寒假作業(yè)14角中的動態(tài)問題-2024年七年級數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練(人教版)_第1頁
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文檔簡介

限時練習(xí):30min完成時間:月日天氣:寒假作業(yè)14角中的動態(tài)問題一、常用解題方法動角問題作為壓軸題,難度系數(shù)比較大,一般解題方法:①化動為靜,分類畫圖;②轉(zhuǎn)化為常見角度計(jì)算題型.二、旋轉(zhuǎn)動角問題一般采用三步解題技巧:①找:根據(jù)題意找到目標(biāo)角度;②表:表示出目標(biāo)角度.常見類型如下:1)角度一邊動另一邊不動,角度變大:目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間;2)角度一邊動另一邊不動,角度變?。耗繕?biāo)角=起始角速度×?xí)r間;3)角度一邊動另一邊不動,角度先變小后變大:變?。耗繕?biāo)角=起始角速度×?xí)r間變大:目標(biāo)角=速度×?xí)r間起始角③列:根據(jù)題意列方程求解.三角板有兩種,一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°),另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°).三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度.1.將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合放置于處(兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動),下列結(jié)論一定成立的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】A.∵,而和不一定相等,∴不一定成立,不符合題意;B.∵,而的值不固定,∴不一定成立,不符合題意;C.,即一定成立,符合題意;D.由題意得,而不一定成立,不符合題意.故選C.2.已知O是直線上的一點(diǎn),,平分.如圖,與在直線的同側(cè),我們探究一下與的數(shù)量關(guān)系:

(1)填表,當(dāng)取不同度數(shù)時,請計(jì)算出的度數(shù),并填寫到下列表格中;20°35°…………(2)猜想,若,求的度數(shù)(用含有的式子表達(dá)),并說明理由.【解析】(1)解:因?yàn)椋?,因?yàn)槠椒?,所以,∴?dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故答案為:40°,70°,;(2)解:因?yàn)?,所以,因?yàn)槠椒郑?,∴?.如圖1,一直角三角尺的直角頂點(diǎn)在直線上,一邊在射線上,另一邊在直線的上方,將直角三角尺在平面內(nèi)繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn),且平分,平分,如圖2.(1)如圖2,當(dāng)時,①求和的度數(shù);②求的度數(shù).(2)在直角三角尺旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè),若,則①求和的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示);②的度數(shù)是否發(fā)生變化,請通過計(jì)算說明理由.【解析】(1)①,由題意得,是直角三角形,,;②平分,,平分,,∴;(2)①當(dāng)時,,是直角三角形,,;當(dāng)時,,是直角三角形,,;②當(dāng)時,平分,,平分,,∴,∴的度數(shù)沒有發(fā)生變化;當(dāng)時,平分,,平分,,∴,∴的度數(shù)沒有發(fā)生變化.4.已知直線,O是上的一個定點(diǎn).點(diǎn)A是直線下方的一個動點(diǎn),作射線及的角平分線,點(diǎn)C與點(diǎn)A在直線的兩側(cè),點(diǎn)D在線段的延長線上.(1)若,,在下圖中補(bǔ)全圖形,并求出的大?。?/p>

(2)射線是的角平分線;①如下圖,當(dāng)時,用等式表示與的數(shù)量關(guān)系,并證明;

②當(dāng),且時,直接寫出的度數(shù).

【解析】(1)解:補(bǔ)全圖形如圖所示,

∵,是的角平分線,∴,∵,∴,∴,∴;(2)解:①,理由如下,設(shè),,

∵是的角平分線,∴,∵是的角平分線,∴,∴,∴;②設(shè),,

∵,∴,∴,是的角平分線,∴,,∵是的角平分線,∴,即,解得,∴.5.如圖1,點(diǎn)為直線上一點(diǎn),過點(diǎn)作射線,使.將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處,一邊在射線上,另一邊在直線的上方.(1)在圖1中,______.(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn),使得在的內(nèi)部,如圖2.若,求的度數(shù).(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,若三角板在直線的上方,則與始終保持的數(shù)量關(guān)系是______.并請說明理由.【解析】(1)解:根據(jù)題意可得,,∵,且,∴,故答案為:.(2)解:∵,∴,∵,∵,∴,∴,解得,,∴,∴的度數(shù)為.(3)解:,理由如下,在旋轉(zhuǎn)過程中,若三角板在直線的上方,,,①如圖所示,在內(nèi)部,∵,則,,則,∴,∴;②如圖所示,在外部,∴,則,,則,∴,∴;綜上所述,,故答案為:.6.如圖1,已知線段,,線段在線段上運(yùn)動(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn).

