蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題12易錯(cuò)易混集訓(xùn)：利用勾股定理求解易錯(cuò)壓軸題四種模型全攻略(原卷版+解析)

專題12易錯(cuò)易混集訓(xùn)：利用勾股定理求解易錯(cuò)壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解】 1【易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解】 3【易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解】 8【易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式】 17【典型例題】【易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023春·湖南湘西·八年級(jí)校聯(lián)考期中）直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南駐馬店·八年級(jí)校考階段練習(xí)）某三角形兩邊的長(zhǎng)為4和5，要使該三角形為直角三角形，則第三邊長(zhǎng)為（）A．3或 B． C．或3 D．不確定2．（2023春·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）若一直角三角形兩邊的長(zhǎng)為12和5，則第三邊的長(zhǎng)為．3．（2022秋·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為，，且滿足，則該直角三角形的第三條邊長(zhǎng)為_(kāi)____．4．如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)”．已知點(diǎn)M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)”，若AM＝3，MN＝4，則BN的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，為邊上的高，，,的面積為12，邊的長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）的高長(zhǎng)為3，且，，則的周長(zhǎng)是___________．2．（2022·北京·101中學(xué)八年級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點(diǎn)P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長(zhǎng)為_(kāi)_________．3．（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)東辰國(guó)際學(xué)校校考期中）在中，是邊上的高，，，，則的面積為_(kāi)_____．4．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)廣州市天河中學(xué)校考期中）如圖，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線BC以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，為直角三角形時(shí)，則的值_______．【易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，等于．

【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為分別為和，那么等腰三角形的周長(zhǎng)為．2．（2023·江西新余·統(tǒng)考一模）在中，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)將沿直線翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上若是等腰三角形，則的長(zhǎng)是．3．（2023春·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一張長(zhǎng)方形紙片，已知，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（），則等腰三角形的底邊長(zhǎng)是．

4．已知：如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)求邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求t的值．5．（2023春·福建寧德·八年級(jí)校聯(lián)考期中）定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三角形”．【理解概念】（1）頂角為的等腰三角形“準(zhǔn)等邊三角形”．（填“是”或“不是”）【鞏固新知】（2）已知是“準(zhǔn)等邊三角形”，其中，．求的度數(shù)．【解決問(wèn)題】（3）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，若是“準(zhǔn)等邊三角形”，求的長(zhǎng)．

【易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式】例題：（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計(jì)）A．20 B．25 C．30 D．40【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖是一個(gè)二級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，在點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去受食，那么它爬行的最短路程是．2．（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣，點(diǎn)E在上，，一滑板愛(ài)好者從U形池內(nèi)側(cè)的點(diǎn)A滑到點(diǎn)E，則他滑行的最短距離約為m．（取3）

3．（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是，在的中點(diǎn)處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從處沿盒子表面爬到處去吃，求小蟲(chóng)爬行的最短路程．

4．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)鄭州市扶輪外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高，點(diǎn)M在上．且．

(1)求線段的長(zhǎng)；(2)一只螞蟻如果耍沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M，需要爬行的最短距離是多少?5．（2022春·貴州黔西·八年級(jí)校考階段練習(xí)）(1)如圖1，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)，那么所用細(xì)線最短需要______；(2)如圖2，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，，假設(shè)昆蟲(chóng)甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)開(kāi)始以的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時(shí)昆蟲(chóng)乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)以相同的速度在盒內(nèi)壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲(chóng)乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能捕捉到昆蟲(chóng)甲？6．（2023秋·海南?？凇ぐ四昙?jí)?？计谀﹩?wèn)題情境：如圖①，一只螞蟻在一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形地毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱平行且等于場(chǎng)地寬，木塊從正面看是一個(gè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形，求一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．

(1)數(shù)學(xué)抽象：將螞蟻爬行過(guò)的木塊的側(cè)面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，請(qǐng)?jiān)趫D②中用虛線補(bǔ)全木塊的側(cè)面展開(kāi)圖，并用實(shí)線連接．(2)線段的長(zhǎng)即螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程，依據(jù)是_________；(3)問(wèn)題解決：求出這只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程．

