2022年人教版八年級上冊數(shù)學(xué)第十四章整式乘法與因式分解同步單元教案及教學(xué)反思

第十四章整式的乘法與因式分解

14.1整式的乘法

14.1.1同底數(shù)幕的乘法

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

在推理判斷中得出同底數(shù)暴乘法的運算法則，并掌握“法則”的應(yīng)用.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索同底數(shù)幕的乘法運算性質(zhì)的過程,感受累的意義,發(fā)展推理能力和表達能力,提高

計算能力.

【情感、態(tài)度與價值觀】

在小組合作交流中，培養(yǎng)協(xié)作精神、探究精神,增強學(xué)習(xí)信心.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

同底數(shù)易乘法運算性質(zhì)的推導(dǎo)和應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

同底數(shù)塞的乘法的法則的應(yīng)用以及逆用.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

“盤古開天辟地”的故事:公元前一百萬年,沒有天沒有地,整個宇宙是混濁的一團,突然間

竄出來一個巨人，他的名字叫盤古，他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成兩半,上面是

天,下面是地,從此宇宙有了天地之分,盤古完成了這樣一個壯舉,累死了，他的左眼變成了太陽,

右眼變成了月亮,毛發(fā)變成了森林和草原,骨頭變成了高山和高原，肌肉變成了平原與谷地，血

液變成了河流.

問題:盤古的左眼變成了太陽，那么，太陽離我們多遠(yuǎn)呢?你可以計算一下，太陽到地球的距

離是多少？光的速度為3X10、千米鄧，太陽光照射到地球大約需要5X10?秒，你能計算出地球

距離太陽大約有多遠(yuǎn)呢？

二、合作探究

探究點1同底數(shù)基的乘法

一典例1計算a??才的正確結(jié)果是（）

A.a5B.a

C.aD.a

232+35

［解析］a-a=a=a.

［答案］A

【技巧點撥】本題是同底數(shù)累的乘法運算，直接利用同底數(shù)幕的乘法運算法則運算即可,注意底

數(shù)不變,指數(shù)相加.

變式訓(xùn)練化簡一8?8的正確結(jié)果是（）

A.-bB.b'

C.TD.I）

［答案］C

探究點2法則的逆用

一典例2已知3"=1,3〃=2,則3""的值為（）

A.1B.2C.3D.27

［解析］V3aX3A=3,H）,

.?.3"+"=3"X3〃=1X2=2.

［答案］B

三、板書設(shè)計

同底數(shù)幕的乘法

同底數(shù)累

，（法則

由才、+同底數(shù)暴的乘法法則［符號表達

（字母氾圍

、幕的乘法法則逆用

?教學(xué)反思?

本節(jié)課應(yīng)注重同底數(shù)幕的乘法法則的推導(dǎo)過程，而不單單是要求記住結(jié)論，在導(dǎo)出的過程

中，從具體到抽象,有層次地進行概括，歸納推理,學(xué)生不是被動地接受,而是在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)

上創(chuàng)新,從而培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新意識.

14.1.2幕的乘方

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

1.理解幕的乘方的運算性質(zhì)，進一步體會和鞏固累的意義；

2.通過推理得出事的乘方的運算性質(zhì)，并且掌握這個性質(zhì).

【過程與方法】

經(jīng)歷一系列探索過程,發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和有條理的表達能力.

【情感、態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學(xué)生合作交流意義和探索精神，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

塞的乘方法則.

【教學(xué)難點】

毒的乘方法則的推導(dǎo)過程及靈活應(yīng)用.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

木星的半徑是地球半徑的IO?倍，太陽的半徑是地球半徑的1(/倍，假如地球的半徑為r,那

么太陽和木星的體積是多少？

二、合作探究

探究點1基的乘方

一典例1計算d3尸=.

［解析］根據(jù)累的運算法則即可求出答案.原式=■?

［答案］a'2

變式訓(xùn)練計算：(一才尸=.

［答案］3

探究點2嘉的乘方逆用

典例2若l(r=5,10"=3,則10*+3.=.

［解析］102w+3n=102"*103n=(1002?(10n)3=52?33=675.

［答案］675

【技巧點撥】注意幕的乘方公式的逆用，a""=(a)'=(aT.

變式訓(xùn)練若a=6,a"=3,則a*的值為.

［答案］54

三、板書設(shè)計

幕的乘方

，(法則

寸由〒分毫的乘方法則|符號表達

暴的乘方《…E廿L

I字母范圍

、幕的乘方逆用

?教學(xué)反思?

本節(jié)的內(nèi)容是幕的乘方,教學(xué)過程中，激發(fā)和鼓勵學(xué)生的學(xué)習(xí)探究;提問不僅有序、有提示、

有鼓勵,而且有啟發(fā)、問在有疑之處.本課的主要教學(xué)任務(wù)是“事的乘方”，即幕的乘方,底數(shù)不

變,指數(shù)相乘.在課堂教學(xué)時,通過累的意義引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)得出這一性質(zhì).

