中考數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)+典型例題+練習(xí)題+中考真題學(xué)生版

中考數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)+典型例題+練習(xí)題+中考真題+答案

知識點(diǎn)復(fù)習(xí)

一、一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義

一般地，如果廣依+/人，。是常數(shù)，原0),那么y叫做x的.一次函數(shù).

特別地，當(dāng)/?=0時(shí)，一次函數(shù))=丘+〃就成為產(chǎn)丘(攵是常數(shù)，原0),這時(shí)y叫做x的正比

例函數(shù).

二、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.一次函數(shù)的圖象

(1)一次函數(shù)產(chǎn)區(qū)+雙原0)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0,份和0〕的一條直線.

(2)正比例函數(shù)尸依(原0)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(1,左)的一條直線.

(3),因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條直線，由兩點(diǎn)確定一條直線可知畫一次函數(shù)圖象時(shí),

只要取兩個(gè)點(diǎn)即可.

2.一次函數(shù)圖象的性質(zhì)

函數(shù)系數(shù)取值大致圖象經(jīng)過的象限函數(shù)性質(zhì)

k>0

y=kx

第一，三象限y隨x增大而增大

（原0）JX

y

k<0第二，四象限y隨x增大而減小

歹

y=kx+b第一，二，三象

k>0,b>0y隨尤增大而增大

（原0）J限

1

第一，三，四象

k>0,b<0

限

第一，二，四象

k<0,b>0

限

y隨x增大而減小

第二，三，四象

k<Q,b<0

限

一次函數(shù)產(chǎn)區(qū)+b的圖象可由正比例函數(shù)產(chǎn)日的圖象平移得到，b>0,上移8個(gè)單位;

〃vo,下移團(tuán)個(gè)單位.

三、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式

因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)產(chǎn)區(qū)+優(yōu)厚0）中有兩個(gè)未知數(shù)攵和江所以，要確定其關(guān)系式，一般需要

兩個(gè)條件，,常見的是已知兩點(diǎn)坐標(biāo)P?，》），/（物”）代入得，求出％，b

［乃=x2k+b

的值即可，這種方法叫做待定系數(shù)法.

四、一次函數(shù)與方程、方程組及不等式的關(guān)系

1.y=kx+b與Ax+A=0

直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程kx+b=0的解，方程kx+b=0的解是直線y=kx

+h與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2.一次函數(shù)與方程組

兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)就是它們的解析式所組成的二元一次方程組的解，以二元

一次方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是兩個(gè)二元一次方程所對應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn).

3.y=kx+b與不等式kx+b>0

從函數(shù)值的角度看，不等式kx+b>0的解集為使函數(shù)值大于零（即日+8>0）的x的取值

范圍；從圖象的角度看，由于一次函數(shù)的圖象在x軸上方時(shí)，y>0,因此奴+b>0的解

集為一次函數(shù)在x軸上方的圖象所對應(yīng)的x的取值范圍.

五、反比例函數(shù)的概念

2

k

一般地，形如產(chǎn)一(左是常數(shù)，厚0)的函數(shù)叫做反比例函數(shù).

x

k

1.反比例函數(shù)尸一中的是一個(gè)分式，所以自變量/0,函數(shù)與X軸、y軸無交點(diǎn).

x

2.反比例函數(shù)解析式可以寫成孫=做際0),它表明在反比例函數(shù)中自變量x與其對應(yīng)函數(shù)值

y之積，總等于已知常數(shù)A.

六、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.圖象

反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.

2.性質(zhì)

(1)當(dāng)Q0時(shí)，雙曲線的兩支分別在第一，三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而

減小；當(dāng)％<0時(shí)，雙曲線的兩支分別在第二，四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，)，隨x的增大

而增大.

【注意】雙曲線的兩支和坐標(biāo)軸無限靠近，但永遠(yuǎn)不能相交.

(2)雙曲線是軸對稱圖形，直線產(chǎn)X或產(chǎn)T是它的對稱軸；雙曲線也是中心對稱圖形，

對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn).

