清單05等腰三角形等邊三角形的性質(zhì)與判定（22種題型解讀（75題））（原卷版）

清單05等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定（22種題型解讀（75題））【知識導圖】【知識清單】【考試題型1】等腰三角形的定義1．（2023上·江蘇揚州·八年級校考期中）已知等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，則該等腰三角形的周長為（A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm2．（2023上·重慶江津·八年級重慶市江津中學校?？计谥校┬∶靼验L度為12cm的鐵絲圍成三邊為整數(shù)長的等腰三角形，則圍成的等腰三角形的腰長為（

A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D3．（2023上·福建福州·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€外角是100°，則這個等腰三角形的底角的大小是（

）A．40° B．50° C．80° D．50°或80°【考試題型2】根據(jù)等邊對等角求角度4．（2023上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=130°，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC于點D，AC的垂直平分線交AC于點G，交BC于點F，連接AD，AF，則A．65° B．80° C．100° D．110°5．（2023上·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）一個等腰三角形頂角的度數(shù)是底角度數(shù)的2倍，則這個等腰三角形的底角是（

）A．30° B．40° C．45° D．50°6．（2023上·福建福州·八年級校考期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且CD=AE，BE與AD交于點F，在FA上截取FG=FE，連接GE，若∠AEG=28°，則∠ABE等于（

）A．28° B．32° C．30° D．34°7．（2023上·廣東湛江·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC邊上的中線，且BD=BE，則∠ADE的大小為（）A．10° B．20° C．30° D．40°【考試題型3】根據(jù)等邊對等角證明8．（2023上·吉林白城·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°．點D、E分別在AB、BC上，且BC=BD，AD=BE，連接DE、CD．(1)求證：DC=DE；(2)求∠CDE的度數(shù)．9．（2023上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點D，E，F(xiàn)在△ABC的邊上，滿足BE=CF，BD=CE．(1)求證：DE=EF；(2)已知∠A=70°，求∠DEF的度數(shù)．10．（2023上·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學校考期末）如圖，點C在線段AB上，AD∥BE，AC=BE，AD=BC，DE(1)尺規(guī)作圖：過點A作線段DE的垂線交DE于點F．（基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不下結論）(2)求證：DF=FG．證明：∵AD∥BE，∴∠在△ACD和△BEC中，AC∴△ACD≌△BEC∴∠ADC=①，∵②=∴∠∴∠∴③∵AF⊥DG∴DF=FG．【考試題型4】根據(jù)三線合一求解11．（2023上·廣西玉林·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AB=AC=13，S△ABC=65，AD是∠BAC的角平分線，E是AD上的動點，F(xiàn)是AB邊上的動點，則BE+EF的最小值為（A．5 B．10 C．13 D．2612．（2022上·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）如圖，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，則△BCD的面積為（

）A．8 B．12 C．14 D．1613．（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校?？计谥校┤鐖D，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿DE上一點A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB和AC，點B、E、C在同一直線上時，電線桿DE就垂直于BC，工程人員這種操作方法的依據(jù)是（

）A．等邊對等角 B．垂線段最短 C．等腰三角形的三線合一 D．DE是BC的垂直平分線【考試題型5】根據(jù)三線合一證明14．（2023上·廣西南寧·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，下列結論不正確的是（

）A．AD⊥BC B．AD平分∠BAC C．AC=2AD D．∠B=∠C15．（2023上·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，對角線AC、BD相交于點O，下列結論中：①∠ABC=∠ADC；②AC與BD相互平分；③AC、BD分別平分四邊形ABCD的兩組對角；④四邊形ABCD的面積S=12AC?BD

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①④16．（2023上·浙江·八年級周測）如圖，已知鈍角三角形ABC，按以下步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．步驟1：以C為圓心，CB為半徑畫?、?；步驟2：以A為圓心，AB為半徑畫?、?，交?、儆邳cD；步驟3：連結BD，交AC的延長線于點E．下列敘述正確的是（

）

A．BC平分∠ABD B．AB=BD C．AE=BD D．BE=DE【考試題型6】找出圖中等腰三角形個數(shù)17．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習）如圖所示，共有等腰三角形（

