13空間向量及其運算的坐標表示（七大題型）（講義）

1.3空間向量及其運算的坐標表示目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 5題型一：空間向量的坐標表示 5題型二：空間向量的直角坐標運算 7題型三：空間向量的共線與共面 10題型四：空間向量模長坐標表示 12題型五：空間向量平行坐標表示 15題型六：空間向量垂直坐標表示 17題型七：空間向量夾角坐標表示 20

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一、空間直角坐標系1、空間直角坐標系從空間某一定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標系，點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸，這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.2、右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.3、空間點的坐標空間一點A的坐標可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點A的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標.知識點二、空間直角坐標系中點的坐標1、空間直角坐標系中點的坐標的求法通過該點，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點，交點在這條軸上的坐標就是已知點相應的一個坐標.特殊點的坐標：原點；軸上的點的坐標分別為；坐標平面上的點的坐標分別為.2、空間直角坐標系中對稱點的坐標在空間直角坐標系中，點，則有點關于原點的對稱點是；點關于橫軸(x軸)的對稱點是；點關于縱軸(y軸)的對稱點是；點關于豎軸(z軸)的對稱點是；點關于坐標平面的對稱點是；點關于坐標平面的對稱點是；點關于坐標平面的對稱點是.知識點三、空間向量的坐標運算（1）空間兩點的距離公式若，則①即:一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。②，或.知識點詮釋：兩點間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標表示，然后再用模長公式推出。（2）空間線段中點坐標空間中有兩點，則線段AB的中點C的坐標為.（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標運算若，則①;②;③;（4）向量數(shù)量積的坐標運算若，則即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應坐標的乘積之和。（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標計算公式若，則(1).(2).知識點詮釋：①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中的范圍是②.③用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關系（相等，互余，互補）。（6）空間向量平行和垂直的條件若，則①②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.【典型例題】題型一：空間向量的坐標表示【典例11】（2024·高二·江蘇南京·期中）已知點，則點坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設，則，所以，解得，所以點坐標為.故選：B.【典例12】（2024·高二·廣東揭陽·階段練習）在空間直角坐標系中，若，，則點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，，設，故，故，解得，故.故選：B【方法技巧與總結】解決這類給定直角坐標系，求相關點的空間坐標時，關鍵是確定這些點在坐標軸的三個不同方向上的分解向量的模．同一幾何圖形中，由于空間直角坐標系建立的不同，從而各點的坐標在不同的坐標系中也不一定相同，但其實質是一樣的．建立空間直角坐標系的關鍵是根據(jù)幾何圖形的特征，盡量先找到三條互相垂直且交于一點的線段，如若找不到，就要想辦法構造．【變式11】（2024·高二·湖北武漢·期中）在空間直角坐標系中，已知點關于原點中心對稱的點為，而點關于軸對稱的點為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】點關于原點中心對稱的點為，則點關于軸對稱的點為，.故選：A【變式12】（2024·高二·四川成都·階段練習）如圖，在長方體中，，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則下列結論中不正確的是（

）A．點關于直線對稱的點為 B．點關于點對稱的點為C．點的坐標為 D．點關于平面對稱的點為【答案】C【解析】由圖可得，則點關于直線對稱的點為，故A正確；由于，所以點關于點對稱的點為，故B正確；點的坐標為，故C不正確；由于點，則點關于平面對稱的點為，故D正確.故選：C.【變式13】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在空間直角坐標系中，若，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，所以，解得：，，．所以點的坐標為．故選：D【變式14】（2024·高二·廣東·期末）如圖，正方體的棱長為2，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，所以，所以.故選：D題型二：空間向量的直角坐標運算【典例21】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在三棱錐中，，平面，，分別是的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則向量的坐標為．

【答案】【解析】如圖可知，，則，又分別是的中點，則是的中位線，故，且，于是.故答案為：【典例22】（2024·高二·新疆昌吉·期中）已知空間向量，則.【答案】【解析】因為，所以．故答案為：【方法技巧與總結】空間向量的加、減、數(shù)乘運算與平面向量的加、減、數(shù)乘運算方法類似，向量的數(shù)量積等于它們對應坐標乘積的和?！咀兪?1】（2024·高二·海南·期中）如圖，在長方體中，，分別為，的中點，是線段上一點，滿足，若，則．【答案】/.【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，設，因為，分別為，的中點，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，，所以，所以，解得，所以，故答案為：【變式22】（2024·高二·廣東茂名·期中）已知，，點P在線段AB上，且，則向量的坐標為.【答案】【解析】因為點P在線段AB上，且，所以，所以，得，因為，，所以，所以，故答案為：題型三：空間向量的共線與共面【典例31】（2024·高二·江西南昌·期中）的三個頂點分別是，，，則邊上的高長為．【答案】5【解析】分析：設，則的坐標，利用，求得，即可得到，即可求解的長度.詳設，則，所以，因為，所以，解得，所以，所以.【典例32】（2024·高三·上海寶山·期末）已知空間向量.若四點共面，則.【答案】【解析】因為四點共面，所以共面，所以存在唯一實數(shù)對，使得，即，所以，所以，所以.故答案為：.【方法技巧與總結】（1）在空間直角坐標系下，兩向量的共線，可利用向量的共線定理，通過列方程組求解.要證三向量共面，即證存在，使得.（2）在空間直角坐標系下，兩向量的共線，三向量的共面問題，均可靈活應用共線，共面的基本定理，利用向量坐標通過方程求解?！咀兪?1】（2024·高二·福建漳州·階段練習）已知空間三點，，共線，則．【答案】【解析】由已知得：.因為三點共線,所以.所以，解得：.所以.故答案為:.【變式32】（2024·高二·黑龍江·開學考試）已知空間向量，若共面，則.【答案】0【解析】因為共面，所以，即，則.故答案為：0.【變式33】（2024·高二·廣東深圳·階段練習）已知向量，，若三向量共面，則實數(shù).【答案】4【解析】由空間向量共面定理不妨設，.故答案為：4.【變式34】（2024·高二·浙江嘉興·階段練習）已知空間四點，，，共面，則【答案】6【解析】依題意，，由空間四點，得共面，則存在，使得，因此，解得，所以.故答案為：6題型四：空間向量模長坐標表示【典例41】（2024·高二·甘肅蘭州·期中）若，，則的取值范圍是（