七、二次函數(shù)概念

1.二次函數(shù)的概念

一般地，形如產(chǎn)/+灰+c(a,6,c是常數(shù)，"())的函數(shù)，叫做二次函數(shù).這里需要

強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)”工。，而b,c可以為零.

2.二次函數(shù)產(chǎn)加+法+c的結(jié)構(gòu)特征

(1)等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量X的二次式，X的最高次數(shù)是2.

(2)”，dc是常數(shù)，〃是二次項(xiàng)系數(shù)，。是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

八、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)y=的圖象和性質(zhì)

3

對稱

。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)

軸

x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x

a>0向上(0,0)y軸

的增大而減??；x=0時(shí)，y有最小值0.

x>0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁<0時(shí)，y隨x

a<0向下(0,0)y軸

的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值0.

y=o?的性質(zhì)：。的絕對值越大，拋物線的開口越小.

2.y=ar、c的圖象和性質(zhì)

。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x

a>0向上(0,C)y軸

的增大而減??；x=0時(shí)，y有最小值c.

工〉0時(shí)，y隨x的增大而減??；工<0時(shí)，y隨x

a<0向下(0,c)y軸

的增大而增大；兀=0時(shí)，y有最大值c.

3.y=a(x-/?)2的圖象和性質(zhì)

a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

時(shí)，y隨x的增大而增大；時(shí)，y隨x

a>0向上(h,0)x=h「

的增大而減??；時(shí)，>有最小值0.

〃時(shí)，y隨x的增大而減?。弧〞r(shí)，y隨x

a<0向下3,0)x=h

的增大而增大；x=〃時(shí)，y有最大值0.

4.y=a(x-〃)2+Z的圖象和性質(zhì)

a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

tz>0向上①，k)x=h口寸，y隨犬的增大而增大；XV〃時(shí)，y隨x

4

的增大而減??；x=/?時(shí)，y有最小值k.

口寸，y隨x的增大而減??；/<〃時(shí)，y隨x

4<0向下（〃，k）x=h

的增大而增大；x=6時(shí)，y有最大值攵.

九、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟

方法一:

①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x_〃y+0確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(〃，人);②保持拋物線

>=以2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到(人，氏)處，具體平移方法如下:

1“H玄上(尤>0)［一下W0)】二孽卜個(gè)單位~斗F*川

方法二:

①尸加+fex+c沿y軸平移：向上(下)平移m個(gè)單位，y=ax2+bx+c^.J^y=ax2+bx+c+m

（或y=ax2+bx+c-/n）;②y=?+bx+c沿軸平移：向左（右）平移m個(gè)單位，y=ax1+bx+c

變成y=a(x+in)2+b(x+m)+c(或y=a(x—in)1+b(x-m)+c).

2.平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移,；值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右

減，上加下減”.

十、二次函數(shù)y=a(x-〃y+Z與y=/+〃x+c的比較

從解析式上看，y=a(x-M+攵與"以2+笈+c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可

以得到前者，即…仙如+色產(chǎn)其中〃=一梟％=胃

H^一、二次函數(shù)尸江+反+c圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)+c化為頂點(diǎn)式丁=。。-%)2+2，確定其開口方向、

對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸

5

的交點(diǎn)（0,C）、以及（0,c）關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)（26,c）、與x軸的交點(diǎn)（3，0）,（x2,0）（若與x軸

沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).

十二、二次函數(shù)丫=五+法+c的性質(zhì)

1.當(dāng)”。時(shí),拋物線開口向上,對稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為1白式〕當(dāng)時(shí),

y隨x的增大而減??；當(dāng)x>-2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x=-2時(shí)，y有最小值

2a2a

4ac-ft2

4a,

2.當(dāng)。<0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為絲土心江當(dāng)x<_2時(shí)，

2a（2a4a）2a

y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)戶-2時(shí)，y有最大值邂二々.

2a2a4a

十三、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，;

2.頂點(diǎn)式：y=a{x-h）~+k（a>h,我為常數(shù)，a^O）；

3.兩根式：y=a（x-xl）（x-x2）（a^O,x,,超是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以

寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即從-4〃后0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)

式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

十四、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)。

二次函數(shù)丫=0^+云+。中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a#0.