專題12易錯(cuò)易混集訓(xùn)：利用勾股定理求解易錯(cuò)壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解】 1【易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解】 3【易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解】 8【易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式】 17【典型例題】【易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023春·湖南湘西·八年級(jí)校聯(lián)考期中）直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為．【答案】或5/5或【分析】分4為直角邊和斜邊兩種情況，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)4為直角邊時(shí)，由勾股定理，得：第三邊的長(zhǎng)為；當(dāng)4為斜邊時(shí)，由勾股定理，得：第三邊的長(zhǎng)為；故答案為：或5【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．注意，分類討論．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南駐馬店·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某三角形兩邊的長(zhǎng)為4和5，要使該三角形為直角三角形，則第三邊長(zhǎng)為（）A．3或 B． C．或3 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：當(dāng)5為該直角三角形的斜邊時(shí)，則第三邊長(zhǎng)為；當(dāng)4、5為該直角三角形的兩直角邊時(shí)，則第三邊長(zhǎng)為；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）若一直角三角形兩邊的長(zhǎng)為12和5，則第三邊的長(zhǎng)為．【答案】13或【分析】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長(zhǎng)邊12既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【詳解】解：當(dāng)12和5均為直角邊時(shí)，第三邊；當(dāng)12為斜邊，5為直角邊，則第三邊，故第三邊的長(zhǎng)為13或．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為，，且滿足，則該直角三角形的第三條邊長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】或【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的長(zhǎng)，再分兩種情況根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得，，，解得：，，當(dāng)為直角邊時(shí)，直角三角形的第三條邊長(zhǎng)，當(dāng)為斜邊時(shí)，直角三角形的第三條邊長(zhǎng)，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)”．已知點(diǎn)M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)”，若AM＝3，MN＝4，則BN的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】5或##或【解析】【分析】分兩種情況討論：當(dāng)為直角邊時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，則為直角邊，再利用勾股定理可得答案.【詳解】解：當(dāng)為直角邊時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，則為直角邊，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義情境下的勾股定理的應(yīng)用，理解新定義，再分類討論是解本題的關(guān)鍵.【易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，為邊上的高，，,的面積為12，邊的長(zhǎng)為．【答案】5或/或5【分析】分兩種情況考慮：如圖1所示，此時(shí)為銳角三角形，在直角三角形與直角三角形中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可；如圖2所示，此時(shí)為鈍角三角形，同理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：分兩種情況考慮：∵，，的面積為12，，∴，∴，①當(dāng)在內(nèi)，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：；②當(dāng)在外，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：；故答案為：5或．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）的高長(zhǎng)為3，且，，則的周長(zhǎng)是___________．【答案】或【分析】分情況利用勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，繼而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖1：

，，，所以三角形的周長(zhǎng)；如圖2：

，，，所以三角形的周長(zhǎng)；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論．2．（2022·北京·101中學(xué)八年級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點(diǎn)P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圖形，分類討論，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意作出圖形，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)東辰國(guó)際學(xué)校?？计谥校┰谥?，是邊上的高，，，，則的面積為_(kāi)_____．【答案】30或18/18或30【分析】分兩種情況求解，首先利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式，即可求解．【詳解】解：分兩種情況：（1）如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，是邊上的高，，在中，，在中，，，，（2）如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，是邊上的高，，在中，，在中，，，，故答案為：30或18．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及三角形的面積公式，注意分類討論求得的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)廣州市天河中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線BC以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，為直角三角形時(shí)，則的值_______．【答案】或【分析】當(dāng)為直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)為直角時(shí)，②當(dāng)為直角時(shí)，分別求出此時(shí)的值即可．【詳解】在中，由勾股定理得：，，由題意得：．，①當(dāng)為直角時(shí)，如圖①，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，；②當(dāng)為直角時(shí)，如圖②，．，，在中，，在中，，即，解得，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分類討論，否則會(huì)出現(xiàn)漏解．【易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，等于．

【答案】或或【分析】根據(jù)為等腰三角形進(jìn)行分類討論，分別求出的長(zhǎng)，即可求出t．【詳解】解：在中，，由勾股定理得：（cm），由題意可知共三種情況，如下：①時(shí)，，則，

∴，解得；②當(dāng)時(shí)，，

所以，③當(dāng)時(shí)，即，

所以，綜上所述，當(dāng)t的值為或或；故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分類討論思想，能夠正確地分類是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為分別為和，那么等腰三角形的周長(zhǎng)為．【答案】或/13或11【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為分別為和，∴①邊長(zhǎng)分別為，，，∵，即，能構(gòu)成等腰三角形，∴該等腰三角形的周長(zhǎng)為：；②邊長(zhǎng)分別為，，，∵，即，能構(gòu)成等腰三角形，∴該等腰三角形的周長(zhǎng)為：；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形三邊關(guān)系，掌握構(gòu)成三角形三邊大小關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江西新余·統(tǒng)考一模）在中，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)將沿直線翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上若是等腰三角形，則的長(zhǎng)是．【答案】或或【分析】分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到的值．【詳解】解：，，，，，分三種情況討論：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

，，，，即是等腰三角形，此時(shí)，；如圖所示，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，

，由折疊可得，，，又，是等腰直角三角形，設(shè)，則，中，，解得，舍去，；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

，，即是等腰三角形，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值是或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)是等腰三角形，畫出圖形進(jìn)行分類討論，解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．3．（2023春·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一張長(zhǎng)方形紙片，已知，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（），則等腰三角形的底邊長(zhǎng)是．

【答案】或或5【分析】分情況討論：①當(dāng)時(shí)，則是等腰直角三角形，得出底邊即可；②當(dāng)時(shí)，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等邊即可；③當(dāng)時(shí)，底邊；即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：