14.1.3積的乘方

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

探索積的乘方的運算性質(zhì)，能用積的乘方的運算性質(zhì)進行計算.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索積的乘方的過程,發(fā)展學(xué)生的推理能力和有條理的表達能力，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能

力.

【情感、態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學(xué)生團結(jié)協(xié)作的精神和探索精神,有助于塑造他們挑戰(zhàn)困難,挑戰(zhàn)生活的勇氣和信心.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

積的乘方的運算.

【教學(xué)難點】

積的乘方的推導(dǎo)過程的理解和靈活運用.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

我們前面學(xué)過同底數(shù)塞的運算法則；哥的乘方運算法則的內(nèi)容，你知道它們的區(qū)別和聯(lián)系

嗎？

請同學(xué)們思考怎樣計算（2才尸,每一步的根據(jù)是什么？

二、合作探究

探究點1積的乘方法則

一典例1計算：（—2江廠=.

［解析］（一24）』（―2）寸（4）』—8Z/.

［答案］-8//

歸納總結(jié)

根據(jù)積的乘方的性質(zhì)把問題轉(zhuǎn)化為幾個塞的乘方,然后再進行運算,用準(zhǔn)法則是解這類問

題的關(guān)鍵.

3

變式訓(xùn)練計算:（一譯"=.

［答案］十6

探究點2公式的逆用

一典例2閱讀下列各式：

(aZ?)2=a2Z?2,(aZ?)3=a3Z?3,(aZ?)4=aZ?4,

①歸納得(a/?)"=;(abc)n=；

②計算41°°X0.25100=;Q)5X35X(|)5:

③應(yīng)用上述結(jié)論計算：(-0.125尸必義？?皿*/、

［解析］①(aA)"=a"c".

②4MXO.25'°°=(4X0.25嚴(yán)=1,

③(一0.125)的x2?姨x4?儂

=-0.125X22X(-0.125X2X4)2020

=-0.5X(7)202。

=-0.5.

探究點3基的運算綜合練習(xí)

\一典例3計算：(-2列)3+5?＞一(一3.2.

［解析］(-2/)3+y?y-(-3/)2

=-8/+/-9/

=-16x.

三、板書設(shè)計

積的乘方

法則

積的乘方法則符號表達

積的乘方?,字母范圍

積的乘方逆用

、累的運算綜合練習(xí)

?教學(xué)反思?

本節(jié)主要是積的乘方,學(xué)生很容易得出計算公式,關(guān)鍵是利用公式進行運算,通過練習(xí)引導(dǎo)

學(xué)生明確先利用法則把運算轉(zhuǎn)化為幾個事的乘方的積,然后計算,通過小組練習(xí)，討論,糾錯得

到正確的解法.

14.1.4整式的乘法

第1課時單項式與單項式相乘

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

會進行單項式乘單項式的運算.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索單項式乘以單項式的過程，體會乘法結(jié)合律的作用和轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展有條理的

思考及語言表達能力.

【情感、態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學(xué)生推理能力、計算能力,通過小組合作與交流,增強協(xié)作精神.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

單項式乘法運算法則的推導(dǎo)與應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

單項式乘法運算法則的推導(dǎo)與應(yīng)用.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

前面我們學(xué)習(xí)了事的運算,我們知道整式有兩種，分別為單項式與多項式,那么整式的乘法

應(yīng)有幾種，哪種最簡單？

二、合作探究

探究點1單項式乘單項式法則

典例1計算（一%）=.

［解析］根據(jù)單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)分別相乘,相同字母的事分別相加,其余字母

連同它的指數(shù)不變,作為積的因式，計算即可=

［答案］一小

變式訓(xùn)練計算（一2X"）3?4XY=.

［答案］-32//

探究點2求代數(shù)式的值

一典例2如果//與2xy”相乘的結(jié)果是"W,求他的值.

［解析］由題意可知Y7X2^/=2Z+I-y""=2xW,

/.77+1=5,4+加=7,

???勿=3,77=4,

mn=12.

探究點3法則應(yīng)用

一典例3計算(9X105)X(2.5X103)=.(用科學(xué)記數(shù)法表示)

［解析］(9X105)X(2.5X103)=9X2.5X105X103=22.5X108=2.25X109.

［答案］2.25X109

探究點4累的運算綜合練習(xí)

典例4計算：(一2燈+(燈尸=.

［解析］(—3//)2,2燈+(xy)i=9xy,2xy+^y^=18//+//.

［答案］187/+//

三、板書設(shè)計

單項式與單項式相乘

單項式乘

單項式乘單項式法則(上法則，士、,

單項式〔符號表達

單項式乘法法則的應(yīng)用

?教學(xué)反思?