2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在a確定的前提下，。決.定了拋物線對稱軸的位置.外的符號的判定：對稱軸在y

2a

軸左邊則必>0,在y軸的右側(cè)則岫<0,概括的說就是“左同右異”

3.常數(shù)項(xiàng)c

（1）當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；

（2）當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與），軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;

6

(3)當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).

總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a,。，c都確定，那么這條拋物

線就是唯一確定的.

二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解

析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情

況：

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(小)值，一般選用頂點(diǎn)式；

3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.

十五、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá).

1.關(guān)于x軸對稱

y=加+fer+c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c;

y=+2關(guān)于x軸對稱后，得至U的解析式是y=.

2.關(guān)于y軸對稱

丫=加+法+。關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是丫=/-法+c;

y=+々關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k.

3.關(guān)于原點(diǎn)對稱

丫=/+fer+c關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c;

y=a(x-〃)2+A:關(guān)于原點(diǎn)對.稱后，彳導(dǎo)至U的解析式是丫=一4(犬+/7)2—底

十六、二次函數(shù)與一元二次方程

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況)

一元二次方程0^+辰+。=0是二次函數(shù)、=62+瓜+,當(dāng)函數(shù)值>=0時(shí)的特殊情況.

圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

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（1）當(dāng)-4ac>0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（玉，0）,B（X2,0）（x（^x2）,其中的內(nèi)，9是

一元二次方程底+bx+c=0（"0）的兩根.這兩點(diǎn)間的距離=力=近聲.

（2）當(dāng)△=（）時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).

（3）當(dāng)△<（）時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).

①當(dāng)”>0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有），>0,

②當(dāng)〃<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有y<0.

2.拋物線丫=?2+法+。的圖象與）,軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）.

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)

（1）求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程.

（2）求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式.

（3）根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y=ox2+陵+c中a,b,c的符號，或由二次函數(shù)中a,

b,c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合.

（4）二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，

或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

（5）與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式以2+版+式。/0）本身就是所含字母x

的二次函數(shù)；下面以〃>0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在

聯(lián)系.

/>0拋物線與X軸有兩個(gè)交二次三項(xiàng)式的值可正、可一元二次方程有兩個(gè)不相等

點(diǎn)零、可負(fù)實(shí)根

4=0拋物線與X軸只有一個(gè)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的

交占實(shí)數(shù)根

4<0拋物線與X軸無交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.

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核心考點(diǎn)

一、一次函數(shù)與反比函數(shù)圖象關(guān)系

一次函數(shù)與反比函數(shù)綜合題是廣東省中考的熱點(diǎn)，以解答題形式出現(xiàn)，主要考查待定系

數(shù)法求一次函數(shù)與反比函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)圖象解不等式等.

1、【經(jīng)典示例】將直線y=3x+l向下平移1個(gè)單位長度，得到直線y=3x+,〃，若反比例函數(shù)

y=K的圖象與直線y=3x+w相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是3.

X

(1)求〃?和k的值；

(2)結(jié)合圖象求不等式3x+,w>X的解集.

X

答題模板

第一步，確定函數(shù)圖象上的點(diǎn)：根據(jù)題意確定函數(shù)圖象上已知的點(diǎn).

第二步，求函數(shù)解析式：根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

第三步，確定一次函數(shù)與反比函數(shù)的交點(diǎn)：利用函數(shù)解析式求出兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn).

第四步，觀察圖象：由圖象確定不等式的解集.

【滿分答案】因?yàn)閥=3x+機(jī)是由y=3x+l向下平移1個(gè)單位長度而得，

所以777=0,

因?yàn)辄c(diǎn)A縱坐標(biāo)為3且在y=3x上,

所以A(l,3),

，因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上,

所以k=3.

(2)y=3x+機(jī)與y=月的圖象如圖所示,

X

由圖象可知當(dāng)3x+m>V時(shí)，T<x<0或x>l.

