動點的軌跡問題

動點的軌跡問題

根據(jù)動點的運動規(guī)律求出動點的軌跡方程，這是解析幾何的一大課題：一方面求軌跡方

程的實質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過對方程的研究來認(rèn)識曲

線的性質(zhì)；另一方面求軌跡方程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想、方法以及技巧的極好教材。該內(nèi)

容不僅貫穿于“圓錐曲線”的教學(xué)的全過程，而且在建構(gòu)思想、函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想

等方面均有體現(xiàn)和滲透。

軌跡問題是高考中的一個熱點和重點，在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高，特別是當(dāng)今高考

的改革以考查學(xué)生創(chuàng)新意識為突破口，注重考查學(xué)生的邏輯思維能力，運算能力，分析問題和解

決問題的能力，而軌跡方程這一熱點，常涉及函數(shù)、三角、向量、幾何等知識，能很好地反映

學(xué)生在這些能力方面的掌握程度。

求軌跡方程的的基本步驟：建設(shè)現(xiàn)代化（檢驗）

建（坐標(biāo)系）設(shè)（動點坐標(biāo)）現(xiàn)（限制條件，動點、已知點滿足的條件）代（動點、已知點

坐標(biāo)代入）化（化簡整理）檢驗（要注意定義域“挖”與“補”）

求軌跡方程的的基本方法：

1?直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊

的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。

2?定義法：運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)

直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。

3.代入法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P（x,y）卻隨另一動

點Q的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x「y’表示

為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代人法也稱相關(guān)點法。

4.參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間

變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。

5.交軌法：求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用

此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的

一種變種。

6.轉(zhuǎn)移法：如果動點P隨著另一動點Q的運動而運動，且Q點在某一已知曲線上運動，

那么只需將Q點的坐標(biāo)來表示，并代入已知曲線方程，便可得到P點的軌跡方程。

7.幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點運動規(guī)律和動點滿足的條

件，然而得出動點的軌跡方程。

8.待定系數(shù)法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求。

9.點差法：求圓錐曲線中點弦軌跡問題時，常把兩個端點設(shè)為A（xi,yi）,B（X2,y2）并代

入圓錐曲線方程，然而作差求出曲線的軌跡方程。

此部分內(nèi)容主要考查圓錐曲線，圓錐曲線的定義是根本，它是相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的

“源”。對于圓錐曲線的有關(guān)問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的

解題策略。

二、注意事項：

1.求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運動變化中，發(fā)現(xiàn)動點等量關(guān)P的運動規(guī)律，即P點滿足的

系，因此要學(xué)會動中求靜，變中求不變。

2.軌跡方程既可用普通方程F（x,y）0表示，又可用參數(shù)方程x他）（t為參數(shù)）

yg⑴

來表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。

3.求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗其是否符合題意，既要檢驗是否增解，（即以該方程的某些解為坐

標(biāo)的點不在軌跡上），又要檢驗是否丟解。（即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要

舍去，出現(xiàn)丟解，則需補充。檢驗方法：研究運動中的特殊情形或極端情形。

4.求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不——緩述。

【典型例題選講】

」、直接法題型：

2.

圓的方程為

例1已知直角坐標(biāo)系中，點Q（2,0）,CX2V1，動點M到圓C的切線

長與MQ的比等于常數(shù)（0）'求動點M的軌跡。

2

解：設(shè)切圓于則

MNCN,MNMOONo

設(shè)M(x,y)，則x2y2(x2)2y2

化簡得（1)(x2y2)42x(142)0

(1)當(dāng)1時，方程為表示一條直線°

2

1時，方程化為（X孝）2213

)當(dāng)

(221y22表示一個圓°

CD?

