自控原理課件-第2章-自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

第2章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型進而找出改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能的具體方法。自動控制理論在方法上是先把具體的系統(tǒng)抽象成數(shù)學模型，然后以數(shù)學模型為對象，應用控制理論所提供的方法去分析它的性能和研究改進性能的途徑。在這個基礎上，應用所得結論去指導對實際系統(tǒng)的分析和改進。因此，建立數(shù)學模型是分析和研究自動控制系統(tǒng)的基礎。

自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是根據(jù)系統(tǒng)的動態(tài)特性，即通過決定系統(tǒng)特征的物理定律，如機械、電氣、熱力、液壓、氣動等方面的基本定律而寫成的，它代表系統(tǒng)在運動過程中各變量之間的相互關系，既定性又定量地描述了整個系統(tǒng)的動態(tài)過程。經(jīng)典控制理論中常用的數(shù)學模型是動態(tài)微分方程、傳遞函數(shù)和系統(tǒng)方框圖。

2.2.1動態(tài)微分方程

建立數(shù)學模型的目的在于確定輸出量與輸入量之間的函數(shù)關系，而描述系統(tǒng)輸出和輸入之間關系的最直接的數(shù)學方法就是列寫系統(tǒng)的動態(tài)微分方程。微分方程是連續(xù)系統(tǒng)最基本的數(shù)學模型。建立系統(tǒng)微分方程的方法有兩種：一種是機理分析法，這種方法是根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律(如力學、運動學、電磁學、熱學等)來編寫；另一種是實驗辨識法，這種方法是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進行整理編寫。在實際工作中，這兩種方法是相輔相成的。一般來說，對于簡單的環(huán)節(jié)或裝置，應用機理分析法建立微分方程的一般步驟是：

①對系統(tǒng)進行定性分析，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量。

②從輸入量開始，根據(jù)各元件或環(huán)節(jié)所遵循的物理規(guī)律，列寫它們原始的微分方程。

③消去中間變量，求取一個只含有系統(tǒng)輸入量和輸出量的系統(tǒng)微分方程。

多用理論推導；而對于復雜的裝置，往往因涉及的因素較多，而采用實驗辨認法。由于機理分析法是基本的、常用的方法，所以本書主要討論這種方法。下面通過幾個例子進一步說明建立系統(tǒng)微分方程的步驟。[例2．9]列寫圖2．4所示示RLC串聯(lián)電路的微分方程。

解：(1)確定輸入和輸出量。網(wǎng)絡的輸入量為電壓ur(t)，輸出量為電壓uc(t)(2)根據(jù)電路理論，列出原始微分方程。④整理方程成為標準形式，即將與輸入量相關各項放在等號右邊，與輸出量相關各項放