X

【解題技巧】在解一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題時(shí)，首先

要找出函數(shù)圖象上的點(diǎn)，根據(jù)題意確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)

待定系數(shù)法求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，然后求出一次函數(shù)圖

象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，觀察.圖象求出滿足條件的取

值范圍.

2、模擬訓(xùn)練

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如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線尸依+1（b0）與雙曲線y=2（x>0）相交于尸（1,〃力.

X

（1）求人的值；

（2）若點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y=x成軸對稱，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為Q（）；

（3）若過P、。兩點(diǎn)的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N（0,1）,求該拋物線的解析式，并求出拋

物線的對稱軸方程.

二、二次函數(shù)綜合

二次函數(shù)綜合題是廣東省中考每年必考，且均在解答題考查，二次函數(shù)綜合題作為每年

廣東省中招考試的壓軸題，一般是二次函數(shù)、一次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用，綜合性比較

強(qiáng).本專題常見的類型有：線段問題、面積問題、特殊圖形的判定問題，其中在面積問題、

特殊圖形的判定問題中常伴有點(diǎn)的存在性問題.

二次函數(shù)綜合題中的線段問題，常涉及到的類型有：（1）直接求線段的長或用含字母的

代數(shù)式表示線段的長；（2）根據(jù)題中給出的線段關(guān)系求相應(yīng)字母的值；（3）求三角形或四

邊形周長的最值.其中求三角形或四邊形周長的最值，一般要將其轉(zhuǎn)化為求某線段長的最值或

利用兩點(diǎn)之間線段最短來求最值.

二次函數(shù)綜合題的面積問題時(shí)，關(guān)鍵是建立合適的函數(shù)模型，將面積問題和二次函數(shù)的最值

問題相結(jié)合.此類型題考查方式比較靈活，經(jīng)常在三角形、四邊形等幾何圖形中進(jìn)行變換.解

題時(shí)需要在熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想，將面積

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問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系問題.解題技巧一般是過特殊點(diǎn)作X軸或y軸的垂線，將所求面積進(jìn)行

分割，從而將面積問題轉(zhuǎn)化為線段問題，建立未知量和已知變量之間的聯(lián)系，通過二次函數(shù)

的增減性得到相應(yīng)的最值.

特殊圖形的判定問題，常與點(diǎn)的存在性問題相結(jié)合，解決此類問題的關(guān)鍵是要熟練掌握

特殊圖形的判定方法及性質(zhì)，如：對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，等邊三角形的三

邊相等.解決此類問題最常用的方法是假設(shè)法，一般先假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，根據(jù)特殊圖形

的性質(zhì)畫出草圖，確定點(diǎn)的位置，然后根據(jù)題中已知條件和特殊圖形的性質(zhì)及判定方法建立

動點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，最后列方程求解.在畫草圖時(shí)，要做到不重不漏地畫出所有可能的情況，

以免在求解過程中遺漏答案，對所求出的結(jié)果要進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合題意，如果不符合題

意，應(yīng)舍去.

1、【經(jīng)典示例】如圖，二次函數(shù)y=W+6x+c的圖象與x軸交于4、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

OB=OC.點(diǎn)。在函數(shù)圖象上，軸，且CQ=2,直線/是拋物線的對稱軸，E是拋物線

的頂點(diǎn).

(1)求6、c的值；

(2)如圖①，連接此，線段上的點(diǎn)F關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)F"恰好在線段8E上，求點(diǎn)F

的坐標(biāo)；

(3)如圖②，動點(diǎn)P在線段08上，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別與8C交于點(diǎn)與拋物線交

于點(diǎn)N.試問：拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得△PQN與的面積相等，且線段NQ的長

度最小？如果存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由.

入敷模板

第一步，待定系數(shù)法求解析式：根據(jù)己知的點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法列方程組求

解析式.

11

第二步，分析題目條件：根據(jù)題目.條件用含字母的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形的性質(zhì)找

出等量關(guān)系，列出方程.

第三步，求解：解方程，根據(jù)條件進(jìn)行取舍.