）A．2 B．3 C．5 D．418．（2023上·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點D、E在BC上，AD⊥AB，AE⊥AC，且BE=ED=DC，則圖中等腰三角形的個數(shù)為（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【考試題型7】根據(jù)等角對等邊證明邊相等19．（2023上·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，D是AB邊上一點，∠BCD=30°，BD=4cm，則△ACD的周長為（

A．6cm B．8cm C．12cm20．（2023上·吉林長春·八年級吉林大學附屬中學?？计谥校┤鐖D，已知長方形紙片ABCD，將長方形紙片按如圖所示的方式折疊，使點D與點B重合，折痕為EF．則△BEF是（

）．A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．無法確定21．（2023上·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點F、G，若FG=1，ED=3.5，則DB+EC的值為（A．3.5 B．3 C．2.5 D．2【考試題型8】根等角對等邊求邊長22．（2023上·湖南邵陽·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，∠B=∠ADB，若AB=4，則DC的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．不能確定23．（2023上·山東濱州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，BC=13cm，∠B=∠BAC=15°，AD⊥BC于點D

A．5.5cm B．5cm C．6cm24．（2023上·天津西青·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，過點O作DE∥BC，與AB，AC分別相交于點D，E，若BD+EC=5，則DE等于（

）A．7 B．6 C．5 D．425．（2023上·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD為∠BAC的平分線，BM⊥AD，垂足為M，且AB=6，BM=2，則AC=（

）．

A．10 B．7 C．8 D．9【考試題型9】在網(wǎng)格中找與已知兩點構成等腰三角形的點的個數(shù)26．（2023上·江蘇徐州·八年級?？计谀┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點稱為格點，已知A，B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得ΔABC為等腰三角形，則符合條件的點CA．6 B．7 C．8 D．927．（2020上·北京豐臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，點C也是圖中小方格的頂點，并且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【考試題型10】在坐標系中找與已知兩點構成等腰三角形的點的個數(shù)28．（2022上·江蘇南京·八年級南師附中新城初中?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，在直線BC或AC上取一點P，使得△ABP為等腰三角形，則符合條件的點的個數(shù)有（

）A．3 B．4 C．5 D．629．（2021上·河南開封·八年級開封市第二十七中學校聯(lián)考期中）在平面直角坐標系xOy中，點A2,0，B0,2，若點C在坐標軸上，且△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C的個數(shù)為（A．5 B．6 C．7 D．8【考試題型11】等腰三角形性質(zhì)與判定綜合30．（2023下·廣東揭陽·八年級階段練習）在△ABC中，∠B=22.5°，邊AB的垂直平分線DP交AB于點P，交BC于點D，且AE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，DF與AE交于點G．求證：EG=EC．31．（2023上·江蘇南京·八年級期末）如圖，在△ABC中，CE⊥BA的延長線于E，BF⊥CA的延長線于F，M為BC的中點，分別連接ME、MF、EF．(1)若EF=3，BC=8，求△EFM的周長；(2)若∠ABC=28°，∠ACB=48°，求∠EMF的度數(shù)．32．（2023上·江蘇連云港·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，∠BCD為銳角；(1)在圖1中，△ACE與△BCD(2)如圖2，若AC=4，CD=5．則四邊形ABDC面積最大值為______．(3)如圖3，已知BD=6，△ACE的面積為10，G在BD邊上，GC的延長線經(jīng)過AE中點F，求CG的長．【考試題型12】利用等邊三角形的性質(zhì)求值33．（2023上·福建莆田·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC是等邊三角形，BC⊥CD，且AC=CD，則∠BAD的度數(shù)為（）A．50° B．45° C．40° D．35°34．（2023下·全國·八年級專題練習）如圖，已知：∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1

A．6 B．12 C．32 D．6435．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級?？茧A段練習）如圖，在等邊△ABC中，點E是AC邊的中點，點P是△ABC的中線AD上的動點，且AD=8，則EP+CP的最小值是（