本節(jié)是單項式與單項式的乘法,學(xué)生通過面積的計算,或乘方分配律可以得出運算法則;通

過學(xué)生小組練習(xí)、討論、糾錯提高學(xué)生的合作能力，以及在運算中提高學(xué)生的應(yīng)用意識，總結(jié)出

單項式乘單項式的步驟以及易錯點，以引起學(xué)生的注意.

第2課時單項式與多項式相乘

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

掌握單項式與多項式的乘法運算法則，會進行簡單的整式乘法運算.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索單項式與多項式相乘的運算過程，體會乘法分配律的作用和轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展有條

理地思考及語言表達能力.

【情感、態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)良好的探究意識與合作交流的能力,體會整式運算的應(yīng)用價值.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

單項式與多項式相乘的法則.

【教學(xué)難點】

整式乘法法則的推導(dǎo)與應(yīng)用.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

有3家超市以相同價格〃（單位:元/臺）銷售/牌電視機，它們在一年內(nèi)的銷售量（單位：臺）

分別是司匕z,請你采用不同的方法計算它們在這一年內(nèi)銷售這種電視機的總收入.小明的答

案是〃（x+y+z）,小芳的答案是nx+ny+nz,各說各有理，你能給他們評判一下嗎？

二、合作探究

探究點1單項式乘多項式

典例1計算：（x—3y）（-6x）=.

［解析］根據(jù)單項式與多項式相乘,先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加計算即

可.

［答案］-6f+18燈

變式訓(xùn)練計算：（3沙一6春）?//

［解析］原式=x?-2x".

探究點2求未知系數(shù)的值

典例2已知<3(片+*一。)+6(2x?—*—2)=7V+4x+3,求a,6,c的值.

［解析］''a(x+x-c)+6(2*—x—2)=7/+4x+3,

(a+26)x+(a—8)x—(ac+26)=7/+4x+3,

(a+2b=7,

<a—b=\,

1—(ac+2b)—,3,

解得a=5,b=l,c=—l.

歸納總結(jié)

求未知系數(shù)的值,根據(jù)兩個多項式相等時,如a^+bx=c^+dx,則有a=c"=d得到方程

組即可求解,關(guān)鍵是整式的乘法.

探究點3求代數(shù)式的值

典例3已知ag=—2,則一aA(才￡—V+6)=()

A.4B.2C.0D.14

［解析］-ab(M&-a6+6)=—占6+百6—al}=—(aE)'+(aE)°—a6,當(dāng)a/>2=—2時，原式

=-(-2)3+(一2尸一(-2)=8+4+2=14.

［答案］D

【技巧點撥】這類問題先根據(jù)單項式的乘法計算得到多項式,然后把多項式用已知式子表示出

來,整體代入求值,這種整體思想是我們經(jīng)常用到的一種方法.

三、板書設(shè)計

單項式與多項式相乘

單項式乘

，(法則

-H4單項式乘多項式法則?符號表達

多項式〈，.、

(幾何意義

、法則的應(yīng)用

?教學(xué)反思?

本節(jié)的內(nèi)容是單項式乘多項式,法則的得到比較簡單,教學(xué)中，應(yīng)緊扣法則，單項式乘多項

式轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式的問題計算，同學(xué)小組練習(xí)討論理解多項式的每一項,包括它前面的

符號.在實施“情境一一探究”教學(xué)過程中，注重引導(dǎo)學(xué)生在課堂活動過程中感悟知識的生成、

發(fā)展與變化,培養(yǎng)學(xué)生主動探索、敢于實踐、善于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神.

第3課時多項式與多項式相乘

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

理解多項式乘以多項式的運算法則，能夠按多項式乘法步驟進行簡單的乘法運算.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的推理過程,體會數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.

【情感、態(tài)度與價值觀】

通過推理,培養(yǎng)學(xué)生計算能力，發(fā)展有條理的思考,逐步形成主動探索的習(xí)慣.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

多項式與多項式的乘法法則的理解及應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

多項式與多項式的乘法法則的應(yīng)用.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

試著用不同方式計算下圖的面積，探討你能得到什么結(jié)論.

二、合作探究

探究點1多項式乘多項式

＞一典例1計算（2加-3）（加+2）.

［解析］（2勿—3）（勿+2）

=2/X/??+2/義2+（-3）X加+（—3）X2

=2m+47一3/Z7-6

=2m+療-6.

歸納總結(jié)

整式的乘法就是根據(jù)運算法則轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式計算,最后把所得結(jié)果相加,注意有

同類項的要合并同類項，需提醒是的多項式的項包括它前面的符號.注意不要漏項,漏字母,有

同類項的合并同類項.

探究點2求未知系數(shù)的值

一典例2若（x+血（x—8）中不含x的一次項，則力的值為（）

A.8B.-8C.0D.8或一8

［解析］:（x+向（x—8）=V—8x+川x—8勿=/+（加一8）x—8加,又結(jié)果中不含x的一次項，，加

—8=0,."=8.

