第七章第二節(jié)等差數(shù)列

第二節(jié)等差數(shù)列課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解等差數(shù)列的概念并掌握其通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.2.能在具體的問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問(wèn)題.3.體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.考情分析考點(diǎn)考法:高考命題常以等差數(shù)列為載體,考查基本量的運(yùn)算、求和及性質(zhì)的應(yīng)用.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)是高考的熱點(diǎn),常以選擇題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.等差數(shù)列的有關(guān)概念定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,即an+1an=d(n∈N*,d通項(xiàng)公式設(shè){an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,則通項(xiàng)公式為an=a1+(n1)d等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí),A叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,2A=a+b2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知條件前n項(xiàng)和公式a1,an,nSn=na1,d,nSn=na1+n(【微點(diǎn)撥】(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可變形為Sn=d2n2+(a1d2)n.當(dāng)d≠0時(shí),它是關(guān)于n的二次函數(shù),表示為Sn=An2+Bn(A,B(2)a1>0,d<0,則Sn存在最大值.a1<0,d>0,則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=am+(nm)d(n,m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an.(3)若{an}是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)12431.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是()A.若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2C.數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)D.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列【解析】選BD.A中從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差應(yīng)是同一個(gè)常數(shù);BD正確;C中如果數(shù)列為0,0,0,0,…則其通項(xiàng)公式不是一次函數(shù).2.(選擇性必修第二冊(cè)P14例1·變題型)已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=5n+3,則它的公差為(A.3 B.3 C.5 D.5【解析】選D.依題意,等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=5n+3,a1=2,a2=所以公差為a2a1=5.3.(2023·全國(guó)甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a2+a6=10,a4a8=45,則S5=()A.25 B.22 C.20 D.15【解析】選C.等差數(shù)列{an}中,a2+a6=2a4=10,所以a4=5,a4a8=5a8=45,故a8=9,則d=a8-a48-4=1,a1則S5=5a1+5×42d=10+10=204.(轉(zhuǎn)化條件不等價(jià)致誤)一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為125,從第10項(xiàng)起每項(xiàng)都比1大,則這個(gè)等差數(shù)列的公差d的取值范圍是(A.(875,+∞) B.(∞,3C.(875,325) D.(8【解析】選D.由題意可得a即125+9d>1,125【巧記結(jié)論·速算】已知{an}為等差數(shù)列,d為公差,Sn為該數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)Snn也成等差數(shù)列,其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同,公差為(2)若數(shù)列{an},{bn}均為等差數(shù)列且其前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,則anbn(3)關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)①若項(xiàng)數(shù)為2n,則S偶S奇=nd,S奇S偶②若項(xiàng)數(shù)為2n1,則S偶=(n1)an,S奇=nan,S奇S偶=an,S奇S偶【即時(shí)練】1.設(shè)等差數(shù)列{an}與等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn.若對(duì)于任意的正整數(shù)n都有SnTn=2n+13【解析】對(duì)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足S2n1=(2n1)an,知道anbn=S2n-1T2n-1答案:72.已知一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù),其中所有奇數(shù)項(xiàng)的和為290,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為261.則數(shù)列中間一項(xiàng)的值為_(kāi)_______,項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_____.

【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為2n1,所有的奇數(shù)項(xiàng)和為S,則S=n(a1+設(shè)所有的偶數(shù)項(xiàng)和為T,則T=(n-1)(a2TS=n-1n=261290=項(xiàng)數(shù)2n1=19,中間一項(xiàng)為a10,由S=10a10=290,得a10=29,所以此數(shù)列中間一項(xiàng)是29,項(xiàng)數(shù)為19.答案:2919【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一等差數(shù)列的基本量運(yùn)算[例1](1)在等差數(shù)列{an}中,a2=5,at=7,at+3=10,則其前t項(xiàng)的和為()A.12 B.22 C.23 D.25【解析】選B.d=at+3-所以t=4,d=1.St=S4=22.(2)在等差數(shù)列{an}中,a1+a22=2,a2+a4=2,則a5=(A.3 B.4 C.5 D.7【解析】選C.在等差數(shù)列{an}中,因?yàn)閍1+a22=2,a2+a所以a解得a1=3,d=2,所以a5=a1+4d=3+8=5.(3)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=1,公差d=2,Sn+2Sn=36,則n=________.