(1)若,則__________.(2)當(dāng)線段在線段上運(yùn)動時,試判斷線段的長度是否會發(fā)生變化?如果不變,請求出線段的長度;如果變化,請說明理由.(3)我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣,如圖2,已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動,、分別平分和.類比以上發(fā)現(xiàn)的線段的規(guī)律,若,,求的度數(shù).【解析】(1)解:,,,,點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn),,,,故答案為:22;(2)解:線段的長度不會發(fā)生變化;理由如下:∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn),∴,,∴;(3)解:∵、分別平分和,∴,,∴.7.如圖,已知,射線繞點(diǎn)從位置開始,以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn);同時,射線繞點(diǎn)從位置開始,以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn),并且當(dāng)與成角時,與同時停止旋轉(zhuǎn).則在旋轉(zhuǎn)的過程中,經(jīng)過秒,與的夾角是.

【答案】或【解析】設(shè)秒后,與的夾角是,如圖,

,∴,,∵,∴,即有,解得:,如圖,

∴,,∵,∴,即有,解得:,綜上可知:或,與的夾角是,故答案為:或.8.一副三角板與如圖擺放,且,,,平分,平分.當(dāng)三角板繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)(從圖到圖).設(shè)圖、圖中的的度數(shù)分別為,,度.

【答案】105【解析】如圖1:

∵,,,∴,,∵平分,平分,∴,,∵,即,∴;如圖2:

∵,,,∴,,∵平分,平分,∴,,∵,即,∴;∴;故答案為:105.9.已知,過頂點(diǎn)O作射線,且平分,平分.

(1)如圖,若在內(nèi).①當(dāng)平分時,的度數(shù)為;②當(dāng)時,求的度數(shù).(2)嘉嘉說∶“若在內(nèi)旋轉(zhuǎn),因?yàn)楹偷亩葦?shù)不能確定,所以的度數(shù)不能計(jì)算.”琪琪說∶“你說的不對,的度數(shù)能算到,且的度數(shù)不變.”請你判斷嘉嘉和琪琪誰的說法正確,并說明理由(3)若射線從出發(fā)繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于),請直接寫出的度數(shù).【解析】(1)①∵,平分,∴,∵平分,∴;故答案為:;②∵,,∴.∴.∵平分,∴;(2)琪琪的說法正確,嘉嘉的說法不正確,理由如下:∵平分,平分,∴,,∴;(3)設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,①當(dāng)時,如圖,

∵平分,平分,∴.∵,,∴;②當(dāng)時,在的下方,如圖,

∵平分,平分,∴.∵,,∴.10.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離可以用右邊的點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊的點(diǎn)表示的數(shù)來計(jì)算.如圖,數(shù)軸與數(shù)軸交于原點(diǎn),且所夾銳角是.點(diǎn),在數(shù)軸上,點(diǎn),在數(shù)軸上.已知點(diǎn)是數(shù)軸上的一個動點(diǎn),點(diǎn)是數(shù)軸上的一個動點(diǎn),點(diǎn),表示的數(shù)分別是,點(diǎn),表示的數(shù)分別是.若點(diǎn)表示的數(shù)為,點(diǎn)表示的數(shù)為.請完成下列問題:

(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn),的距離相等時,______;當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn),的距離相等時,______;(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍,點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍時,試求出,的值;(3)在(2)的條件下,若數(shù)軸以每秒的速度繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn),請直接寫出第秒時,的度數(shù).(用含的式子表示)【解析】(1)解:由題意,得:,解得:;,解得,故答案為:;(2)當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時:,解得:;當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時:,解得:;綜上:或;當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時:,解得:;當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時:,解得:;綜上:或;(3)設(shè)第秒時,數(shù)軸轉(zhuǎn)到了如圖所示的位置,點(diǎn),點(diǎn)轉(zhuǎn)到,點(diǎn)轉(zhuǎn)到,

由圖可知:,;綜上:或.11.已知:.(1)如圖1,若.①寫出圖中一組相等的角(除直角外)__________,理由是________________.

