浙江省杭州市周邊重點中學四校2024-2025學年高一上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題

2024學年第一學期高一年級10月四校聯(lián)考數(shù)學學科試題卷命題人：浦江中學徐德榮校對人：浦江中學于杭君考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場?座位號及準考證號（填涂）；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的定義求出，結合交集與補集運算即可求解.【詳解】因為，所以，則，故選：D2.如圖，已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合的子集個數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】先求出圖中陰影部分表示的集合，再利用集合的子集個數(shù)公式即可得解.【詳解】由題意得，故圖中陰影部分表示的集合為，所以圖中陰影部分表示的集合的子集個數(shù)為個.故選：D.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)由能不能推出及由能不能推出即可得答案.【詳解】解：由，可得或；由可得且，所以由不能推出，但由能推出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.已知，那么的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性質比較大小即可.【詳解】由可得，所以.故選：A5.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定即可得解.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：B.6.若命題“，”為真命題，則實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是（）A. B.0 C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】分析可知，根據(jù)存在性問題結合配方法分析求解.【詳解】因為，即，又因為，當且僅當時，等號成立，若，，即，所以實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是.故選：A.7.已知關于不等式的解集為，則（）A.B.點在第二象限C.的最大值為D.關于不等式的解集為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式不等式與整式不等式的轉化，結合解的性質可得和分別是和的實數(shù)根，即可得，，進而可求解AB，利用二次函數(shù)的性質即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判斷D.【詳解】原不等式等價于，因為解集為,所以和分別是和的實數(shù)根，故且，，故A錯誤；因為，，所以點在第三象限，故B錯誤；，由于開口向下，故最大值為，故C錯誤，由得即解集為，故D正確．故選：D．8.若數(shù)集具有性質：對任意的與中至少有一個屬于A，則稱集合A為“權集”，則（）A.“權集”中一定有1 B.為“權集”C.為“權集” D.為“權集”【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的新定義，驗證選項B,C,D，集合“權集”中不一定有1，判定A錯誤.【詳解】因為，，都屬于數(shù)集,是“權集”，所以“權集”中不一定有1，所以A錯誤；因為都屬于數(shù)集，為“權集”，所以B正確；因為與均不屬于數(shù)集，不為“權集”，所以C錯誤；因為與均不屬于數(shù)集，不為“權集”，所以D錯誤；故選：B二?多選題：本題3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分．9.中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經》下卷有題：“今有物，不知其數(shù)．三三數(shù)之，剩二．五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二．問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知，，若，則下列選項中符合題意的整數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】直接將各選項的數(shù)字變形判斷即可.【詳解】對A，，滿足的描述，所以，符合；對B，，不滿足的描述，則，不符合；對C，，滿足的描述，，符合；對D，，不滿足的描述，則，不符合.故選：AC10.根據(jù)不等式的有關知識，下列日常生活中的說法正確的是（）A.自來水管的橫截面制成圓形而不是正方形，原因是：圓的面積大于與它具有相同周長的正方形的面積.B.購買同一種物品，可以用兩種不同的策略.第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.用第一種方式購買比較經濟.C.某工廠第一年的產量為，第二年的增長率為，第三年的增長率為，則這兩年的平均增長率等于.D.金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店內購買20g黃金，店員先將10g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．記顧客實際購得的黃金為，則.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意利用不等式的性質以及作差法、基本不等式逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：設周長為，則圓的面積為，正方形的面積為，因為，可得，即，故A正確；對于選項B：按第一種策略購物，設第一次購物時的價格為元/kg，購，第二次購物時的價格為元/kg，購，兩次購物的平均價格為；若按第二種策略購物，第一次花m元錢，能購物品，第二次仍花m元錢，能購物品，兩次購物的平均價格為.比較兩次購的平均價格：，當且僅當時，等號成立，所以第一種策略的平均價格不低于第二種策略的平均價格，因而用第二種策略比較經濟，故B錯誤；對于選項C：設這兩年的平均增長率為，則，可得，因為，即，當且僅當，即時，等號成立，即這兩年的平均增長率不大于，故C錯誤；對于選項D：設天平左臂長為，右臂長為，且，左盤放的黃金為克，右盤放的黃金為克，，解得，，當且僅當時，取到等號，由于，所以，故D正確；故選：AD.11.