第四步，反思：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，對結(jié)果進(jìn)行估算，檢查規(guī)范性.

【滿分答案】(1),??CC〃x軸，CD=2,拋物線對稱軸為直線/：x=l,

?**——=1,h=-2.

2

OB=OC,C(0,c),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-c,0),

0=c2+2c+c,解得c=—3或c=0(舍去)，c=—3.

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,m),：對稱軸為直線/：x=l,

???點(diǎn)F關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,m).

???直線BE經(jīng)過點(diǎn)5(3,0),5(1,-4)，利用待定系數(shù)法可得直線BE的表達(dá)式為v=2r-6,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在班上，...m=2x2-6=-2,即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,-2),

(3))存在點(diǎn)。滿足題意.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(〃,())，

則+PB=PM=3-n,PN=-tr+2n+3,

作QR_L/W,垂足為R,

,SXpQN=SMPM>

/.g("+l)(3-〃)=g"+2"+3)QR,

：.QR=\.

①點(diǎn)0在直線PN的左側(cè)時(shí)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為0-1,n2-4M),R點(diǎn)的坐標(biāo)為(“，N點(diǎn)的坐

標(biāo)為(〃，*_2〃-3),

...在RtZ\QRN中，座=1+(2〃-3「.?.〃=■!時(shí)，NQ取最小值1,此時(shí)。點(diǎn)的坐標(biāo)為胃

②點(diǎn)。在直線PN的右側(cè)時(shí)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為+/-4).同理，=1+(2〃-呼，.?.〃=：時(shí)，

NQ取最小值1,此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，-?)?

綜上所述：滿足題意得點(diǎn)0的坐標(biāo)為仁，制和(|，-野

12

【解題技巧】.解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合，分析函數(shù)圖象上的點(diǎn)特征，根據(jù)點(diǎn)特征代入解析式進(jìn)

行求解，在求二次函數(shù)上點(diǎn)的存在性問題，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖形,性質(zhì)用含字母的式

子表示出所求的點(diǎn)，再代入函數(shù)解析式列出方程進(jìn)行求解.

2、模擬訓(xùn)練

如圖，已知二次函數(shù)產(chǎn)加+法+c（存0）的圖象經(jīng)過A（-1,0）,B（4,0）,C（0,2）

三點(diǎn).（1）求該二次函數(shù)的解析式，（2）點(diǎn)。是該二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且滿足NOBA=

ZCAO（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)。的坐標(biāo)，

基礎(chǔ)練習(xí)

一、一次函數(shù)

1.已知一次函數(shù)y=—x+。的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則。的值可能是（）

A.-2B.-1C.0D.2

13

2.直線y=x—1的圖象經(jīng)過的象限是（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、三、四象限

3.直線1一定經(jīng)過點(diǎn)（）

A.（1,0）B.（1,k）C.（0,左）D.（0,-1）

4.在平面直角坐標(biāo)系中，把直線y=x向左平移一個(gè)單位長度后，其直線解析式為（）

A.y=x+1B.y=x—1C.y=xD.y=x—2

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線y=Ax+b交x軸于點(diǎn)A（—2,0）,交y軸于點(diǎn)8.

若△A08的面積為8,則々的值為（）A.1B.2c.-2或4D.4或一4

6.關(guān)于的一次函數(shù)丁=依+正+1的圖象可能是（）

7.一次函數(shù)了=伏-2）無+人的圖象如圖X3—2—1所示，則攵的取值范圍是（

A.k>2B.k<2C.k>3D.k<3

8.一次函數(shù)y=—2x+3中，y的值隨x值增大而（填“增大”或“減小”）.

9.一次函數(shù)丁=2》-1的圖象經(jīng)過點(diǎn)3,3）,則.