［答案］A

變式訓(xùn)練若（y+3）（y—2）="+加/+〃,則偏〃的值分別為（）

A.m=5,/7=6B.加=1,A=-6

C.m=1,n=6D.m=5,n=-6

［答案］B

探究點3求代數(shù)式的值

一典例3若代數(shù)式（x+l）2+/（x+l）+〃可以化簡為V+2X—3,則加+〃=.

［解析］（x+1）2+/?7（jr+1）+z?=y+2x+1+mx+n=V+（2+血x+/z?+z?+1,由題意得

（m+2=2,

lm+〃+l=-3,

解得m0,故?+〃=—4.

.Z7=-4,

［答案］-4

探究點4積中不含某項

J—典例4（X?—以x+6）（3x—2）的積中不含x的二次項，則力的值是（）

223

C

-----

33D.2

［解析］（1—加Y+6）（3才-2）=3x'—（2+3勿）x"+（2勿+⑻才一12,?「（x—勿x+6）?（3才-2）的積

中不含X的二次項，...2+3加=0,解得ZZ?=-|.

［答案］C

三、板書設(shè)計

多項式與多項式相乘

多項式乘

r/法則

-Ki多項式乘多項式法則?符號表達

多項式I\,幾，何…意、義

、法則的應(yīng)用:求未知系數(shù)

?教學(xué)反思?

本節(jié)的內(nèi)容是多項式的乘法，針對本節(jié)課學(xué)生的易錯點，如“漏項”、“忘變號”的情況，在

例題后進行強調(diào)，并總結(jié)規(guī)律，讓學(xué)生以后在練習(xí)計算時避免“漏項”“忘變號”的發(fā)生.

第4課時同底數(shù)累的除法

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

1.掌握同底數(shù)幕的除法運算性質(zhì)，并能運用它解決一些實際問題；

2.理解零次器的意義，了解規(guī)定才=1(aWO)的合理性；

【過程與方法】

經(jīng)歷同底數(shù)基的除法運算性質(zhì)的獲得過程，掌握同底數(shù)累的除法運算性質(zhì)，會用同底數(shù)累

的除法運算性質(zhì)進行有關(guān)計算,提高學(xué)生的運算能力，進一步體會事的意義,發(fā)展推理能力，提

高語言表達能力.

【情感、態(tài)度與價值觀】

經(jīng)歷探索同底數(shù)累的除法運算性質(zhì)的過程,體驗通過“轉(zhuǎn)化”構(gòu)建新知識體系，培養(yǎng)學(xué)生大

膽猜想，善于觀察、歸納的數(shù)學(xué)品質(zhì)和創(chuàng)新精神.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

同底數(shù)毒的除法運算.

【教學(xué)難點】

理解零次幕的意義.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

至此，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的加法、減法、乘法運算.在整式運算中，有時還會遇到兩個整

式相除的情況.由于除法是乘法的逆運算,因此我們可以利用整式的乘法來討論整式的除法.

二、合作探究

探究點1同底數(shù)塞的除法

＞一典例1計算(一血|°+(—a”的結(jié)果等于.

［解析］(一/"(一"=(—a)吁』(一"=——.

［答案］—a，

【技巧點撥】先把底數(shù)一a看作一個整體,直接運用同底數(shù)幕的除法法則；也可以將底數(shù)化為a,

再運用同底數(shù)毒的除法法則，即(一a)W(—應(yīng)3=薩+(—，)=——呈

變式訓(xùn)練化簡：(x+y”+(-X一力2+(x+y).

［解析］原式=(x+")5+(*+")2+(x+力=(x+y)5-T=J+y)2.

探究點2零次累

\一典例2計算：(1)2022°+(—3)°—4x(3°;

［解析］原式=1+1—4X1=-2.

三、板書設(shè)計

同底數(shù)事的除法

1,同底數(shù)累的除法法則:底數(shù)不變,指數(shù)相減.即a"+a"=ak〃(aW0).

2.零指數(shù)基:任何一個不等于零的數(shù)的零次易都等于1.即a°=l(aW0).

?教學(xué)反思?

本節(jié)課的學(xué)習(xí)對于學(xué)生來說,無論在知識上，還是在類比學(xué)習(xí)能力和抽象思維能力的培養(yǎng)

上，都起著不容忽視的作用.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能單純依賴模仿與記憶,應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有

知識的背景出發(fā)，提供給學(xué)生進行數(shù)學(xué)活動和探索的機會，使他們在自主探索的過程中真正理

解和掌握數(shù)學(xué)知識.在培養(yǎng)學(xué)生合作與交流的同時,充分調(diào)動學(xué)生的參與意識和學(xué)習(xí)積極性，使

學(xué)生體驗到平等、自由和民主，同時也受到了激勵和鼓舞,從而形成積極的人生態(tài)度.