說明：求軌跡方程一般只要求出方程即可,求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。

變式-如圖，圓。1與圓。2的半徑都是1,。1。24，過動點P分別作圓。1、圓。2的

切線PMPN（MN分別為切點），使得PMV2PN?試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點P

的軌跡方程.p

解：以。1。2的中點。為原點，。1。2所在的

直線為X軸>建立平面直角坐標(biāo)系，M

則。1（2,0）,。2（2,0）

q

由已知PM.2PN可得：PM22PN2

因為兩圓的半徑均為1,所以PA12（PO21）

設(shè)P(x,y)，則(x2)212[(x2)2y21]>即(x6)2y233

所以所求軌跡方程為：（X6）2y233（^x2y212x30）

評析：

1、用直接法求動點軌跡一般有建系，設(shè)點，列式，化簡，證明五個步驟，最后的證明可以

省略，但要注意“挖”與“補”。

2、求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。

二、定義法題型：運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接

寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。

例2已知A、B、C是直線I上的三點，且|AB|=|BC|=6，O。'切直線I于點A,又過B、C作

00'異于I的兩切線，設(shè)這兩切線交于點P，求點P的軌跡方程?/一^7

【解析】設(shè)過B、C異于I的兩切線分別切00'于DE兩點，兩切線交（

于點P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，I

|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|\

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|-ABCI

故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，以I所在的直線為x

軸，以BC的中點為原點，建立坐標(biāo)系>

22

可求得動點P的軌跡方程為：一一1

8172

練習(xí)：已知圓O的方程為x2+y2=100,點A的坐標(biāo)為（-6，0），M為圓。上任一點，AM的垂直平分

線交OM于點P，求點P的方程。

解：由中垂線知，|PAPM故|PAPOPMPOOM10,即P點的軌跡為

22

以A、O為焦點的橢圓，中心為（-3,0），故P點的方程為（X3）J125

nc16

評析：定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化------轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件

三、代入法題型：

22

例3如圖，從雙曲線x-y=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N。求線段QN的中點

練習(xí)：已知曲線方程f(x,y)=O.分別求此曲線關(guān)于原點，關(guān)于x軸，關(guān)于y軸，關(guān)于直線丫=*,關(guān)于直

線y=-x,關(guān)于直線y=3對稱的曲線方程。

P的軌跡方程。

7木

解：設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y)點Q的坐標(biāo)為(xi,y1)

則N(2x-xi,2y-y1)代入x+y=2得2x-xi+2y-y1=2①

又PQ垂直于直線x+y=2-故----丫11，即x-y+yi-xi=0②

由①②解方程組得Xi號xM卜力

入雙曲線方程即可得P點的軌跡方程是2x-2y-2x+2y-1=0

(f(-x,-y)=O,f(x,-y)=O,f(-x,y)=O,f(y,x)=O,f(-x,-y)=O?f(x,6-y)=0)

四、參數(shù)法與點差法題型：

求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參

數(shù))，使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。

例4經(jīng)過拋物線y2=2p(x+2p)(p>0)的頂點A作互相垂直的兩直線分別交拋物線于BC兩

點，求線段BC的中點M軌跡方程。

解：A(-2p,0),設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2p)(k0).與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得B

點的坐標(biāo)為(甲2P產(chǎn))，由于AC與AB垂直，則AC的方程為y-(X2p)-與拋

kkk

物線方程聯(lián)立方程組可解得C點的坐標(biāo)為(2k2p2p,2kp)，又M為BC中點，設(shè)M(x,y),

xk2p2p

則k，消去k得y2=px,即點M的軌跡是拋物線。

ypkp

k

鞏固與提高：1>在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點0的兩不同動點A

B滿足AOLB0(如圖4所示).求AAOB的重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程；

【解析】

解法一：以0A勺斜率k為參數(shù)由

A(k，k2)??OALOB

1

-'-OBy.由一x蝌B

設(shè)ZAAOB勺重心G(X，y)

消去參數(shù)k得重心G勺軌跡方程為3x2

解法二：&△AOB勺重心為G(x,y),A(xi,yi),B(x2,y2),則

TOALOB???koAkoB1,即X1X2yy1,.......(2)

又點A,B在拋物線上，有yix；,y2xi，代入(2)化簡得xix2

.yiy2122121

-y3§1X2)0X1X2)2X1X2]3(；

所以重心為G的軌跡方程為y3x22。

3

2〉如圖，設(shè)拋物線C:yx2的焦點為F,動點P在直線I:xy20上運動，過P作拋物線C的

兩條切線PAPB,且與拋物線C分別相切于AB兩點.求么APB的重心G的軌跡方程.