【解析】由題意知Sn+2Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.答案:8【解題技法】解決等差數(shù)列基本量運(yùn)算的思想方法(1)方程思想:等差數(shù)列中包含a1,d,n,an,Sn五個(gè)量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個(gè)時(shí),可將已知和所求都用a1,d表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.在數(shù)列{an}中,若a1=2,且對(duì)任意正整數(shù)m,k,總有am+k=am+ak,則{an}的前n項(xiàng)和Sn=()A.n(3n1) B.nC.n(n+1) D.n【解析】選C.依題意得an+1=an+a1,即an+1an=a1=2,所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列,an=2+2(n1)=2n,Sn=n(2+2n)2=2.在單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}中,若a3=1,a2a4=34,則a1=(A.1 B.0 C.14 D.【解析】選B.由題知,a2+a4=2a3=2,又因?yàn)閍2a4=34,數(shù)列{an}單調(diào)遞增所以a2=12,a4=3所以公差d=a4-a所以a1=a2d=0.3.設(shè)an是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a4=14,若am=41,則m=________【解析】因?yàn)閍2+a4=2a3=14,所以a3=7,又a1=3,所以公差d=2,從而am=3+2(m1)=41,解得m=20.答案:20【加練備選】

1.在等差數(shù)列{an}中,a1=0,公差d≠0,若S9am=0,則m=________.【解析】由題意,am=S9=9a1+9×82d=36d=a37,所以m=37.

答案:37

2.已知公差為1的等差數(shù)列{an}中,a52=a3a6,若an=0,則n=________.

【解析】由a52=a3a6,有(a1+4)2=(a1+2)(a1+5)?a1=6,

從而an=6+(n1)×1=n7,

所以an=0時(shí),得n=7考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明教考銜接教材情境·研習(xí)·典題類[例2](選擇性必修第二冊(cè)P25習(xí)題4.2T7(1))已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.證明Snn【證明】設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1,公差為d,因?yàn)镾n=na1+n(n-1)2d=d2n2+(a1d2)n,所以Snn=d2n+(a1d2),所以SnnSn-1n-1=d2n【真題體驗(yàn)】(2023·新高考Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,設(shè)甲:{an}為等差數(shù)列;乙:Snn為等差數(shù)列,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解析】選C.(解法一)甲:an為等差數(shù)列,設(shè)其首項(xiàng)為a1,公差為d,則Sn=na1+n(所以Snn=d2n+(a1d2),所以SnnSn-1n-1=d2n+(a1d2)[d2(n反之,乙:Snn即Sn+1n+1Snn=nS即nan+1-Snn(n+1)=t,則S則Sn1=(n1)ant·n(n1)(n≥2),兩式相減得:an=nan+1(n1)an2tn,即an+1an=2t,對(duì)n=1也成立,因此an為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件,C正確(解法二)甲:an為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,則Sn=na1+n則Snn=a1+(n-1)2d=因此Snn為等差數(shù)列,反之,乙:Snn即Sn+1n+1Snn=D,Snn即Sn=nS1+n(n1)D,Sn1=(n1)S1+(n1)(n2)D,當(dāng)n≥2時(shí),兩式相減得:SnSn1=S1+2(n1)D,當(dāng)n=1時(shí),上式成立,于是an=a1+2(n1)D,又an+1an=a1+2nD[a1+2(n1)D]=2D為常數(shù),因此an為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件[溯源點(diǎn)評(píng)]本題是教材習(xí)題的變式,融入了簡(jiǎn)易邏輯知識(shí),考查學(xué)生的基本功,即邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)【考情提示】等差數(shù)列的性質(zhì)作為計(jì)算、推理的工具,在高考考查等差數(shù)列知識(shí)過(guò)程中無(wú)處不在,涉及條件的轉(zhuǎn)化,式子的變形,數(shù)值的運(yùn)算等.角度1等差中項(xiàng)的應(yīng)用與推廣[例3](1)已知數(shù)列{an}滿足2an=an1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,則a3+a4=()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】選B.因?yàn)?an=an1+an+1(n≥2),所以an是等差數(shù)列由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,所以a4=4,a3=3,所以a3+a4=3+4=7.(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S9=18,an-4=30(n>9),若Sn=336,則n的值為A.18 B.19 C.20 D.21【解析】選D.因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以S9=9a5=18,a5=2,Sn=n(a1+an)2=n(角度2等差數(shù)列求和[例4](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27【解析】選B.由{an}是等差數(shù)列,得S3,S6S3,S9S6為等差數(shù)列,即2(S6S3)=S3+(S9S6),得到S9S6=2S63S3=45.(2)已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn,且AnBn=3n+1n【解析】因?yàn)閿?shù)列an,bn為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和分別為An和B則a2+a5+a8b3+又AnBn=3n+1n+1,所以a所以a2+a5+a8b3答案:21角度3等差數(shù)列求最值[例5](一題多法)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=13,S3=S11,當(dāng)Sn最大時(shí),n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選C.方法一(鄰項(xiàng)變號(hào)法):由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得a7+a8=0.根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列為遞減數(shù)列,從而得到a7>0,a8<0,故n=7時(shí)Sn最大.方法二(函數(shù)法):由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a(bǔ)1=13代入,得d=2,故Sn=13nn(n1)=n2+14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),知當(dāng)n=7時(shí)Sn最大.方法三(圖象法):根據(jù)a1=13,S3=S11,知這個(gè)數(shù)列的公差不等于零,且這個(gè)數(shù)列的和是先遞增后遞減.根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù),以及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性,可得只有當(dāng)n=3+112=7時(shí),Sn取得最大值【解題技法】等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)解析式Sn=an2+bn,通過(guò)配方結(jié)合圖象借助求二次函數(shù)最值的方法求解;(2)鄰項(xiàng)變號(hào)法①當(dāng)a1>0,d<0時(shí),滿足am≥0,am+1≤0的項(xiàng)數(shù)m②當(dāng)a1<0,d>0時(shí),滿足am≤0,am+1≥0的項(xiàng)數(shù)m【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若m>1,且am1+am+1am21=0,S2m-1=39,A.39 B.20 C.19 D.10【解析】選B.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則am1+am+1=2am,則am1+am+1am21=0可化為2amam21=0,解得又S2m-1=(2m則m=20.2.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a1=2022,S20242024________.