第5課時整式的除法

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

會進行單項式除以單項式、多項式除以單項式的運算,理解整式除法運算的原理.

【過程與方法】

經(jīng)歷探究整式的除法的運算性質(zhì)的過程,進一步體會事的意義,發(fā)展推理能力和有條理的

表達能力.

【情感、態(tài)度與價值觀】

感受數(shù)學(xué)法則、公式的簡潔美、和諧美.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

整式除法的法則并應(yīng)用其法則計算.

【教學(xué)難點】

理解整式除法的法則及其原理.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

一種數(shù)碼照片的文件大小是2K一個存儲量為26M(1M=2"'K)的移動存儲器能存儲多少張

這樣的數(shù)碼照片？

二、合作探究

探究點1同底數(shù)暴的除法

一典例13"=2,3>=5,貝°.

［解析］原式=嘉=察,當(dāng)3』2,3』5時，原式=||=白

［答案］卷

變式訓(xùn)練若5=3",7=9,則3廣刀的值為.

［答案］|

探究點2單項式除以單項式

典例2計算：(―5劭)=.

［解析］根據(jù)單項式除法法則，系數(shù)和系數(shù),相同的字母分別相除，作為商的一個因式，只在被

除式的字母連同它的指數(shù)作為商的一個因式,即可求出答案.原式=一段。一41=-2沅

［答案］-2〃

2

變式訓(xùn)練叱/+(一；功=.

［答案］16/

探究點3多項式除以單項式

＞一典例3小亮與小明在做游戲，兩人各報一個整式，小明報的被除式是『r—2",商式必

須是2xy,則小亮報一個除式是.

［解析］(xy-2xy)^2xy=^x~y.

［答案］%?—y

三、板書設(shè)計

整式的除法

法則

同底數(shù)累的除法

符號表達

整式的除法(

單項式除以單項式

、多項式除以單項式

?教學(xué)反思?

本節(jié)的內(nèi)容是整式的除法，內(nèi)容較多,分三部分,通過運算要求學(xué)生說出式子每一步變形的

根據(jù),并要求學(xué)生養(yǎng)成檢驗的好習(xí)慣,利用乘除互為逆運算,檢驗商式的正確性.培養(yǎng)學(xué)生耐心

細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)，訓(xùn)練學(xué)生形成一定的計算能力,慢慢培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和主

動參與學(xué)習(xí)的習(xí)慣.

14.2乘法公式

14.2.1平方差公式

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

會推導(dǎo)平方差公式,并且懂得運用平方差公式進行簡單計算.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索特殊形式的多項式乘法的過程，發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力，使學(xué)生逐漸掌握

平方差公式.

【情感、態(tài)度與價值觀】

通過合作學(xué)習(xí)，體會在解決具體問題過程中與他人合作的重要性,體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探

索性和創(chuàng)造性.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

平方差公式的推導(dǎo)和運用，以及對平方差公式的幾何背景的了解.

【教學(xué)難點】

準(zhǔn)確把握運用平方差公式的特征,應(yīng)用平方差公式解題.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

從前有一個狡猾的地主,他把一塊長為*米的正方形土地租給張老漢種植,有一天，他對張

老漢說：“我把這塊地的一邊減少5米,另一邊增加5米,繼續(xù)租給你，你也沒吃虧，你看如何？”

張老漢一聽覺得沒有吃虧,就答應(yīng)了.你能告訴張老漢他吃虧了嗎？

二、合作探究

探究點1平方差公式的特征

一典例1下列多項式乘法中可以用平方差公式計算的是()

A.(—a+Z?)(a—b)B.(x+2)(2+x)

c.G+y)［y~9D.(x-2)(x+1)

［解析］A項,原式=一(a—8)(a—6)=一(a—8)；故A不能用平方差公式;B項,原式=(x+2)；

故B不能用平方差公式;D項,原式=*—x+l,故D不能用平方差公式.

［答案］c

歸納總結(jié)

平方差公式的特征:一是左邊是兩個多項式相乘，這兩個多項式中有一項相同，另一項互為

相反數(shù);二是右邊是相同項與相反項的平方差;三是公式中的字母可以表示具體的數(shù)(正數(shù)和負(fù)

數(shù))，也可以表示單項式或多項式等代數(shù)式.

變式訓(xùn)練計算(2f-3a)(一2系一3切的結(jié)果是()

A.-4/-9a2

B.—+9.a2

C.—4^—12ax+9a2

D.—4/—12ax—9a2

［答案］B

探究點2平方差公式求值整體思想應(yīng)用

>一典例2如果(a—A—3)(a—A+3)=40,那么a—6的值為()

A.49B.7

C.-7D.7或一7

［解析］(a—Z>—3)(a—6+3)=(a—Z?)2—9=40,即(a—6)2=49,則a—b=l或一7.

