同=J(_iy+52;屆

-1(、一r\f^265屈1

二與2萬+Z?同向的單位向量：e=.笑+可(2〃+匕片［--26~,^26~

(2)設(shè)^=幾萬+［區(qū)，則］_3,_T］=4(1,2)+〃(-3,1)=(X_3〃,2X+〃)

-3=2-3//A——2

，解得：〈

卜11尸,+〃1

1一

:.c=-2a-\--b

3

八ablx（-3）+2xl-172

（q）cos0=------=..，■—?—=—尸=-----

I列們VFTFXQL3）25010

’Fy丫2494.

cos20=2cos26>-1=2x----1=-----即cos26=---------

I10J2525

【點睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運算，涉及到向量數(shù)量積求向量夾角、平面向量基本定理的應(yīng)用、

同向的單位向量的求解，主要考查運算能力.

21.在圖中，分別用向量表示A地至8,C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出A

地至3,C兩地的實際距離（精確到1km）.

【答案】A地至B,C兩地的位移分別用荏，/表示；A地至B,C兩地的實際距離分

別為15（切）2,31（hw）.

【解析】

【分析】

用向量的寫法寫出A地至瓦C兩地的位移的表示方法，用刻度尺量出圖上AB兩點距

離，4c點距離，最后用根據(jù)比例尺計算出實際距離即可.

【詳解】

4地至B,C兩地的位移分別用瓦瓦表示，圖上A,B兩點距離、A,C點距離分別

為：1.5（加）,3.l（cm），所以A地至B實際距離為：1.5x10々*1（）6=1.5x1（/=I5（hn）,

A地至C地的實際距離為：3.1X10-2X106=3.1X104=31（M-

【點睛】

本題考查了向量的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（3,4）,B（5,12）.

（1）求6云?麗的值；

（2）若/AOB的平分線交線段AB于點D,求點D的坐標(biāo)；

（3）在單位圓上是否存在點C,使得夕.國=64?若存在，請求出點C的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

【答案】（1）63；（2）J；（3）單位圓上存在點1,一不或

/2下石［、...

C,滿足題思.

155,

【解析】

【分析】

（1）分別表示出）與而，即可求