《6.3.1 平面向量基本定理》講義

《6.3.1平面向量基本定理》講義高中數(shù)學(xué)必修第二冊：平面向量基本定理講義一、知識(shí)引入同學(xué)們，我們之前已經(jīng)學(xué)了不少關(guān)于向量的知識(shí)啦。今天呢，我們要進(jìn)入一個(gè)新的部分，就是平面向量基本定理。想象一下，在一個(gè)平面里面，有好多向量在跑來跑去，就像一群小螞蟻在一個(gè)平面的操場上活動(dòng)一樣。那我們怎么去用一種規(guī)律的方法來描述這些向量呢？這就引出了我們今天的主角——平面向量基本定理。二、知識(shí)講解1、平面向量基本定理的內(nèi)容平面向量基本定理是這樣說的：如果兩個(gè)向量\（＼vec{e_1}＼）、＼（＼vec{e_2}＼）不共線，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量\（＼vec{a}＼），有且只有一對實(shí)數(shù)\（＼lambda_1\）、＼（＼lambda_2\），使得\（＼vec{a}＝＼lambda_1\vec{e_1}＋＼lambda_2\vec{e_2}＼）。這里的\（＼vec{e_1}＼）、＼（＼vec{e_2}＼）就像是兩把特殊的尺子，我們可以用這兩把尺子去測量這個(gè)平面里的任何一個(gè)向量\（＼vec{a}＼）。比如說，＼（＼vec{e_1}＼）就像是橫著的尺子，＼（＼vec{e_2}＼）就像是斜著的尺子，而\（＼lambda_1\）和\（＼lambda_2\）就是用這兩把尺子去量\（＼vec{a}＼）的時(shí)候，各自需要的刻度。重點(diǎn)：這個(gè)定理的重點(diǎn)就是要理解存在唯一的一對實(shí)數(shù)\（＼lambda_1\）、＼（＼lambda_2\）。這就好比每個(gè)人都有自己獨(dú)特的身份證號碼一樣，每一個(gè)向量都能被這一對特殊的實(shí)數(shù)唯一確定。難點(diǎn)：那難點(diǎn)是什么呢？就是怎么去找到這一對實(shí)數(shù)\（＼lambda_1\）、＼（＼lambda_2\）。這就需要我們通過一些計(jì)算和分析啦。2、舉例說明咱們來舉個(gè)例子吧。假如在一個(gè)平面里，有向量\（＼vec{e_1}＝（1,0)＼），＼（＼vec{e_2}＝（0,1)＼），現(xiàn)在有一個(gè)向量\（＼vec{a}＝（3,4)＼）。那我們怎么找到對應(yīng)的\（＼lambda_1\）和\（＼lambda_2\）呢？根據(jù)平面向量基本定理\（＼vec{a}＝＼lambda_1\vec{e_1}＋＼lambda_2\vec{e_2}＼），也就是\（（3,4)＝＼lambda_1(1,0)＋＼lambda_2(0,1)＼）。展開來看呢，就得到\（（3,4)＝（＼lambda_1,0)＋（0,＼lambda_2)＝（＼lambda_1,＼lambda_2)＼）。所以很容易就看出來\（＼lambda_1＝3\），＼（＼lambda_2＝4\）。三、互動(dòng)環(huán)節(jié)現(xiàn)在我來考考大家。我給大家一個(gè)向量\（＼vec{e_1}＝（2,0)＼），＼（＼vec{e_2}＝（0,2)＼），還有一個(gè)向量\（＼vec{a}＝（6,8)＼），大家來試著找一找\（＼lambda_1\）和\（＼lambda_2\）是多少呢？（給學(xué)生一點(diǎn)時(shí)間思考和計(jì)算，然后讓學(xué)生回答）四、鞏固練習(xí)1、已知向量\（＼vec{e_1}＝（1,1)＼），＼（＼vec{e_2}＝（1,－1)＼），向量\（＼vec{a}＝（2,0)＼），求\（＼lambda_1\）和\（＼lambda_2\），使得\（＼vec{a}＝＼lambda_1\vec{e_1}＋＼lambda_2\vec{e_2}＼）。2、若\（＼vec{e_1}＼）、＼（＼vec{e_2}＼）是平面內(nèi)一組基底，＼（＼vec{a}＝3\vec{e_1}－2\vec{e_2}＼），＼（＼vec＝＼lambda\vec{e_1}＋＼vec{e_2}＼），且\（＼vec{a}＼）與\（＼vec＼）共線，求\（＼lambda\）的值。（這里的“＿_(dá)__________”就是讓學(xué)生自己去計(jì)算的地方哦）五、答案1、因?yàn)閈（＼vec{a}＝＼lambda_1\vec{e_1}＋＼lambda_2\vec{e_2}＼），＼（＼vec{e_1}＝（1,1)＼），＼（＼vec{e_2}＝（1,－1)＼），＼（＼vec{a}＝（2,0)＼），所以\（（2,0)＝＼lambda_1(1,1)＋＼lambda_2(1,－1)＝（＼lambda_1+＼lambda_2,＼lambda_1＼lambda_2)＼）。則可得方程組\（＼begin{cases}＼lambda_1+＼lambda_2＝2\＼＼lambda_1＼lambda_2＝0\end{cases}＼），解這個(gè)方程組，兩式相加得\（2\lambda_1＝2\），所以\（＼lambda_1＝1\），把\（＼lambda_1＝1\）代入\（＼lambda_1+＼lambda_2＝2\）得\（＼lambda_2＝1\）。2、因?yàn)閈（＼vec{a}＼）與\（＼vec＼）共線，所以存在實(shí)數(shù)\（k\），使得\（＼vec{a}＝k\vec＼），即\（3\vec{e_1}－2\vec{e_2}＝k(＼lambda\vec{e_1}＋＼vec{e_2}）＝（k\lambda)＼vec{e_1}＋k\vec{e_2}＼）