【解析】設(shè)切點八B坐標(biāo)分別為仇兇)和(X"Xj)((X】

?切線AP的方程為：2x°xyx：0;

切線BP的方程為：2xiXyx20；

X。Xi

解得P點的坐標(biāo)為：VDYM

X-X-XP

所以△APB的重心G的坐標(biāo)為xGXp

3X-x，XX(X-X-)2X-x.4XP1^

33J

所以yP3yG4XG，由點P在直線I上運動，從而得到重心G的軌跡方

程為：

212

x(3y4x)20,即y(4xx2).

3

評析：

1.用參數(shù)法求軌跡是高考中?？嫉闹匾}型，由于選參靈活，技巧性強，也是學(xué)生較難

掌握的一類問題。

2.選用什么變量為參數(shù)，要看動點隨什么量的變化而變化，常見的參數(shù)有：斜率、截

距、定比、角、點的坐標(biāo)等。

3.要特別注意消參前后保持范圍的等價性。

4.多參問題中，根據(jù)方程的觀點，引入n個參數(shù)，需建立n+1個方程，才能消參（特殊

情況下，能整體處理時，方程個數(shù)可減少）。

五、交軌法與幾何法題型

求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可

以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變

種。

例5拋物線y4PX（P°）的頂點作互相垂直的兩弦如0B求拋物線的頂點0在直線

AB上的射影M的軌跡。（考例5）

解1（交軌法）：點A、B在拋物線y24Px（p。）上，

224

設(shè)A'汁YA），B（電，YB）所以

,YA

由OAA垂直0B*得koAkoB=-1

，得yAyB=-16p2,

2

又AB方程可求得yyAf;x&Yg4p

4p4pK

即（yA+ys）y--4px--yAYB=。，把yAYB=-16p

代人得AB方程（yA+yB）y-4px+16p'=°①又勺方程為y池一X

4P

由①②消去得yA+yB即得x2y24Pxo,即得（X2D）?4P2。

22

所以點M的軌跡方程為（x2p）y4p

，其軌跡是以（2p,o）為圓心，半徑為2P的圓，

除去點（0-0）。

說明：用交軌法求交點的軌跡方程時，不一定非要求出交點坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交

點的兩個坐標(biāo)間的關(guān)系即可。交軌法實際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。

解2（幾何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16P2=0可得AB過定點（4p,0）而

垂直AB,所以由圓的幾法性質(zhì)可知：M點的軌跡是以（2p,0）為圓心，半徑為2p的圓。所以

222

方程為(x2p)y4p-除去點(0，0)。

六、點差法:

2

例6（2oo4年福建，22）如圖，P是拋物線C：yX上-一直線?過點P且與拋物線

2?占

C交于另一點Q。若直線I與過點P的切線垂直，求線段RQ秋M的軌跡方（圖見教

程。材

Pi29頁例2）。點、：

解:設(shè))。），依題意0,

P(xi,yi),Q(X2,y2,M(x0,yXyiQyz

知，

(i)

得y，x,過點P的切線的斜率k切=*1,

i.12i

直線I的斜率ki

x.,直線I的方程為yXi(XX)⑵

Xi2Xi

2

方法一、（利用韋達(dá)定中點坐標(biāo)公式）聯(lián)立（1）消去y得,X

理、（2）Xi

XiX2

M為PQ的中Xi

點，1x,rX)

消去Xi,得y。Xo三l（Xoo）.

2次

'2l(Xo)

PQ中點為M的軌跡方程為

2X

方法?（點差法）由yx',y2

2X2,Xo

2

得.)Xo(XiX2)

Y22Xj2X2)(xx2

則X。'y2ki1,Xi。

XiXpXXc

1

將上式代入（2）并整理，得y。

。一i(xoo).

2xo'

X2xi(xo)

PQ中點為M的軌跡方程為

2x2

說明：本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，以及求軌跡方程的常用方法，本題的關(guān)鍵

是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題。

七、向量法:

Xy2xy

例7、（1995全國理）已知橢圓如圖6,=1,直線L：=1,P是L

2416128

上一點，射線OP交橢圓于點R,又點Q在0P土且滿足|0Q?|OP=|OR2.當(dāng)點P在L上移

動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線

本題解法較多，是一道有難度的多動點軌跡問題，如