［答案］D

探究點3平方差公式的計算

\---典例3計算:69X71=.

［解析］原式=(70-1)(70+1)=702-1=4900-1=4899.

［答案］4899

變式訓(xùn)練計算:20212—2020X2022=.

［答案］1

探究點4平方差公式的幾何意義

一典例4如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為8的小正方形，將陰影部分剪開,

拼成右邊的矩形.根據(jù)圖形的變化過程寫出的一個正確的等式是()

b

A.(a-6)2=a—2aZ>+1)

B.a{a-6)=d-ab

C.((a—1>)~=et—6

D.W—6=(a+8)(a—b)

［解析］第一個圖形陰影部分的面積是3一氏第二個圖形的面積是(a+6)(a—6).則a2~b2=

(a+Z?)(a—/)).

［答案］D

三、板書設(shè)計

平方差公式

公式

平方差公式符號表達

公式特點以及變形

平方差公式!

幾何背景

計算、化簡

應(yīng)用

簡化運算

?教學(xué)反思?

本節(jié)的內(nèi)容是平方差公式,主要觀察是否符合公式特點，只有符合公式特點才能用公式直

接求解,利用公式計算.

在實施情境探究教學(xué)過程中,應(yīng)注意讓學(xué)生感知問題的生成、發(fā)展與變化，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)

現(xiàn)的科學(xué)精神以及合作交流的精神和創(chuàng)新意識.

14.2.2完全平方公式

第1課時完全平方公式

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

會推導(dǎo)完全平方公式,并能運用公式進行簡單的運算.

【過程與方法】

經(jīng)歷利用多項式與多項式的乘法以及嘉的意義，推導(dǎo)出完全平方公式的過程.

【情感、態(tài)度與價值觀】

通過練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、發(fā)現(xiàn)的能力，體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

完全平方公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

完全平方公式的應(yīng)用.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

現(xiàn)有如圖所示的三種規(guī)格的硬紙片各若干張,請你根據(jù)二次三項式，+2a6+反選取相應(yīng)

種類和數(shù)量的硬紙片,拼出一個正方形,并探究所拼出的正方形的代數(shù)意義.

aab

二、合作探究

探究點1完全平方公式

一典例1計算(3a—28)2的結(jié)果為()

A.9a②+/B.9才+6a6+4,2

C.9a2一12碗+4力2D.9a,一面

［解析］原式=(3a)2—2X3aX28+(2Z?)2=9a2-12aZ?+4Z?2.

［答案］C

【技巧點撥】解本題的關(guān)鍵是熟練運用完全平方公式,記憶完全平方公式可用口訣“首平方，

尾平方，首位兩倍在中間，中間符號隨前面”.很多同學(xué)遺漏掉中間積的2倍這一項，應(yīng)引起注

屈、.

探究點2簡化運算

s一典例2下列關(guān)于9d的計算方法正確的是()

A.962=(100-4)2=1002-42=9984

B.962=(95+1)(95-1)=952-1=9024

C.962=(90+6)2=902+62=8136

D.962=(100-4)2=1002-2X4X100+42=9216

［解析］962=(100-4)2=1002-2X100X4+42=9216,A項錯誤;96?=(95+1)(95+1)=95?

+2X95X1+1=9216,B項錯誤；99=(90+6)2=902+2X90X6+62=9216,C項錯誤；96?=

(100-4)2=1002-2X100X4+42=9216,D項正確.

［答案］D

歸納總結(jié)

應(yīng)用完全平方公式時，要注意:①公式中的a,b可以是單項式，也可以是多項式;②對形如

兩數(shù)和(或差)的平方的計算，都可以用這個公式;③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后,

也可以用完全平方公式.

探究點3完全平方式

一典例3若4a2-而6+982是完全平方式，則常數(shù)4的值為()

A.6B.12C.±12D.±6

［解析］..Fa?一在a6+9下是完全平方式，二一Aa6=±2X2aX36=±12a6,，A=±12.

［答案］C

變式訓(xùn)練已知*—8x+a可以寫成一個完全平方式，則a可為()

A.4B.8C.16D.-16

［答案］C

探究點4完全平方公式變形應(yīng)用

>一典例4已知a+6=3,aA=—2,求下列各式的值.

(l)a2+A2;

⑵a—b.

［解析］(1)a+b=3,ab=-2,

a2+Z?2=(a+1>)~—2a/>=32—2X(—2)=13.

(2)*.'a+Z>=3,ab=~2,

a-b=±J(a-Z>)2=±+t)1-2ab=±J13-2X(—2)=±V17.

