浙江省杭州市周邊重點(diǎn)中學(xué)四校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)10月四校聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷命題人：浦江中學(xué)考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)（填涂）；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系即可得傾斜角．【詳解】因?yàn)樵撝本€的斜率為，所以它的傾斜角為．故選：A．2.若圓錐的表面積為，底面圓的半徑為2，則該圓錐的體積為（）A.433π B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圓錐表面積公式求出圓錐的母線及高，再利用錐體的體積公式計(jì)算即得.【詳解】圓錐底面圓半徑，母線，高，由圓錐的表面積為，得πr2+πrl=12π因此，所以該圓錐的體積V=1故選：C3.設(shè)aR，則“a＝1”是“直線：ax＋2y－1＝0與直線：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】∵當(dāng)a=1時(shí)，直線：x+2y﹣1=0與直線：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當(dāng)兩條直線平行時(shí)，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．4.在四面體中，記，，，若點(diǎn)M、N分別為棱OA、BC的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得：，故選：B.5.直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出兩點(diǎn)坐標(biāo)得到，再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離的范圍，由三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榫€分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，所以，所以，由，可得圓的圓心為，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離為，故到直線的距離的范圍為，則.故選：A.6.已知圓，直線，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別A、B，當(dāng)最小時(shí)，直線AB的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的切線的有關(guān)知識(shí)，判斷出最小時(shí)，直線與直線垂直，結(jié)合圖象求得直線的方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為.依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)P，A，B，C四點(diǎn)共圓，且AB⊥PC，所以，而，當(dāng)直線PC⊥l時(shí)，最小，此時(shí)最小.結(jié)合圖象可知，此時(shí)切點(diǎn)為，所以直線的方程為，即.故選：A7.設(shè)函數(shù)，若，則a的最小值為（）A. B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷在不同區(qū)間的符號(hào)，在結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得為該二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合恒成立列不等式求參數(shù)最值.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，而，，，要使，則二次函數(shù)，在上，在上，所以為該二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，易得，則，且開口向上，所以，只需，故a的最小值為.故選：B8.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，若球的表面積為，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意畫出圖形，設(shè)球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由球O的表面積為29π，可得x2+y2=25，寫出側(cè)面積，再由基本不等式求最值．【詳解】設(shè)球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25．三棱錐ABCD的側(cè)面積：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=由x2+y2≥2xy，得xy≤當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào)，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào)，∴S≤5+=當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào).∴三棱錐ABCD的側(cè)面積的最大值為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．二．多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知圓，直線，則（）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1D.圓C與圓恰有三條公切線【答案】ABD【解析】【分析】求出直線過的定點(diǎn)判斷A；判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷B；求出圓心到直線距離判斷C；判斷圓與圓的位置關(guān)系判斷D.【詳解】對(duì)于A，直線的方程為，由，得，直線過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，，即定點(diǎn)圓內(nèi)，則直線與圓相交且有兩個(gè)交點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，而圓半徑為2，因此只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的方程化為，其圓心，半徑為3，兩圓圓心距為，兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確.故選：ABD.10.定義在R上的偶函數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用特殊值及偶函數(shù)性質(zhì)判斷A；根據(jù)已知條件得、判斷B、C；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，舉反例判斷D.【詳解】由，令，則，又為偶函數(shù)，則，A對(duì)；由上，得①，在①式，將代換，得②，B錯(cuò)；在②式，將代換，得，C對(duì)；由且，即周期為2且關(guān)于對(duì)稱，顯然是滿足題設(shè)的一個(gè)函數(shù)，此時(shí)，D錯(cuò).故選：AC11.球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科．如圖，球的半徑為R，A，B，為球面上三點(diǎn)，劣弧BC的弧長記為，設(shè)表示以為圓心，且過B，C的圓，同理，圓的劣弧的弧長分別記為，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，，則稱其為曲面等邊三角形，線段OA，OB，OC與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若平面是面積為的等邊三角形，則B.若，則C.若，則球面的體積D.若平面為直角三角形，且，則【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于B，利用代入易得；對(duì)于C，先求得三棱錐體積，由球面的體積即得；對(duì)于A，由條件知三邊為，推得排除A，對(duì)于D，由余弦定理和題設(shè)可得，取特殊值即可排除D.【詳解】對(duì)于A，因等邊三角形的面積為，則，又，故則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，故，即B正確；對(duì)于C，由可得，故.