）A．10 B．9 C．8 D．736．（2023上·湖北武漢·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，△ABC是等邊三角形，E、F分別在AC、BC上，且AE=CF，則下列結論：①AF=BE，②∠BDF=60°，③BD=CE，其中正確的個數(shù)是（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【考試題型13】手拉手模型37．（2023上·湖南岳陽·八年級?？茧A段練習）如圖，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BD、AE交于點O，BC與AE交于點P．求證：∠BOP=∠ACP．

38．（2023上·廣東東莞·八年級石龍三中?？计谥校┤鐖D，點C在線段AB上，（點C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE、(1)猜想并證明：線段AB與BD的數(shù)量關系為___________．證明：(2)求證：∠APD=60°；(3)求∠APC的度數(shù)．39．（2023上·廣東東莞·八年級可園中學?？计谥校┤鐖D，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

(1)求證：BE=AD；(2)求證：CF=CH；(3)判斷FH與BD的位置關系，并證明．40．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級新鄉(xiāng)市第十中學?？计谥校┬∶魍瑢W發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ACB和△DCE均是頂角為40°的等腰三角形，AB、DE別是底邊，則AD___________BE（填“=(2)拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一條直線上，連接BE，（1(3)解決問題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、【考試題型14】等邊三角形的證明41．（2023上·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，CD是AB邊的中線，∠BDC=60°，將△BCD沿CD折疊，使點B落在點E的位置．判斷△AED的形狀并加以證明．42．（2023上·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，D為AC邊上一點，ED的延長線交BC的延長線于F，且EF⊥AB，CD=CF．

(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)當∠F等于多少度時，△ABC是等邊三角形？請證明你的結論．43．（2023上·福建福州·八年級福州日升中學校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是AB上的一點，BD=BC，過點D作AB的垂線交AC于點E,CD交BE于點F

(1)求證：BE垂直平分CD；(2)若點D是AB的中點，求證：△CBD是等邊三角形．44．（2020上·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．（將所有正確的序號填在橫線上）．【延伸應用】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關系．【考試題型15】等邊三角形與折疊問題45．（2023上·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知等邊三角形ABC，點D為線段BC上一點，△ADC沿AD折疊得△ADE，連接BE，若∠ADB=70°，則∠DBE的度數(shù)是（

）

A．10° B．20° C．30° D．40°46．（2022上·浙江金華·八年級義烏市繡湖中學教育集團?？计谥校┤鐖D，在等邊△ABC中，已知AE=1，CD=2，將△BDE沿DE折疊，點B與點F對應，且DF⊥AC，則等邊△ABC的邊長為（

）

A．3+3 B．4 C．4+3 D47．（2023上·吉林·八年級校聯(lián)考期中）如圖，等邊△ABC的邊長為2cm，D、E分別是AB、AC上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A'處，且點A'在△ABC外部則陰影部分圖形的周長為48．（2023上·湖北武漢·八年級武漢第三寄宿中學?？茧A段練習）如圖，△ABC是等邊三角形，將△ABC按如圖的方式進行折疊，使點B與AC邊上的點F重合，折痕分別與AB，BC交于點①∠FDE+∠FED=120°；②∠ADF+∠CEF=2∠A；③AD=2EC；④若AF=1，F(xiàn)C=3，O是折痕DE上一動點，則OF+OC的最小值是其中正確的結論是（填寫序號）

【考試題型16】與等腰三角形、等邊三角形有關的規(guī)律探究問題49．（2023上·浙江金華·七年級?？计谥校┤鐖D，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點（不與點B，C重合），連接AD，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC的延長線上，且DE=DF=AD，點D從B運動到C的過程中，△BED周長的變化規(guī)律是（）

A．先變小后變大 B．先變大后變小 C．一直變小 D．不變50．（2022上·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A坐標是0，4，以為邊在右側作等邊三角形OAA1，過點A1作x軸的垂線，垂足為點O1，以O1A1為邊在右側作等邊三角形O1A1A2，再過點A2作xA．122021 B．122022 C．51．（2022下·遼寧遼陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖（1），△AB1C1是邊長為2的等邊三角形；如圖（2），取AB1的中點C2，畫等邊三角形AB2C2，連接B1B2；如圖（3），取52．（2022·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，直線l1與直線l2所成的角∠B1OA1=30°，過點A1作A1B1⊥l1交直線l2于點B1，OB1=2，以A1B1為邊在△OA1B1外側作等邊三角形A【考試題型17】與等腰三角形、等邊三角形有關的新定義問題53．（2023上·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）定義：如果1條線段將一個三角形分割成2個等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個三角形的“三等腰線”．如圖（1），BE是△ABD的“雙等腰線”，AD、BE是△ABC的“三等腰線”．