探究點5完全平方公式的幾何背景

>一典例5如圖1是一個長為2a,寬為26(a>8)的長方形，用剪刀沿圖中虛線(對稱軸)剪

開,把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形,然后按圖2那樣拼成一個正方形,則中間空的

部分的面積為()

圖1圖2

A.abB.(a+Z>)2

C.{a—b)1D.a-Z>2

［解析］中間空的部分的面積=大正方形的面積一4個小長方形的面積=(a+6)2—4a8=a2+

2ab+lf—4ab=(a—A)；

［答案］C

三、板書設(shè)計

完全平方公式

完全平

公式

完全平方公式符號表達

公式特點以及變形

方公式<

幾何背景

(計算、化簡

、曳用】簡化運算

?教學(xué)反思?

本節(jié)的內(nèi)容是完全平方公式,在教學(xué)中，重視公式的幾何背景,較直觀地讓學(xué)生理解代數(shù)中

的某些問題.利用拼圖游戲,調(diào)動學(xué)生的積極性,讓學(xué)生關(guān)注幾何與代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,增強

記憶,也可用口訣的形式讓學(xué)生形象記憶，尤其針對學(xué)生易漏掉中間積的2倍這一項做好針對

性的練習(xí).

第2課時添括號法則

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

掌握乘法公式的結(jié)構(gòu)特征及公式的含義，理解添括號法則，會正確地添括號運用這些公式

進行計算.

【過程與方法】

通過探索和理解乘法公式,感受乘法公式從一般到特殊的認(rèn)知過程,拓展思維空間.

【情感、態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)良好的分析思想和與人合作的習(xí)慣,體會數(shù)學(xué)的重要價值.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

正確應(yīng)用乘法公式(平方差公式、完全平方公式).

【教學(xué)難點】

對乘法公式的結(jié)構(gòu)特征以及內(nèi)涵的理解.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

教室里有a名同學(xué),第一次有8名同學(xué)被老師喊到辦公室去了，第二次有c名同學(xué)被老師喊

到辦公室去了，請你用代數(shù)式表示教室里現(xiàn)在有多少名學(xué)生?你能用兩種形式表示嗎？

二、合作探究

探究點1添括號法則

J典例1①5x+3f-4/=5x—();

②—3/?+3<7—1=3q—().

［解析］①5x+34—4/=5x—(4/-3/).②—3/?+3q—l=3q—(3p+l).

［答案］4/-3^;3p+l

歸納總結(jié)

添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號,括到括號里的各項都不變號，如果括號前面

是負(fù)號,括到括號里的各項都改變符號.注意遇負(fù)全變,遇正不變.

探究點2添括號后用公式計算

\一典例2計算：(a—26+l)(a+28—l).

［解析］(a—26+1)(a+26—1)

=［a-(28—l)］［a+(2］-1)］

=a2-(2^-l)2

=a‘一46'+4方一1.

探究點3用完全平方公式計算

一典例3計算：(a+2加—1產(chǎn).

［解析］原式=(a+2aA)2—2(a+2a6)?1+1?

=a2+4a2Z?+4a2Z>2—2a—4a2>+1.

變式訓(xùn)練(a+2b~c)'.

［解析］原式=心+26尸+<?—2c(a+26)

=a2+4aZ?+4Z?2+<?—2ac—48c.

探究點4代數(shù)式求值

一典例4先化簡，再求值：(a+28)(a—26)+(a+28)2+(2a，2—8a262)+2a8,其中a=l,8

=2.

［解析］原式=a‘一4方'+#+4a6+462—4ab+8=24+”

Va=l,b=2,

原式=2a2+6=4.

三、板書設(shè)計

添括號法則

「添括號法則

'平方差公式

添括號《乘法公式

、完全平方公式

I應(yīng)用

?教學(xué)反思?

本節(jié)的內(nèi)容是添括號法則,添括號法則是去括號法則反過來得到的，無論是添括號,還是去

括號,運算前后代數(shù)式的值都保持不變,所以我們可以用去括號法則驗證所添括號后的代數(shù)式

是否正確,添括號能利用乘法公式簡單計算,重在理解遇負(fù)全變,遇正不變的口訣.

14.3因式分解

14.3.1提公因式法

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

1.了解因式分解的意義，以及它與整式乘法的關(guān)系,掌握因式分解的概念；

2.能確定多項式各項的公因式,會用提公因式法把多項式分解因式.

【過程與方法】

經(jīng)歷從分解因數(shù)到分解因式的類比過程,感受因式分解在解決問題中的作用.

【情感、態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考、表達與交流的能力，培養(yǎng)積極的進取意識,體會數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在含

義與價值.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

了解因式分解的意義,掌握用提公因式法把多項式分解因式.