10.國家和地方政府為了提高農(nóng)民種糧的積極性，每畝地每年發(fā)放種糧補(bǔ)貼120元.種糧大

戶老王今年種了150畝地，計(jì)劃明年再承租50-150畝土地種糧以增加收入.考慮各種因素,

預(yù)計(jì)明年每畝種糧成本y（單位：元）與種糧面積M單位：畝）之間的函數(shù)關(guān)系如圖X3—2—2所

?。?/p>

（1）今年老王種糧可獲得補(bǔ)貼多少元？

（2）根據(jù)圖象，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

11.如圖X3—2—3,一次函數(shù)y=（〃z—l）x—3的圖象分別與x軸、y軸的負(fù)半軸相交于A,8,

則機(jī)的取值范圍是（）A.機(jī)>1B.m<\C.m<0D.m>0

14

圖X3-2-3

12.一次函數(shù)y=/nr+|m—l|的圖象過點(diǎn)（0,2）且y隨尤的增大而增大，則機(jī)=（）

A.-1B.3C.1D.—1或3

13.如圖X3—2—4,直線乃=方與>2=-x+3相交于點(diǎn)A,若y<絲，那么（）

A.x>3B.x<2C.x>1D.x<1

14.如圖經(jīng)3—2—5,—次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行且經(jīng)過點(diǎn)A（l,

-2）,則妨=

二、反比例函數(shù)

1.如圖X3—3-1,某反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)則此反比例函數(shù)表達(dá)

式為（）

22cl1

A.>二B.C,尸區(qū)D.尸一愛

2.對反比例函數(shù)y=：,下列結(jié)論中不正確的是（）

A.圖象經(jīng)過點(diǎn)（一1,-1）B.圖象在第一、三象限

C.當(dāng)x>l時(shí),0<><1D.當(dāng)x<0時(shí)，y隨著x的增大而增大

k

3.若反比例函數(shù)y=:與一次函數(shù)y=x+2的圖象沒有交點(diǎn)，則上的值可能是（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知直線曠=以3/0）與雙曲線丁=（（人/0）的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,6）,則它們的另一個(gè)交點(diǎn)坐

標(biāo)是（）

A.(-2,6)B.(-6,-2)C.(-2,-6)D.(6,2)

YYI—1

5.已知反比例函數(shù)的圖象y=［一如圖X3—3—2所示，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍是（）A.m>lB.m>0C.m<lD.m<0

15

6.若雙曲線y=（與直線y=2x+l一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一1,則攵的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

A

11.（如圖X3—3—4,一次函數(shù)）=履+8與反比例函數(shù)y=；（x>0）的圖象交于A（m,6）,B（n,3）

兩點(diǎn).（1）求一次函數(shù)的解析式;

（2）根據(jù)圖象直接寫出，當(dāng)依+匕一個(gè)〉0時(shí)，x的取值范圍.

12.點(diǎn)A（xi，y）,8（x2，>2），C（X3,2）都在反比例函數(shù)>=一1的圖象上，若修42<0<》3，則y，

為，y3的大小關(guān)系是（）

A.）>3<yi<y2B.y\<y2<yiC./<絲勺1D.”勺1勺3

13.如圖X3—3—5,反比例函數(shù)和正比例函數(shù)”=依龍的圖象交于A（—1,-3）,5（1,3）

兩點(diǎn)，若§>左2%，則X的取值范圍是（）

A.-1<x<0B.-1<X<1C.x<—1或0<xVlD.-1<XV0或x>l

16

14.如圖X3—3—6,直線丫=左次+人與雙曲線y=§交于A,B兩點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為1和5,

則不等式的解集是.

15.如圖X3—3—7,點(diǎn)A在雙曲線上，軸于B,且aAOB的面積S^OB=2,則%

16.如圖X3—3—8在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)%=女a(chǎn)+1的圖象與y軸交于點(diǎn)A,

與龍軸交于點(diǎn)8,與反比例”=與的圖象分別交于點(diǎn)M,N,已知△A08的面積為1,點(diǎn)M的

縱坐標(biāo)為2.

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;

(2)直接寫出＞1＞小時(shí)，》取值范圍.

