111與三角形有關的線段(講練)-2022-2023學年八年級數(shù)學上冊重要考點(人教版)（原卷版）

11.1與三角形有關的線段三角形的定義定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．注意：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.(3)三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．題型1：三角形相關概念1.下面是小強用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）【變式11】已知△ABC的周長為18cm，AB邊比AC邊短2cm，BC邊是AC邊的一半，則AB=cm，BC=cm，CA=cm．【變式12】一個三角形有條邊，個頂點，個外角．三角形的分類(1)按角分類：(2)按邊分類：注意：①等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;②等邊三角形：三邊都相等的三角形.題型2：三角形的分類2.用集合來表示“按邊把三角形分類”，下面集合正確的是（）【變式21】下列說法正確的是（）三角形分為等邊三角形和三邊不相等的三角形等邊三角形不是等腰三角形等腰三角形是等邊三角形D.三角形分為銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形【變式22】圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個三角形是（）銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．以上都有可能題型3：三角形的計數(shù)問題3.課堂上，老師把教學用的兩塊三角板疊放在一起，得到如圖所示的圖形，其中三角形的個數(shù)為（）A.2B.3C.5D.6【變式31】圖中三角形的個數(shù)是（）A.8B.9C.10D.11【變式32】如圖，圖中三角形的個數(shù)為（）A.6B.15C.18D.21題型4：三角形三邊關系的應用4.已知三角形的兩邊長分別為2和7，則該三角形的第三邊長可以為（）A．3 B．5 C．7 D．9【變式41】若一個等腰三角形的兩邊長分別為3和7，則該三角形的周長可能是（）A．17 B．13 C．13或17 D．15【變式42】設a，b，c是△ABC的三邊的長，化簡(a?b?c)2?|a﹣b+c|?三角形的三邊關系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.注意：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關系.題型5：三角形三邊關系的證明5.已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延長線上，如圖，求證：BD－BC＜AD－AB.【變式51】已知：如圖，P是△ABC內(nèi)一點．求證：AB+AC>PB+PC．【變式52】如圖，△ABC中，點D在AC上，點P在BD上，求證：AB+AC＞BP+CP．題型6：三角形中的分類討論6.等腰三角形的兩邊長滿足|a﹣5|+（b﹣9）2＝0.求這個等腰三角形的周長.【變式61】已知等腰△ABC的周長為20，求腰長的取值范圍．【變式62】等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，求這個等腰三角形的底邊長.三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.題型7：三角形的穩(wěn)定性7.人字梯中間一般會設計一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點之間線段最短 B．三角形的穩(wěn)定性C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短【變式71】下列圖形中不具有穩(wěn)定性的是（）A． B．C． D．【變式72】小輝用7根木條釘成一個七邊形的木架，他為了使該木架穩(wěn)固，想在其中加上四根木條，請你在圖1、2、3中畫出你的三種想法，并說明加上木條后使該木架穩(wěn)固所用的數(shù)學道理?三角形的高、中線與角平分線1、三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．三角形的高的數(shù)學語言：如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；2、三角形的中線三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．三角形的中線的數(shù)學語言：如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.3、三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學語言：如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.題型8：三角形的角平分線、中線和高8.如圖，AD⊥BC于點D，GC⊥BC于點C，CF⊥AB于點F，下列關于高的說法錯誤的是（）A．在△ABC中，AD是BC邊上的高B．在△GBC中，CF是BG邊上的高C．在△ABC中，GC是BC邊上的高D．在△GBC中，GC是BC邊上的高【變式81】如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（）A．CG B．BF C．BE D．AD【變式82】下列說法中，①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點．正確的是（）A．① B．①④ C．②③ D．②④題型9：三角形的中線與周長問題9.如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，則△ACD的周長為（）?A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm【變式91】如圖，AD為△ABC的中線，AB=12cm，△ABD和△ADC的周長差是4cm，求△ABC的邊AC的長(AC<AB).【變式92】如圖:在ΔABC中（AC>AB），AC=2BC，BC邊上的中線AD把ΔABC的周長分成60cm和40cm兩部分，求邊AC和AB的長.題型10：三角形的中線與面積問題10.三角形一邊上的中線把原三角形分成兩個（）A．形狀相同的三角形 B．面積相等的三角形C．直角三角形 D．周長相等的三角形【變式101】如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AD的中點，△ABC的面積為6cm2，則△BDE的面積為．【變式102】如圖，在△?ABC中，已知點D、E、F分別為BC、AD、CE的中點，若△?ABC的面積為4cm2，則陰影部分的面積為一、單選題1．下列長度的三條線段首尾相連能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，7 D．4，5，102．下列長度的每組三根小木棒，能組成三角形的一組是（）A．3，3，6 B．4，5，10 C．3，4，5 D．2，5，33．若一個三角形的兩邊長分別為2和8，則第三邊長可能是（）A．3 B．6 C．7 D．124．下列各組長度的線段能構(gòu)成三角形的是（）A．2cm4cm2cm B．5cm8cm3cmC．8cm2cm8cm D．5cm12cm3cm5．某同學手里拿著長為3和2的兩個木棍，想要裝一個木棍，用它們圍成一個三角形，那么他所找的這根木棍長滿足條件的整數(shù)解是（）A．1，3，5 B．1，2，3 C．2，3，4 D．3，4，56．如圖，在ΔABC中，E是邊BC上點，EC=2BE，點D是AC的中點。連接AE，BD交于F，已知SΔABC=6，則A．1 B．2 C．3 D．47．下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．4，5，9 B．6，7，14 C．4，6，10 D．8，8，158．一個三角形的兩邊分別為5cm、11cm，那么第三邊只能是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．7cm9．下列長度的三條線段中，不能組成三角形的是（）.A．2cm，5cm，5cm B．3cm，4cm，5cmC．2cm，4cm，6cm D．1cm，2cm，3cm二、填空題10．空調(diào)安裝在墻上時，一般會用如圖所示的三角形支架固定在墻上，這種方法應用的數(shù)學知識是.11．三角形的三邊長分別為3，2x，5，則x的取值范圍是.12．如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=12cm