【教學(xué)難點】

整式乘法與因式分解之間的關(guān)系.正確地確定多項式的最大公因式.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

試計算:37X337+63X337.這里用到了什么運算律？

二、合作探究

探究點1因式分解的意義

＞一典例1下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是()

A.(3—x)(3+x)=9—x

B./+2x+l=x(x+l)+1

C.ab+al)=ab{a-\-b)

D.(a—6)(〃一加)=(b—a)(〃一〃)

［解析］(3—x)(3+x)=9-Z是多項式乘法,故A錯誤;*+2x+l=(x+1)；故B錯誤;勤+

,C正確；(H—6)(z?一勿)半(6—a)(〃一勿)，不是因式分解,故D錯誤.

［答案］C

探究點2公因式的概念

＞一典例2多項式15/4+5潴;一20濟？的公因式是（）

A.5nHiB.5序n

C.3nfnD.5加

［解析］多項式15萬審+5序20/〃3中，各項系數(shù)的最大公約數(shù)是5,各項都含有的相同字母是

m,n,字母加的指數(shù)最低是2,字母n的指數(shù)最低是1,所以它的公因式是5/n.

［答案］C

歸納總結(jié)

找公因式的三大要點：（1）公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項

都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的.

探究點3提公因式法因式分解

一典例3將3a2加-6a“+3a分解因式，下面是四位同學(xué)分解的結(jié)果：

①3a加（a—2〃+1）；②3a（a加+2加〃-1）;③3a（a加一2朋）;（4）3a（a/z?—2zz?/?+1）.

其中，正確的是（）

A.①B.②C.③D.④

［解析］提公因式3a后因式分解，即可做出判斷.原式=3a（a加一2“+1）.

［答案］D

三、板書設(shè)計

提公因式法

'因式分解

公因式:可以是單項式、也可以

提公因式法＜

是多項式

、提公因式法

?教學(xué)反思?

本節(jié)的內(nèi)容是因式分解的概念，以及提公因式,學(xué)生剛學(xué)要通過練習(xí)正確理解因式分解與

整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系，進一步討論明確.因式分解不是加、減、乘、除、乘方、開方的運算,

而是一種變形的手段,是一種恒等變形,對于公因式的概念以及確定方法從小組探究、討論找好

確定方法,通過練習(xí)理解掌握.

14.3.2公式法

第1課時運用平方差公式分解因式

?教學(xué)目標(biāo)?

【知識與技能】

靈活運用平方差公式進行因式分解.

【過程與方法】

經(jīng)歷探索利用平方差公式進行因式分解的過程,感受逆向思維的意義.

【情感、態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)良好的推理能力，體會“化歸”與“換元”的思想方法，形成靈活的應(yīng)用能力.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

理解平方差公式因式分解,并學(xué)會應(yīng)用.

【教學(xué)難點】

領(lǐng)會因式分解的解題步驟和分解因式的徹底性.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

計算①25?—242;②352—342;③98?—97?.

看誰算的最快最準(zhǔn),把你的方法給大家分享.

二、合作探究

探究點1平方差公式因式分解

一典例1下列各式中，能運用平方差公式分解的多項式是（）

A.x+yB.l—x

「22n2

C.-x-yD.x-xy

［解析］不能運用平方差公式分解，故A錯誤；1—V能運用平方差公式分解，故B正確;

—V-/不能運用平方差公式分解,故C錯誤;V-xy不能運用平方差公式分解,故D錯誤.

［答案］B

【技巧點撥】平方差公式的特點是能寫成口2—ZV的形式，口、△可以是單項式也可以是多項

式.

變式訓(xùn)練因式分解：（。+02—4^=

［答案］(a+3Z>)(a—Z>)

探究點2先提公因式再用公式

s—典例2把多項式a/—4a/分解因式的結(jié)果是.

［解析］原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.原式=a(*—44)=a(x+2y)?(x-

2”.

［答案］a(x+2y)(x—20

方法總結(jié)

因式分解的步驟是先提公因式法,然后看能否用公式，因式分解要分解到每一部分都不能

再分解為止.

探究點3熟練運用平方差公式

一典例3因式分解:4(葉〃)2—9(加一a),.

［解析］4(加+〃尸一9(加一〃”

=［2(m+n)Y'—［3{m—z?)］2

=［2(加+〃)+3(加-A)］［2(zz?+z?)—3(2?—??)］

=(2/+2〃+3/—3〃)(2/+2〃—3/+3〃)

=(5m—n)(5〃一血.

變式訓(xùn)練因式分解：(0一4)(0+1)+3°.

［解析］(夕―4)(0+1)+3。

=p2—3p—4+3/?

=(p+2)(p—2).

三、板書設(shè)計

運用平方差公式分解因式

運用平方差公式

分八解破因中式平［方先提差公公因式式因再式用分公解式

?教學(xué)反思?

本節(jié)內(nèi)容是用平方差公式因式分解,平方差公式比較簡單，但是變化很多,通過練習(xí)要養(yǎng)成

先提公因式的習(xí)慣,結(jié)果要注意到是否進行到每一個多項式因式