新高考2025屆高考數(shù)學小題必練11函數(shù)的圖像與性質(zhì)

2024年高考“2024年高考“最終三十天”專題透析好教化云平臺——教化因你我而變．描點法作圖方法步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡函數(shù)的解析式；（3）探討函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值(甚至改變趨勢)；（4）描點連線，畫出函數(shù)的圖象．2．圖象變換（1）平移變換（2）對稱變換①eq\o(―――――→,\s\up7(關(guān)于x軸對稱))；②eq\o(―――――→,\s\up7(關(guān)于y軸對稱))；③eq\o(―――――→,\s\up7(關(guān)于原點對稱))；④(且)eq\o(―――――→,\s\up7(關(guān)于y＝x對稱))(且)．（3）伸縮變換．②eq\o(―――――――――――――――――――→,\s\up11(a>1，縱坐標伸長為原來的a倍，橫坐標不變),\s\do4(0<a<1，縱坐標縮短為原來的a倍，橫坐標不變))．（4）翻折變換①eq\o(―――――――――→,\s\up11(保留x軸上方圖象),\s\do4(將x軸下方圖象翻折上去))．②eq\o(――――――――――→,\s\up11(保留y軸右邊圖象，并作其),\s\do4(關(guān)于y軸對稱的圖象))．1．【2024北京卷理14】設(shè)函數(shù)．①若，則的最大值為__________；②若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】2，【解析】兩個函數(shù)的圖像如圖所示，當時，有圖像可知的最大值為2；當時，沒有最大值；當時，在處取得最大值2．【點睛】畫出圖形，可以通過圖形的改變而得．2．【2024天津卷8】已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數(shù)的圖象上全部點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．其中正確結(jié)論的選項是（）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】AB【解析】①，正確；②，取最大值，錯誤；③依據(jù)圖像左加右減原則，正確．【點睛】對于函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，要會把當做整體，由的相關(guān)性質(zhì)可得．一、單選題．1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得，解得或，由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選A．2．設(shè)函數(shù)則滿意的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由或，∴滿意的的取值范圍是，故選D．3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，且為奇函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴．又為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點對稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，∴，∴，∴，∴函數(shù)的周期4，∴，故選C．4．已知函數(shù)，則的大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)，解除B選項，求導：，∴函數(shù)單調(diào)遞增，故解除C選項，令，則，故解除D，故選A．5．函數(shù)與在同始終角坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A、B兩圖，，而的兩根為0和，且兩根之和為，由圖知，得，沖突；對于C、D兩圖，，在C圖中兩根之和，即沖突，C錯，D正確，故選D．6．函數(shù)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于軸對稱，∴函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，∴．故選C．7．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題將原式化簡得，，∴函數(shù)是奇函數(shù)，故解除選項A；又在區(qū)間時，，故解除選項B；當時，，故解除選項C，故選D．8．已知函數(shù)滿意和，且當時，，則（）A．0 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】函數(shù)滿意和，可函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且關(guān)于對稱，又由當時，，∴，故選C．9．若定義在上的偶函數(shù)，滿意且時，，則方程的實根個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．6個【答案】C【解析】由可得函數(shù)的周期為2，又函數(shù)為偶函數(shù)且當時，，故可作出函數(shù)得圖象，∴方程的解個數(shù)等價于與圖象的交點，由圖象可得它們有4個交點，故方程的解個數(shù)為4．故選C．二、多選題．10．【2024全國1卷文9】已知函數(shù)，則（）A．在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．的圖像關(guān)于點對稱【答案】ABC【解析】利用對數(shù)的運算法則，則，依據(jù)同增異減法則，知A、B正確；留意到函數(shù)的定義域為，利用二次函數(shù)的對稱性，知C正確．11．在實數(shù)集中定義一種運算“”，，，為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對隨意，；（2）對隨意，，．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)的最小值為3；②函數(shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．其中正確說法的選項為（）A．① B．② C．③ D．②③【答案】AB【解析】由于對隨意，，，則由對隨意，，可得，則有，對于①，由于定義域為，則，，當且僅當，即有，取最小值3，故①對；對于②，由于定義域為，關(guān)于原點對稱，且，則為偶函數(shù)，故②對；對于③，，令，則，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，故③錯．三、填空題．12．函數(shù)在區(qū)間上的值域是，則的最小值是________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：∵，∴依據(jù)圖可知，，∴當，，取得最小值為．故答案為．13．【2024浙江卷文11】已知，則，．【答案】，【解析】，，，故答案為，．14．函數(shù)，定義函數(shù)，給出下列命題：①；②函數(shù)是偶函數(shù)；③當時，若，則有成立；④當時，函數(shù)有4個零點．其中正確命題的序號為__________．【答案】②③④【解析】對于①，∵函數(shù)，函數(shù)，∴，∴，故①不正確；對于②，∵，∴函數(shù)是偶函數(shù)，故②正確；對于③，由，得，又，∴，即，∴成立．故③正確