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得Snn也為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則S20242024S所以S20252025所以S2025=4050.答案:40503.在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn取得最大值,則d的取值范圍為_(kāi)_______.

【解析】由題意,當(dāng)且僅當(dāng)n=8時(shí)Sn有最大值,可得d<0,解得1<d<78答案:(1,78考點(diǎn)四等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用[例6](1)“今有竹9節(jié),下部分3節(jié)總?cè)萘?升,上部分4節(jié)總?cè)萘?升,且自下而上每節(jié)容積成等差數(shù)列,問(wèn)自下而上第四節(jié)和第五節(jié)容積各是多少?”按此規(guī)律,自下而上第四節(jié)和第五節(jié)容積之和為()A.4722 B.13166 C.12766 D【解析】選A.依題意,令九節(jié)竹子從下到上的容積構(gòu)成的等差數(shù)列為{an},n∈N*,n≤9,其公差為d,于是得:a1即有3a解得a5=6766,d=7所以自下而上第四節(jié)和第五節(jié)容積之和為a4+a5=2a5d=4722(2)《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作.在《孫子算經(jīng)》中有“物不知數(shù)”問(wèn)題,原文如下:有物不知數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,問(wèn)物幾何?即一個(gè)整數(shù)除以三余二,除以五余三,求這個(gè)整數(shù).設(shè)這個(gè)正整數(shù)為a,當(dāng)a∈[520,1314]時(shí),符合條件的所有a有________個(gè).

【解析】設(shè)a=3m+2=5n+3,m,n∈N,則3m=5n+1,當(dāng)m=5k時(shí),n=3k15,不合題意,同理當(dāng)m=5k+1,5k+3,5k+4時(shí),n均不存在當(dāng)m=5k+2時(shí),n=3k+1,符合題意,其中k∈N.故a=15k+8,k∈N,即a為公差為15的等差數(shù)列,令520≤15k+8≤1314,k∈N,解得35≤k≤87,故符合條件的所有a有53個(gè).答案:53【解題技法】等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的解題策略(1)審清題意,確定是否為等差問(wèn)題,依據(jù)就是相鄰項(xiàng)之間的差是否為同一個(gè)常數(shù);(2)對(duì)于等差問(wèn)題,確定其首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和,把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列基本量