①當(dāng)時(shí)，∵，∴是等腰直角三角形，∴底邊；②當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴底邊；③當(dāng)時(shí)，底邊；綜上所述：等腰三角形的底邊長(zhǎng)為或或5；故答案為：或或5．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，進(jìn)行分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．已知：如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．(1)求邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求t的值．【答案】(1)3cm(2)3或(3)5或6或【分析】（1）利用勾股定理即可求出結(jié)論；（2）由題意可得：，，然后根據(jù)直角三角形直角的情況分類討論，利用勾股定理等知識(shí)即可解答；（3）當(dāng)為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)三線合一、勾股定理等知識(shí)即可解答．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴．（2）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，即；當(dāng)時(shí)，如下圖所示：∴．∵，∴，解得：．綜上：當(dāng)為直角三角形時(shí)，或；（3）解：當(dāng)時(shí)，如下圖所示：∵，∴，即．當(dāng)時(shí)，如下圖所示：∴；當(dāng)時(shí)，如下圖所示：則，，在中，，即，解得：．綜上：當(dāng)為軸對(duì)稱圖形時(shí)，或或．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．5．（2023春·福建寧德·八年級(jí)校聯(lián)考期中）定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三角形”．【理解概念】（1）頂角為的等腰三角形“準(zhǔn)等邊三角形”．（填“是”或“不是”）【鞏固新知】（2）已知是“準(zhǔn)等邊三角形”，其中，．求的度數(shù)．【解決問(wèn)題】（3）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，若是“準(zhǔn)等邊三角形”，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）不是（2）的度數(shù)為或（3）的長(zhǎng)為或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得三角形的內(nèi)角，再根據(jù)“準(zhǔn)等邊三角形”即可求解；（2）分兩種情況求解，或，分別求解即可；（3）是“準(zhǔn)等邊三角形”，分兩種情況，或，分別求解即可．【詳解】解：（1）∵等腰三角形的頂角為，∴等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)分別為，，∴頂角為的等腰三角形不是“準(zhǔn)等邊三角形”；（2）∵是“準(zhǔn)等邊三角形”，，，∴分兩種情況：當(dāng)時(shí)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴°，∴；

………．綜上所述：的度數(shù)為或；（3）∵，，，∴，，∵是“準(zhǔn)等邊三角形”，∴分兩種情況：當(dāng)時(shí)，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴；當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，

∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，在中，，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；綜上所述：的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，利用分類討論的思想求解問(wèn)題．【易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式】例題：（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計(jì)）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲為直，利用勾股定理解決．【詳解】解：把玻璃杯的側(cè)面展開(kāi)，如圖，把點(diǎn)A向上平移6cm到點(diǎn)C，連接，過(guò)點(diǎn)B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意把圓柱展開(kāi)，化曲為直是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西上饒·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖是一個(gè)二級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，在點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去受食，那么它爬行的最短路程是．【答案】【分析】將臺(tái)階展開(kāi)，得到一直角邊長(zhǎng)為，另一直角邊為的直角三角形，求其斜邊即可．【詳解】將臺(tái)階展開(kāi)，得到一直角邊長(zhǎng)為，另一直角邊為的直角三角形，所以最短距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開(kāi)圖，勾股定理，熟練掌握展開(kāi)圖，勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣，點(diǎn)E在上，，一滑板愛(ài)好者從U形池內(nèi)側(cè)的點(diǎn)A滑到點(diǎn)E，則他滑行的最短距離約為m．（取3）

【答案】【分析】要求滑行的最短距離，需將該U形池的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出結(jié)論．【詳解】解：U形池的側(cè)面展開(kāi)圖如圖：

由題意，，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題，把U形池的側(cè)面展開(kāi)矩形，化曲面為平面是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是，在的中點(diǎn)處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從處沿盒子表面爬到處去吃，求小蟲(chóng)爬行的最短路程．

【答案】從E處爬到C處的最短路程是．【分析】根據(jù)題意易知可分兩種情況進(jìn)行展開(kāi)，如圖所示，然后根據(jù)勾股定理求出最短路程，最后比較即可．【詳解】解：分兩種情況：①如圖展開(kāi)，連接EC，

在中，，，由勾股定理得：；②如圖展開(kāi)，連接EC，

根據(jù)勾股定理同法可求；故從E處爬到C處的最短路程是．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何圖形的展開(kāi)圖及勾股定理，熟練掌握幾何圖形的展開(kāi)圖及勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)鄭州市扶輪外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高，點(diǎn)M在上．且．

(1)求線段的長(zhǎng)；(2)一只螞蟻如果耍沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)M，需要爬行的最短距離是多少?【答案】(1)(2)螞蟻爬行的最短距離是【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)求出，利用勾股定理即可求解；（2）將立體圖形展開(kāi)成平面圖形,然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段距離最短,利用根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解,根據(jù)立體展開(kāi)成平面圖形情況分類討論進(jìn)行進(jìn)行比較．【詳解】（1）解：，，，線段的長(zhǎng)為．（2）解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第1個(gè)圖

∵長(zhǎng)方體的寬為，高為，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開(kāi)與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如第2個(gè)圖：∴螞蟻爬行的最短距離是．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的拓展應(yīng)用,“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2022春·貴州黔西·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）(1)如圖1，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)，那么所用細(xì)線最短需要______；(2)如圖2，長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，，假設(shè)昆蟲(chóng)甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)開(kāi)始以的速度在盒子的內(nèi)部