2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十三第三章空間向量與立體幾何2第1課時(shí)從平面向量到空間向量空間向量的線性運(yùn)算含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE二十三從平面對(duì)量到空間向量、空間向量的線性運(yùn)算(15分鐘30分)1．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿意|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則有()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向 D．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向【解析】選D.向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿意|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以C在線段AB之間，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向.2．空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(DB,\s\up6(→)) B．3eq\o(MG,\s\up6(→))C．3eq\o(GM,\s\up6(→)) D．2eq\o(MG,\s\up6(→))【解析】選B.eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋2eq\o(MG,\s\up6(→))＝3eq\o(MG,\s\up6(→)).3．若a與b不共線，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，則()A．m，n，p共線 B．m與p共線C．n與p共線 D．m，n，p共面【解析】選D.由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝eq\f(1,2)m＋eq\f(1,2)n，又m與n不共線，所以m，n，p共面．4．如圖，P為空間中隨意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在△ABC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))－3eq\o(PB,\s\up6(→))＋meq\o(CP,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m＝()A.0B．2C．－2D．1【解析】選C.因?yàn)閑q\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))－3eq\o(PB,\s\up6(→))＋meq\o(CP,\s\up6(→))，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))－3eq\o(PB,\s\up6(→))－meq\o(PC,\s\up6(→)).又動(dòng)點(diǎn)Q在△ABC所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以2－3－m＝1，解得m＝－2.5．如圖，在空間四邊形SABC中，AC，BS為其對(duì)角線，O為△ABC的重心，(1)求證：eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；(2)化簡(jiǎn)：eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(CO,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→)).【解析】(1)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，①eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，②eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，③①＋②＋③得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(2)因?yàn)閑q\o(CO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，所以eq\o(SA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(CO,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→))＝(eq\o(SA,\s\up6(→))－eq\o(SC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))－eq\f(3,2)×eq\f(1,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．設(shè)空間中四點(diǎn)O，A，B，P滿意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，其中0<t<1，則有()A．點(diǎn)P在線段AB上B．點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上C．點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上D．點(diǎn)P不肯定在直線AB上【解析】選A.eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，因?yàn)?<t<1，所以點(diǎn)P在線段AB上．2．在空間平移△ABC到△A′B′C′，連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，設(shè)＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，M是BC′的中點(diǎn)，N是B′C′的中點(diǎn)，如圖所示，用向量a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A.a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b D．eq\f(1,2)a【解析】選D.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a.3．已知空間四邊形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB與AD邊上的點(diǎn)，M，N分別是BC與CD邊上的點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))＝μeq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝μeq\o(CD,\s\up6(→))，則向量eq\o(EF,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))滿意的關(guān)系為()A．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→)) B．eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))C．|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝|eq\o(MN,\s\up6(→))| D．|eq\o(EF,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(MN,\s\up6(→))|【解析】選B.eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－λeq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(DB,\s\up6(→))，即eq\o(FE,\s\up6(→))＝λeq\o(DB,\s\up6(→)).同理eq\o(NM,\s\up6(→))＝μeq\o(DB,\s\up6(→)).因?yàn)棣蘣q\o(DB,\s\up6(→))∥λeq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(FE,\s\up6(→))∥eq\o(NM,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→)).又λ與μ不肯定相等，故|eq\o(MN,\s\up6(→))|不肯定等于|eq\o(EF,\s\up6(→))|.4．對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，則()A．O，A，B，C四點(diǎn)共面B．P，A，B，C四點(diǎn)共面C．O，P，B，C四點(diǎn)共面D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面【解析】選B.由6eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))共面，又它們有公共點(diǎn)P，因此，P，A，B，C四點(diǎn)共面．【誤區(qū)警示】在獲得了一個(gè)向量用另外兩個(gè)不共線向量表示的線性表達(dá)式后，要說(shuō)明四點(diǎn)共面，必需保證這三個(gè)向量有一個(gè)公共點(diǎn)．二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．下列命題中不正確的有()A．若A，B，C，D是空間隨意四點(diǎn)，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件C．若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則AB∥CDD．對(duì)空間隨意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面【解析】選BCD.明顯A正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故B錯(cuò)誤；若eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則直線AB，CD可能重合，故C錯(cuò)誤；只有當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，故D錯(cuò)誤．6．已知空間向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，則下列結(jié)論正確的有()A．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))【解析】選AB.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，故A正確；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故B正確；CD不正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．化簡(jiǎn)：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________.【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋5×\f(2,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2－5×\f(1,2)＋3×2))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3×\f(1,2)＋5×\f(2,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c8．在三棱錐A-BCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝____eq\o(DE,\s\up6(→))，化簡(jiǎn)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))的結(jié)果為________.【解析】如圖，延長(zhǎng)DE交邊BC于點(diǎn)F，則DF為正三角形BCD的中線，E為中心，所以eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，故eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝0.答案：eq\f(3,2)0四、解答題(每小題10分，共20分)9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))－．【解析】(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋＝(如圖).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))－＝＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝＋(＋)＝＋＝(如圖).10．如圖，設(shè)O為平行四邊形ABCD所在平面外隨意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，求x，y的值．【解析】因?yàn)閑q\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