(1)請在圖（2）中，作出△ABC的“雙等腰線”，并標注相等角的度數(shù)

①∠B=70°，∠A=35°

②∠B=81°，∠A=27°．(2)直角三角形的______就是它的“雙等腰線”(3)如果一個頂角是銳角的等腰三角形有“雙等腰線”，那么它的底角度數(shù)是______．(4)已知△ABC中，∠C=33°，AD和DE分別是△ABC的“三等腰線”，點D在BC邊上，點E在AB邊上，且AD=DC，BE=DE，請根據(jù)題意寫出∠B度數(shù)的所有可能的值______．54．（2023上·江蘇徐州·八年級?？计谥校┌岩粡堩斀菫?6°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，圖①是其中的一種方法．定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，那么我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線．

(1)請你在圖②、圖③中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；(2)在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分線，點D在邊BC上，點E在邊AC上，且AD＝BD，55．（2023上·福建福州·八年級?？计谥校┒x：若P為△ABC內(nèi)一點，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P叫做△ABC的費馬點．(1)如圖1，若點O是等邊△ABC的費馬點，且OA+OB+OC=18，則這個等邊三角形的高的長度為______；(2)如圖2，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于點P，連接AP，求證：點(3)應用探究：已知有A、B、C三個村莊的位置如圖3所示，能否在合適的位置建一個污水處理站Q，使得該處理站分別連接這三個村莊的水管長度之和最??？如果能，請你說明該如何確定污水處理站Q的位置，并證明該位置滿足設計要求．56．（2023上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為60°，那么這樣的三角形叫做“準等邊三頂角”．【理解概念】（1）頂角為120°的等腰三角形“準等邊三角形”．（填“是”或“不是”），并說明理由．【鞏固新知】（2）已知△ABC是“準等邊三角形”，其中∠A=36°，∠C>90°．求∠B的度數(shù)．【考試題型18】與等腰三角形、等邊三角形有關的動點問題57．（2023上·湖南長沙·八年級?？计谥校┤鐖D所示，在邊長為2的等邊三角形ABC中，G為BC的中點，D為AG的中點，過點D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，P是線段EF上一個動點，連接BP，GP，則△BPG的周長的最小值是（A．1 B．2 C．3 D．458．（2023上·吉林·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=17，BC=15，點D為邊CB的中點，動點P以2個單位的速度從點B出發(fā)在射線BA上運動，點Q在邊AC上，設點P運動時間為t秒．t>0(1)用含t的代數(shù)式表示線段AP的長．(2)當AC=BC，點P在線段BA上．若△BPD和△AQP全等，求t的值；(3)當∠CAB=56°，△AQP為等腰三角形時，請直接寫出∠APQ的度數(shù)．59．（2023上·河南周口·八年級校聯(lián)考階段練習）已知點P在∠MON內(nèi)．(1)如下圖．點P關于射線OM、ON的對稱點分別是G、H

①若∠MON=30°，則△OGH是什么特殊三角形?為什么?②若∠MON=90°，試判斷GH與OP的數(shù)量關系，并說明理由；(2)如下圖，若∠MON=30°，A、B分別是射線OM、ON上的點，AB⊥ON于點B，點P、Q分別為OA、AB上的兩個定點，且QB=1.5，OP=AQ=2，在OB上有一動點

【考試題型19】與等腰三角形、等邊三角形有關的最值問題60．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）完成下列各題：(1)問題情境

如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE，求證：△ABD≌△ACE．(2)遷移應用

如圖2，△ABC和△ADE都是等邊三角形，A，B，E三點在同一條直線上，M是AD的中點，N是AC的中點，P在BE上，△MNP是等邊三角形，求證：P是BE的中點．(3)拓展創(chuàng)新