若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A.有最大值為 B.有最小值為C.有最小值為 D.有最大值為【答案】ABC【解析】【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的條件即可求解D.【詳解】對于A：因為，則，當且僅當，即時取等號，故A正確，對于B，，當且僅當，即時取等號，故B正確，對于C：因為，則，當且僅當，即時取等號，故C正確，對于D：因為，當且僅當，即，時取等號，這與均為正實數(shù)矛盾，故D錯誤，故選：ABC．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某學校舉辦秋季運動會時，高一某班共有名同學參加比賽，有人參加游泳比賽，有人參加田賽，有人參加徑賽，同時參加游泳比賽和田賽的有人，同時參加游泳比賽和徑賽的有人，沒有人同時參加三項比賽，借助文氏圖（Venndiagram），可知同時參加田賽和徑賽的有________人．【答案】【解析】【分析】設同時參加田賽和徑賽的學生人數(shù)為，作出韋恩圖，根據(jù)題意可得出關于的等式，即可解出的值.【詳解】設同時參加田賽和徑賽的學生人數(shù)為，如下圖所示：由韋恩圖可的，解得.因此，同時參加田賽和徑賽的有人.故答案為：.13.甲、乙兩地相距1000千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成．可變部分與速度（千米/時）的平方成正比，比例系數(shù)為2，固定部分為5000元．為使全程運輸成本最小，汽車的速度是________千米/時．【答案】50【解析】【分析】依據(jù)題意建立函數(shù)關系，再利用基本不等式求解最值即可.【詳解】設汽車速度為千米/時，運輸成本為，∴當且僅當，即時，運輸成本最?。蚀鸢笧椋?014.若一個三角形的三邊長分別為，記，則此三角形面積，這是著名的海倫公式.已知的周長為，則的面積的最大值為___________.【答案】##【解析】【分析】由條件可得，然后利用基本不等式可得，然后可得答案.【詳解】由題意，由，則時取等，則.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分．解答題應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成，當?shù)妊菪蔚难L為多少時，所用籬笆的長度最??？并求出所用籬笆長度的最小值．【答案】當?shù)妊菪蔚难L為時，所用籬笆長度最小，其最小值為．【解析】【分析】以實際應用問題為情境，建立函數(shù)關系，利用函數(shù)最值的求法解出結果；【詳解】設，上底，分別過點作下底的垂線，垂足分別為，則，，則下底，該等腰梯形的面積，所以，則，所用籬笆長為，當且僅當，即，時取等號．所以，當?shù)妊菪蔚难L為時，所用籬笆長度最小，其最小值為．16.已知集合,集合．（1）若，求；（2）設命題；命題，若命題是命題的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）或．（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的并集和補集的定義即可求解，（2）根據(jù)是集合的真子集，討論和兩種情況即可求解.【小問1詳解】由題意可知，若故，或．【小問2詳解】命題是命題的必要不充分條件，集合是集合的真子集，當時，，解得，當時，（等號不能同時成立），解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為17.如圖，為梯形，其中，，設O為對角線的交點.表示平行于兩底且與它們等距離的線段（即梯形的中位線），表示平行于兩底且使梯形與梯形相似的線段，表示平行于兩底且過點O的線段，表示平行于兩底且將梯形分為面積相等的兩個梯形的線段.試研究線段，，，與代數(shù)式，，，之間的關系，并據(jù)此推測它們之間的一個大小關系.你能用基本不等式證明所得到的猜測嗎？【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)題中所給的梯形模型，結合平行線分線段成比例定理，相似，面積相等等方式，建立得到幾個平均數(shù)，再利用基本不等式和作差法比較大小即可【詳解】因為是梯形的中位線，所以；因為梯形與梯形相似，所以，所以；因為，所以，所以，所以，所以，設梯形，的面積分別為，高分別為，則，，所以，所以，所以；由圖可知，，即；證明：顯然，，因為，所以，所以，所以18.已知二次函數(shù)（1）若的解集為，解關于的不等式；（2）若且，求的最小值；（3）若，且對任意，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）不等式的解集為.（2）的最小值為；（3）的最小值為.【解析】【分析】（1）由條件可得是方程的解，由此可求，結合一元二次不等式解法求的解集；（2）由已知可得，結合基本不等式求結論；（3）由條件可得，由此可得，換元并結合基本不等式可求其最小值.【小問1詳解】由已知的解集為，且，所以是方程的解，所以，，所以，，所以不等式可化為，所以，故不等式解集為.【小問2詳解】因為，所以因為，所以，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，即當且僅當，時等號成立；所以的最小值為；【小問3詳解】因為對任意，不等式恒成立，所以，，所以，，，令，則，，所以，當且僅當，時等號成立，即當且僅當，時等號成立，所以的最小值為.19.已知集合非空數(shù)集，定義：，（實數(shù)a，b可以相同）（1）若集合，直接寫出集合S、T；（2）若集合，，且，求證：；（3）若集合，，記為集合中元素的個數(shù)，求的最大值．【答案】（1）；（2）證明見解析（3）1348【解析】【分析】（1）根據(jù)題目的定義，直接計算集合S，T即可;（2）根據(jù)集合相等的概念，證明即可；（3）通過假設集合，求出對應的集合S，T，通過，建立不等式關系，求出對應的值即可.【小問1詳解】因為集合，，，所以由，可得，，可得．【小問2詳解】由于集合，，則T集合的元素在0，，，，，，中，且，，而，故中最大元素必在中，而為7個元素中的最大者，故即，故，故中的4個元素為0，，，，且，，與，，重復，而，故即，而，故，故或，若，則，，與題設矛盾；故即.【小問3詳解】設滿足題意，其中，則，∴，，∴，∵，由容斥原理，中最