由正弦定理，的外接圓半徑為，點(diǎn)到平面ABC的距離，則三棱錐的體積,而球面的體積，故C正確；對(duì)于D，由余弦定理可知由可得，，即，化簡得，．取，則，則，故D錯(cuò)誤．故選：BC三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若圓與圓有且僅有一條公切線，______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系先確定兩圓內(nèi)切，再由圓心距計(jì)算即可.【詳解】由，顯然，又只有一條公切線，所以相內(nèi)切，將點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程知，即在圓外部，所以圓內(nèi)切于圓，則有，解之得.故答案為：13.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)有__________個(gè)，【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的解析式為，畫出與在區(qū)間上的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谳S右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為所以，解得，所以，畫出與在區(qū)間上的圖象，如圖所示，由圖可知曲線與的交點(diǎn)有6個(gè).故答案為：6.14.如圖，在長方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將沿折起，使平面平面，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，為垂足．設(shè)，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，求得關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)的取值范圍結(jié)合求得的取值范圍.【詳解】如圖，在平面ADF內(nèi)過點(diǎn)D作，垂足為，連接．過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．設(shè)，，所以．

設(shè)，則．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，，平面ABD，所以平面ABC，又平面，所以．又因?yàn)?，，，平面DKH，所以平面，所以，即．在中，，，因?yàn)楹投际侵苯侨切?，，所以，．因?yàn)?，，所以，得．因?yàn)?，所以，所以．又，即，?故答案為：四．解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某校為提高學(xué)生對(duì)交通安全的認(rèn)識(shí)，舉辦了相關(guān)知識(shí)競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取份作為樣本，發(fā)現(xiàn)得分均在區(qū)間內(nèi).現(xiàn)將個(gè)樣本數(shù)據(jù)按，40,50，50,60，60,70，，分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請(qǐng)估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（精確到）；（2）學(xué)校決定表彰成績排名前的學(xué)生，學(xué)生甲的成績是，請(qǐng)估計(jì)該學(xué)生能否得到表彰，并說明理由.【答案】（1）樣本數(shù)據(jù)的平均值為，中位數(shù)為；（2）學(xué)生甲不能得到表彰，理由見解析.【解析】【分析】（1）用每組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值乘以該組數(shù)據(jù)的頻率相加求和可得平均值，先估算中位數(shù)的范圍，再列方程求中位數(shù)；（2）估算排名在的成績，和比較，得到結(jié)論.【小問1詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均值為因?yàn)閺淖笾劣业那敖M數(shù)據(jù)的頻率為，從左至右的前組數(shù)據(jù)的頻率為，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，所以，【小問2詳解】成績低于分的頻率為，成績低于分的頻率為，則被表彰的最低成績?yōu)?，所以估?jì)學(xué)生甲不能得到表彰.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)P滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程（2）若直線l過點(diǎn)且與軌跡C相切，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足，再用兩點(diǎn)間距離公式列式化簡作答.（2）討論直線的斜率，設(shè)出直線l的方程，由圓心到直線的距離等于圓的半徑求解作答.【小問1詳解】設(shè)，由，得，化簡得，所以P點(diǎn)的軌跡的方程為.【小問2詳解】由（1）知，軌跡：表示圓心為，半徑為2的圓，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，圓心到直線l的距離為2，與相切；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，于是，解得，因此直線的方程為，即，所以直線l的方程為或.17.已知函數(shù)（且）是定義在上的奇函數(shù)，且；（1）求a，b的值；（2）解不等式．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)和即可聯(lián)立求解，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性即可求解.【小問1詳解】由題意可知：和，故且，故，（舍去）【小問2詳解】，由于函數(shù)均為單調(diào)遞減函數(shù)，故為單調(diào)遞減，故，即，解得，故不等式的解為18.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直，活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線BD和BF上移動(dòng)，且BM和BN的長度保持相等，記．（1）證明：平面BCE；（2）當(dāng)時(shí)，求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知可證明，可得，由線面平行的判定定理得平面BCE；（2）由題意，M，N分別BD和BF的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，余弦定理求，可得平面MNA與平面MNB夾角的余弦值.【小問1詳解】連接，ABCD，ABEF的邊長都是正方形，則有，又，則中，，所以，由，，則四邊形為平行四邊形，有，所以，平面BCE，平面BCE，所以平面BCE.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，M，N分別BD和BF的中點(diǎn)，連接，則，平面平面，平面平面，平面，，則平面，平面，則，，得，，為中點(diǎn)，連接，則，，，中，由余弦定理，，所以平面MNA與平面MNB夾角的余弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，利用余弦定理求解；也可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.（1）若.①求；②若的面積為，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若內(nèi)一點(diǎn)滿足，且平分，試問否存在常實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）①；②（2）存在，【解析】【分析】（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和差的余弦公式化簡即可得解；②在，中，分別利用正弦定理求出，再根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合三角恒等變換化一，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）根據(jù)求出三角形面積的表達(dá)式，再在，，中，分別由余弦定理求出與的關(guān)系，再結(jié)合化簡即可得出結(jié)論.【小問1詳解】①因?yàn)?，且，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所以，，所以，因，所以；②因?yàn)?，所以的?nèi)角均小于，所以點(diǎn)在的內(nèi)部，且，由，