三、二次函數(shù)

17

1.拋物線y=—(x+2)2—3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

2.將拋物線y=3f向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為

()

A.y=3(x+2)’+3B.y=3(x-2)'+3C.y=3(x+2)，—3D.y=3(x—2)'—3

3.已知拋物線尸af+8x+c(aW0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖X3—4—1所示，則下列

結(jié)論中，正確的是()

A.a>0BB.8VoC.c<0D.a+8+c>0

圖X3-4-1

4.二次函數(shù)y=a(x+加”+〃的圖象如圖X3—4—2,則一次函數(shù)尸以的圖象經(jīng)過()

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、三、四象限

5.如圖X3—4—3,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(一2,-1),(1,1)兩點(diǎn)，則下列關(guān)于此二次函數(shù)的

說法正確的是()

A.y的最大值小于0B.當(dāng)x=0時(shí)，y的值大于1

C.當(dāng)x=—1時(shí)，y的值大于1D.

6.二次函數(shù)尸a*+6x+c(aW0)的圖象如圖X3—4—4所示，給出下列結(jié)論：①斤一4ac>0；

②2a+灰0；③4a-26+c=0；④a：6：c=—1：2：3.其中正確的是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

7.已知拋物線y=—Jy+2,當(dāng)時(shí)，y的最大值是()

O

18

257

A.2B.-C.-D."

ooo

8.拋物線y=-3f—x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

9.拋物線y=x—2x—2)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

10.二次函數(shù)尸/一2矛一3的圖象如圖X3—4—5所示.當(dāng)yVO時(shí)，自變

量x的取值范圍是.圖X3-4-5

13

U.已知二次函數(shù)尸一萬三一x十萬.

(1)在如圖X3-4-6的直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)圖象，寫出當(dāng)yVO時(shí)，x的取值范圍；

(3)若將此圖象沿x軸向右平移3個(gè)單位，請寫出平移后圖象所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

X

圖X3-4-6

12.拋物線尸己/+灰-3經(jīng)過點(diǎn)(2,4),則代數(shù)式8a+48+l的值為()

A.3B.9C.15D.-15

13.已知二次函數(shù)尸(4-3)*+2矛+1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則A的取值范圍是()

A.衣4B.4W4C.K4且在W3D.4W4且衣W3

14.如圖X3—4—7所示的二次函數(shù)尸aV+-+c的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條

信息：(l)82—4ac〉0；(2)c>l；(3)2a一伏0；(4)a+6+*0.你認(rèn)為其中錯(cuò)送的有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.1個(gè)

19

15.二次函數(shù)y=a*+6x+c的圖象如圖X3—4—8所示，則反比例函數(shù)y=3與一次函數(shù)y=

X

，x+c在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是(

16.某商場購進(jìn)一種單價(jià)為40元的籃球，如果以單價(jià)50元出售，那么每月可售出500個(gè)，

根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，售價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少10個(gè).

(1)假設(shè)銷售單價(jià)提高x元，那么銷售每個(gè)籃球所獲得的利潤是元；這種籃球每

月的銷售量是個(gè)；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)8000元是否為每月銷售這種籃球的最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請

求出最大利潤，并求出此時(shí)籃球的售價(jià)應(yīng)定為多少元.定價(jià)70元，最大利潤9000元

20

綜合練習(xí)題

1.如圖，一次函數(shù)y=2x-4的圖象與反比例函數(shù)y=4的圖象交于42兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐

X

標(biāo)為3.(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求點(diǎn)8的坐標(biāo).

2.已知反比例函數(shù)的圖象與.一次函數(shù)”=?+匕的圖象交于點(diǎn)A(1,4)和點(diǎn)8(m,-

X

2).(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函

數(shù)的值的x的取值范圍.

3.如圖，直線y=2x+4與反比例函數(shù)>=4的圖象相交于A(-3,和B兩點(diǎn).

X

(1)求％的值；(2)直線、="(〃>())與直線鉆相交于點(diǎn)M,與反比例函數(shù)y=4的圖象

X

相交于點(diǎn)N..若MN=4,求"的值；(3)直接寫出不等式的解集.

x-5

21

4.已知一次函數(shù)產(chǎn)內(nèi)x+匕與反比例函數(shù)產(chǎn)生的圖象交于第一象限內(nèi)的P（：,8）,。（4,

x2

相）兩點(diǎn)，與X軸交于A點(diǎn).（1）分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）寫出點(diǎn)P關(guān)于原

點(diǎn)的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)；（3）求NPA。的正弦值.