在等號左邊，各導數(shù)項按降冪排列，并將方程中的系數(shù)化成具有一定物理意義的表示形式。2．2．2傳遞函數(shù)建立數(shù)學模型的目的是為了對系統(tǒng)進行性能分析。分析自動控制系統(tǒng)最直接的方法是求解微分方程，求得被控量在動態(tài)過程中的時間函數(shù)，然后根據(jù)時間函數(shù)的曲線對系統(tǒng)性能進行分析。求解的方法有經(jīng)典法、拉氏變換法等。拉氏變換法是求解微分方程的簡便方法，當采用這一方法時。微分方程的求解就成為象函數(shù)的代數(shù)方程和查表求解，使計算大為簡化。更重要的是，采用拉氏變換法能把以線性微分方程描述的數(shù)學模型轉(zhuǎn)換成復數(shù)域中代數(shù)形式的數(shù)學模型——傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的性能，而且可以用來分析系統(tǒng)的結構和參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制理論中應用最廣泛的頻率特性法和根軌跡法就是以傳遞函數(shù)為基礎建立起來的，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本最重要的概念。1．傳遞函數(shù)的定義在零初始條件下，系統(tǒng)的輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比，即（2．41）2．傳遞函數(shù)的性質(zhì)①傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性，只要把系統(tǒng)或元件微分方程中各階導數(shù)用相應階次的復變量s替代，就很容易求得系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。同時，傳遞函數(shù)與微分方程具有一一對應關系，確定的微分方程只有惟一的傳遞函數(shù)和它對應。②傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式，具有復變函數(shù)的所有性質(zhì)。式(2．42)中，m≤n，系數(shù)均為實數(shù)，它們是由組成系統(tǒng)的元件或參數(shù)構成，而傳遞函數(shù)完全取決于其系數(shù)，所以傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身內(nèi)部結構和參數(shù)有關，而與輸入量、擾動量等外部因素無關，它代表了系統(tǒng)的固有特性，是一種用系統(tǒng)參數(shù)來表示輸入輸出之間關系的數(shù)學模型，稱為系統(tǒng)的復數(shù)域模型。③傳遞函數(shù)是一種運算函數(shù)。由傳遞函數(shù)定義式變換可得，C(s)＝R(s)G(s)，此式表明，只要已知一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)，則對任意一個輸入量R(t)，只要用其象函數(shù)R(s)乘以G(S)，就可得輸出量的象函數(shù)C(s)，再經(jīng)拉氏逆變換，即可得輸出量c(t)。2．2．3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)—個系統(tǒng)是由許多環(huán)節(jié)組合而成的，雖然各種環(huán)節(jié)具體結構的作用原理是多種多樣的，但是拋開其具體結構和物理特點，許多環(huán)節(jié)的動態(tài)特性和傳遞函數(shù)是具有共性的?，F(xiàn)按照環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的異同、歸納為幾種典型環(huán)節(jié)。掌握這些典型環(huán)節(jié)的特點，可以更方便地分析復雜系統(tǒng)內(nèi)部各環(huán)節(jié)間的聯(lián)系。這些典型環(huán)節(jié)是：比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)?，F(xiàn)分別介紹如下。1．比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的特點是：輸出量與輸入量之間的關系是一種固定的比例關系，也就是輸出量能無失真、無滯后地按一定比例復現(xiàn)輸入量。在自動控制系統(tǒng)中，若系統(tǒng)中具有兩個不同形式的儲能元件，而兩種元件中的能量又能相互交換，就可能在交換和儲存過程中出現(xiàn)振蕩，形成振蕩環(huán)節(jié)。例如，前面介紹的例2．9中的機械平移系統(tǒng)中含有儲存彈性勢能的彈簧和儲存動能的機械負載，而這兩種能量能相互交換，所以在

時，就會產(chǎn)生振蕩。同樣，例2．11中的RLC串聯(lián)網(wǎng)絡，由于含有儲存磁場能的電感和儲存電場能的電容，而這兩種能量也能相互交換，所以在R＜2時，就會產(chǎn)生振蕩。2．2．4系統(tǒng)結構框圖一個控制系統(tǒng)總是由很多環(huán)節(jié)組合而成的。從信號傳遞的角度去看，可以把一個系統(tǒng)分成若干個環(huán)節(jié)，每一個環(huán)節(jié)都有對應的輸入量、輸出量以及它們的傳遞函數(shù)。為了表明每一個環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的作用和功能，在控制工程中常常采用結構框圖。結構框圖是控制系統(tǒng)數(shù)學模型的圖形表示方法，它可以形象地描述自動控制系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間和各作用量之間的相互聯(lián)系，具有簡明直觀、運算方便的優(yōu)點，是分析控制系統(tǒng)的一種常用方法。結構框圖由信號線、引出點、比較點和功能框組成，它們的形狀如圖2．20所示?，F(xiàn)分別介紹如下。1．信號線信號線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標記信號的象函數(shù)，如圖2．20(a)所示。2．引出點引出點表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同，圖2．20(b)所示。3．比較點

比較點表示多個信號在此處疊加，輸出量等于輸入量的代數(shù)和。因此在信號輸入處要標明信號的極性，如圖2．20(c)所示。4．功能框功能框表示一個相對獨立的環(huán)節(jié)對信號的影響?？蜃筮叺募^處標以輸人量的象函數(shù)，框右邊的箭頭處標以輸出量的象函數(shù)，框內(nèi)為這一單元的傳遞函數(shù)。輸出量等于輸入量與傳遞函數(shù)的乘積，即C(s)＝R(s)G(s)繪制系統(tǒng)結構框圖時，首先對系統(tǒng)進行定性分析，確定系統(tǒng)中含有的獨立環(huán)節(jié)或單元，分別列寫