）A．0,2 B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得,則,,所以，所以.故選:A.【典例42】（2024·高三·全國·專題練習）在空間直角坐標系中，已知點，，點C，D分別在x軸，y軸上，且，那么的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，，且，，∴，，又，∴，即．∵，∴，當且僅當時等號成立.故選：B【方法技巧與總結】若，則.【變式41】（2024·高二·北京·期中）在空間直角坐標系中，已知，，其中，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．4【答案】D【解析】因為，，則，且，其中點可以看作球心在原點，半徑為的球上的點所以表示球上的點到點距離，最大值為球心到點的距離再加球的半徑，即.故選：D【變式42】（2024·高二·貴州·期中）已知空間三點、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，則，，，即，所以以、為鄰邊的平行四邊形的面積為．故選：D.【變式43】（2024·高二·浙江杭州·期中）如圖，在邊長為3的正方體中，，點在底面正方形上移動（包含邊界），且滿足，則線段的長度的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意可以建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，所以，即，所以，而，由二次函數(shù)的單調性可知，當時，，則.故選：B【變式44】（2024·高二·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐中，平面，，點為棱的中點，分別為直線上的動點，則線段的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】三棱錐中，過作平面，由，知，以為原點，直線分別為建立空間直角坐標系，如圖，由平面，得，則，令，則，設，于是，當且僅當時取等號，所以線段的最小值為.故選：B題型五：空間向量平行坐標表示【典例51】（2024·高一·天津紅橋·期末）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】向量，且，所以，解得，故選：B.【典例52】（2024·高二·湖北孝感·期末）已知空間向量，若，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，由，設，即解得：，則有，由此得．故選：B.【方法技巧與總結】若，則【變式51】（2024·高二·河北邢臺·階段練習）在空間直角坐標系中，，若，則x的值為（

）A．4 B． C．4或 D．5【答案】A【解析】由題設，且，則，可得.故選：A【變式52】（2024·高二·江蘇宿遷·期中）已知向量，且，則x的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)可得存在實數(shù)滿足，即，即可得，解得.故選：D【變式53】（2024·高二·江蘇連云港·期中）已知，，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】由，得，解得，所以，故選：A.【變式54】（2024·高二·貴州銅仁·階段練習）已知向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，且，所以存在實數(shù)m，使得，即，所以，解得.故選：B題型六：空間向量垂直坐標表示【典例61】（2024·高二·河北滄州·期末）已知，，若與垂直，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】，∴，解得，故選：A．【典例62】（2024·高二·安徽阜陽·階段練習）已知，，若，則實數(shù)λ的值為（

）A． B．C． D．2【答案】D【解析】由已知可得，.又，所以，即，解得.故選：D.【方法技巧與總結】若，則【變式61】（2024·高二·江蘇常州·期中）已知，，且，則的值為（）A．6 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】因為，所以，解得，故選：C.【變式62】（2024·高二·福建福州·期中）已知長方體中，，若棱上存在點，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖以為坐標原點，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設，,則，，，所以，，因為，所以，所以，即，當時，，所以的取值范圍是，故選：C.【變式63】（2024·高二·吉林長春·期中）如圖，在棱長為1的正方體中，點在上，點在上，則的最小值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則可設，其中，，其中，根據(jù)圖中可知直線和直線為異面直線，若能取到兩異面直線間的距離，則此時距離最小，根據(jù)異面直線公垂線的定義知，，，，，，則，則，，解得，滿足范圍，則此時，則.故選：C.題型七：空間向量夾角坐標表示【典例71】（2024·高二·四川內江·階段練習）已知的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，設，則，則無解，故B錯誤；對于C，，，所以，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.【典例72】（2024·高二·河南開封·期中）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量.故選：A.【方法技巧與總結】若，則(1).(2).【變式71】（2024·高二·山東德州·階段練習）已知空間向量，且，則與的夾角的余