如圖3，P是線段BE的中點，BE=7，在BE的下方作等邊△PFH（P，F(xiàn)，H三點按逆時針順序排列，△PFH的大小和位置可以變化），連接EF，BH．當EF+BH的值最小時，直接寫出等邊△PFH邊長的最小值．61．（2023上·湖北鄂州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB為等邊三角形，A0,2，點B位于第一象限，點P為y軸上一動點，以PB為邊作等邊△PBC（點P，B，C(1)求證OB∥(2)當點P的坐標為0,6時，求出點C的坐標；(3)因為點P在y軸上運動時，所以點C也跟著運動，BC的長在不斷的變化，當BC的長最小時，直接寫出點P的坐標為________．62．（2022上·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期末）如圖，∠ABN=60°，點C為射線BN上一定點，E為線段AB延長線上一定點，且BE=AB=12，點A關于射線BN對稱點為D，連接BD，(1)證明：∠BAC=∠BDC；(2)若P為直線BC上一個動點，求△PDE周長最小時，P所在的位置，并求出△PDE周長的最小值．63．（2023下·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，點E是AB邊上的一個動點，點P是AD上的一個動點．(1)當∠BAD=36°時，求∠ACB的度數(shù)；(2)若AB=5，BC=6，AD=4．①求△ABC中AC邊上的高；②當PB+PE的值最小時，最小值是______．【考試題型20】探究等腰三角形、等邊三角形中線段存在的關系64．（2023上·山西朔州·八年級校聯(lián)考階段練習）綜合與探究如圖，在△ABC中，以AB，BC為邊分別作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE和DC．(1)如圖1，寫出AE和DC之間的數(shù)量關系，并證明．(2)如圖2，若DC與AE相交于點M，求證：∠CME=60°．(3)如圖3，取AE，DC的中點Q，P，連接BP，PQ，BQ，得到△BPQ，試猜想△BPQ的形狀，并證明你的猜想．65．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，D是AB上一點，AD=BD=CD，過B作BE⊥CD，交CD于點(1)求證：∠A=(2)如果AC=2BC，猜想BE與66．（2023上·山東德州·八年級校考期中）在△ABC中，∠ACB=2∠B．(1)如圖①，當∠C=90°，AD為∠BAC的角平分線時，在AB上截取AE=AC，連接DE，則線段AB，AC，CD之間的數(shù)量關系是______；(2)如圖②，當∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB，AC，CD之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想并證明：(3)如圖③，當∠ACB≠90°，AD為△ABC的外角平分線時，線段AB，AC，CD之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想并證明．67．（2023上·山東濰坊·八年級統(tǒng)考階段練習）（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點，則EF與BE、CF之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB=AC”改為“若△ABC為不等邊三角形，”其余條件不變，則EF與BE、CF之間的數(shù)量關系是什么？證明你的結論；（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關系呢？直接寫出結論不證明．【考試題型21】等腰三角形、等邊三角形在坐標系中的應用68．（2023上·山東德州·八年級?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標系中，A0,a,Bb,0且a(1)∠OAB的度數(shù)為______；(2)已知M點是y軸上的一個動點，以BM為腰向下作等腰直角△BMN,∠MBN=90°,P為MN的中點，Q為OB的中點，當線段PQ最短時，求OM的值；(3)如圖，C為AB的中點，D為CO延長線上一動點，以AD為邊作等邊△ADE，連BE交CD于F，當D點運動時，線段EF,BF,DF之間有何數(shù)量關系？證明你的結論．69．（2023上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）【積累經(jīng)驗】（1）萌萌學完全等三角形的知識后，遇到了這樣一個問題：如圖1，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，點E在線段AB上，連接DE，CE，∠DEC=90°，且DE=CE．求證：AD=BE，AE=BC．萌萌發(fā)現(xiàn)只需證明△≌△【類比應用】（2）如圖2，在平面直角坐標系中，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，已知點A的坐標為0，3，點C的坐標為【拓展提升】（3）如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為-6，0，點B為y軸正半軸上一動點，分別以OB，AB為邊在第一，第二象限中分別作等腰直角△OBF，等腰直角△ABE，∠ABE=∠OBF=90°，連接E