5.如圖，一次函數(shù)丫=牛+。（k尸0）與反比例函數(shù)y=4（乃工0）的圖象交于點(diǎn)A（-1,

X

2）,8（〃?，-1）.（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)尸（〃，0）（〃>0）,

使AABP為等腰三角形？若存在，求”的值；若不存在,

22

6.已知拋物線y二丁+笈-3(6是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)4(-1,0).

(1)求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)P(〃z,。為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為戶.

①當(dāng)點(diǎn)戶落在該拋物線上時(shí)，求m的值；

②當(dāng)點(diǎn)戶落在第二象限內(nèi)，P，*取得最小值時(shí)，求，"的值.

23

7.如圖，直線y=-|x+c與x軸交于點(diǎn)4（3,0）,與y軸交于點(diǎn)8,拋物線y=+fer+c經(jīng)過

點(diǎn)A，B.

（1）求點(diǎn)8的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

（2）M（m,0）為x軸上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線A5和拋物線分別

交于點(diǎn)P、N,

①點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動，若以8,P,N為頂點(diǎn)的三角形與AAPM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動，若三個(gè)點(diǎn)M,P,N中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三

點(diǎn)重合除外），則稱M,P,N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請直接寫出使得M,P,N三點(diǎn)成為

“共諧點(diǎn)”的機(jī)的值.

24

廣東中考數(shù)學(xué)真題函數(shù)綜合題分類匯編

Q

(2020年24題)如題24圖，點(diǎn)B是反比例函數(shù)y=9(x>0)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)B分別向

x

V

坐標(biāo)軸作垂線，垂足為A、C.反比例函數(shù)y=±(x>0)的圖象經(jīng)過OB的中點(diǎn)M,與

x

AB、BC分別交于點(diǎn)D、E.連接DE并延長交x軸于點(diǎn)F,點(diǎn)G與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對稱，

連接BF、BG.

(1)填空：k=；

(2)求^BDF的面積；

(3)求證：四邊形BDFG為平行四邊形.

25

3+V3

（2020年25題）如題25圖，拋物線y=x?+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A、B分

6

別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，BO=3AO=3,過點(diǎn)B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為

C、D,BC=V3CD.（1）求b、c的值；（2）求直線BD的直線解析式；（3）點(diǎn)P在拋物

線的對稱軸上且在x軸下方，點(diǎn)Q在射線BA上.當(dāng)△ABD與△BPQ相似時(shí)，請?jiān)碚剬憣?/p>

所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

題25圖

26

"勺圖象相交于48兩

（2019年23題）如圖，一次函數(shù)丁=%押+人的圖象與反比例函數(shù)y

點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,4）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,〃）.

（1）根據(jù)圖象，直接寫出滿足人》+匕＞人的x的取值范圍；

X

（2）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

（3）點(diǎn)尸在線段AB上，且%°P：SM°P=1:2,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

27

（2019年25題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=3了2+空工—速與％軸交于

848

點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)3右側(cè)），點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn).點(diǎn)。在〉'軸的正半軸上，C。交x軸于點(diǎn)

F,AC4。繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ACFE,點(diǎn)A恰好旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)尸，連接8E.

（1）求點(diǎn)A、B、。的坐標(biāo)；

（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形;

（3）如圖2,過頂點(diǎn)。作。2軸于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸,

點(diǎn)M為垂足，使得APAM與AD〃A相似（不含全等）.

①求出一個(gè)滿足以上條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②京軍回管這樣的點(diǎn)P共有幾個(gè)？

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(2018年23題)如圖，己知頂點(diǎn)為C(0,-3)的拋物線y=ax?+b(a/0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，直

線y=x+m過頂點(diǎn)C和點(diǎn)B.

(1)求m的值；

(2)求函數(shù)y=ax2+b(a/))的解析式；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得/MCB=15。？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

若不存在，請說明