寒假作業(yè)01一元二次方程與實(shí)際運(yùn)用（原卷版）-2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)01一元二次方程與實(shí)際運(yùn)用1.一元二次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為(a、b、c為常數(shù)）的形式，這樣的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是(a、b、c為常數(shù)），其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).3.一元二次方程的根：能使一元二次方程成立的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解（根）.4.一元二次方程的解法：①直接開平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法.因式分解的主要方法：提取公因式法、乘法公式、十字相乘法.5.一元二次方程根的判別式(=b2－4ac)：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.6.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）設(shè)是一元二次方程ax2＋bx+c=0(a≠0)的兩根，則，.注意：對(duì)于而言，當(dāng)滿足且時(shí)，才能用韋達(dá)定理.7.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟=1\*GB3①根據(jù)題意和實(shí)際問題涉及的類型，建立等量關(guān)系式；=2\*GB3②以利于表示等量關(guān)系式為原則，設(shè)未知數(shù)x；=3\*GB3③依據(jù)等量關(guān)系式和未知數(shù)x建立方程；=4\*GB3④解方程并解答.注：一元二次方程通常有兩解，但是，應(yīng)檢驗(yàn)方程的兩個(gè)根是否都符合實(shí)際情況.8.一元二次方程應(yīng)用題常見類型：=1\*GB3①面積問題；=2\*GB3②平均變化率問題；=3\*GB3③銷售利潤(rùn)問題；④傳播問題；⑤循環(huán)問題；⑥數(shù)字問題.1．下列關(guān)于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．52.已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，則代數(shù)式1+6m﹣2m2的值為（）A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣33．下列關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（）A．x2﹣2x+2＝0B．x（x﹣2）＝﹣1C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1D．x2+1＝04．已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是（）A． B． C．3 D．5．如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園（圍墻最長(zhǎng)可利用），現(xiàn)在用長(zhǎng)為的材料砌墻，若設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為，則的長(zhǎng)度為（）A．15m B．10m C．10m或15m D．12.5m6．我國古代數(shù)學(xué)專著《增減算法統(tǒng)宗》中記載“圓中方形”問題，其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外，圓內(nèi)可耕地的面積恰好為72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn)．如果你能求出正方形的邊長(zhǎng)，那么你的計(jì)算水平就是第一了．如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是步，則列出方程正確的是（

）A．B．C．D．7．新型冠狀病毒(COVID19)是一種傳染性極高的病毒，它可以通過飛沫、接觸，甚至是有病毒株的污染源傳播．在M市人群密集區(qū)因缺乏必要的預(yù)防措施，某新冠肺炎零號(hào)病人一天能傳染人，如果統(tǒng)計(jì)得到兩天內(nèi)共有225人因此患病，求平均每天一人傳染了人．列出方程為（）A．B．C．D．8．已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式______．9．解下列一元二次方程：（1）；（2）；（3）；（4）.10.已知關(guān)于x的一元二次方程x25x+m=0．（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且滿足3x12x2=5，求實(shí)數(shù)m的值．11．參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜局g都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會(huì)？設(shè)共有x家公司參加商品交易會(huì)．（1）用含x的代數(shù)式表示：每家公司與其他家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同和乙公司與甲公司簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了份合同；（2）列出方程并完成本題解答．12．設(shè)方程有兩個(gè)根和，且，那么方程的較小根的范圍為A． B． C． D．13．已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（1）直接寫出m的取值范圍；（2）若，滿足，求m的值；（3）若，求證：.14．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是這個(gè)方程的一個(gè)根，求k的值和它的另一個(gè)根；（2）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（3）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．15．閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項(xiàng)式x2+bx+c變形為（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2?x?4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）填空：將多項(xiàng)式x2﹣2x+3變形為（x+m）2+n的形式，并判斷x2﹣2x+3與0的大小關(guān)系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣）2+，∴x2﹣2x+30（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）將多項(xiàng)式x2+6x﹣9變形為（x+m）2+n的形式，并求出多項(xiàng)式的最小值；（3）求證：x、y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣4x+2y+6的值總為正數(shù)．16．某超市經(jīng)營一款新電動(dòng)玩具，其進(jìn)貨單價(jià)是15元．在1個(gè)月的試銷階段，售價(jià)是20元，銷售量是200件．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)若每再漲1元，1個(gè)月就會(huì)少售出5件．（1）若超市在1個(gè)月獲得了2250元銷售利潤(rùn)，求這款玩具的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，顧客更容易接受？（2）若玩具生產(chǎn)廠家規(guī)定銷售單價(jià)不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的銷售任務(wù)，設(shè)銷售單價(jià)為y（y為正整數(shù)）元，求該超市銷售這款玩具有哪幾種方案？哪一種方案利潤(rùn)最高？17．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，書中有一個(gè)關(guān)于門和竹竿的問題，簡(jiǎn)譯為：今有一扇門，不知門的高和寬．另有一竹竿，也不知竹竿的長(zhǎng)短．竹竿橫著放時(shí)比門的寬長(zhǎng)4尺，竹竿豎著放時(shí)比門的高長(zhǎng)2尺，竹竿斜著放時(shí)與門的對(duì)角線恰好相等，求門的對(duì)角線長(zhǎng)．若設(shè)門的對(duì)角線長(zhǎng)為尺，則可列方程為()A．B．C．D．18．定義：如果一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的比值與另一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的比值相等，我們稱這兩個(gè)方程為“相似方程”，例如，（x﹣3）（x﹣6）＝0的實(shí)數(shù)根是3或6，x2﹣3x+2＝0的實(shí)數(shù)根是1或2，3：6＝1：2，則一元二次方程（x﹣3）（x﹣6）＝0與x2﹣3x+2＝0為相似方程．下列各組方程不是相似方程的是（）A．x2﹣16＝0與x2＝25 B．（x﹣6）2＝0與x2+4x+4＝0 C．x2﹣7x＝0與x2+x﹣6＝0 D．（x+2）（x+8）＝0與x2﹣5x+4＝019．在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想，比如，將化成分?jǐn)?shù)，設(shè)，則有，，解得，類比上述方法及思想，則．20．關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)時(shí)，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長(zhǎng)的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計(jì)，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實(shí)數(shù)a，b滿足：，且，求ab的值；（3）已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)p，q滿足：，求的值．21．（2023年浙江湖州中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了萬輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長(zhǎng)率為x，那么可列出方程是（

）A．B．C．D．22．（2023年山東濟(jì)南中考真題）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的值可以是（寫出一個(gè)即可）．23．（202