②那么_________.(2)如圖2,與重合,若,將繞點(diǎn)O以5度/秒的速度作逆時針旋轉(zhuǎn),運(yùn)動時間為t()秒.①當(dāng)t=______秒時,平分;②試說明:當(dāng)t為何值時,?【解析】(1)解:①∵,∴,,∴(同角的余角相等).故答案為:,同角的余角相等;②∵,∴.故答案為:180;(2)解:①根據(jù)題意,得,即,解得.故答案為:6;②當(dāng)在的內(nèi)部時,∵,∴,解得;當(dāng)在的外部時,∵,∴,解得,綜上,t為或20時,12.已知,從的頂點(diǎn)引出一條射線,射線在的內(nèi)部,將射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)形成.

(1)如圖1,若,比較和的大小,并說明理由;(2)作射線,射線為的平分線,設(shè).①如圖2,當(dāng),若射線恰好平分,求的度數(shù);②當(dāng)時,請?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系.【解析】(1)解:,理由如下:,,,又,,;(2)①恰好平分,,,為的平分線,,,,,,;②分情況討論:當(dāng)時,

,,為的平分線,,,;當(dāng)時,

,,為的平分線,,,;綜上所述,.13.已知,,平分,平分.

(1)如圖1,當(dāng),重合時,求的值;(2)如圖2,當(dāng)從圖1所示的位置開始繞點(diǎn)以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn).在旋轉(zhuǎn)過程中,的值是否會因的變化而變化?若不變化,請求出該定值;若變化,請說明理由;(3)在(2)的條件下,求當(dāng)旋轉(zhuǎn)多少秒時,.【解析】(1)解:因?yàn)槠椒?,平分,所以,.所以;?)解:的值是定值.根據(jù)題意,得:,則,.因?yàn)槠椒?,平分,所以,,所以;?)解:根據(jù)題意,得,所以,解得,所以當(dāng)旋轉(zhuǎn)時,.14.如圖1,已知繞點(diǎn)在的內(nèi)部轉(zhuǎn)動,平分,平分.

(1)如圖2,當(dāng)與重合時,求的度數(shù);(2)請判斷的大小是否隨的位置的變化發(fā)生改變?并說明理由;(3)當(dāng)時,求的度數(shù).【解析】(1)解:如圖所示,,與OA重合,,平分,

,平分,,∵平分,,.(2)解:不會隨的運(yùn)動而改變大小,理由如下:平分,,平分,,,不會隨的運(yùn)動而改變大?。?)解:∵,由(2)可知,,,或,,或,解得或,或,∴的度數(shù)為或.15.將一副三角板如圖1放置(,,,),在、(、)內(nèi)作射線、,且,,將三角板繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn).(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)、A、在一條直線上時,______;(2)如圖2,若旋轉(zhuǎn)角為(),的度數(shù)是否會發(fā)生改變?若不變,求其值;若變化,說明理由.(3)如圖3,當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到內(nèi)部時,求的值.【解析】(1)解:∵點(diǎn)、A、在一條直線上,∴,∵,∴,∵,,∴,∴,∵,∴,∴;故答案為:;(2)解:的度數(shù)不發(fā)生改變,且;∵旋轉(zhuǎn)角為,∴,,∵,,∴,,∴;(3)解:當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到內(nèi)部時,,,∵,,∴,,∴,∴.16.熟悉又陌生的三角尺.

(1)如圖1,將兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)疊放在一起,.①若,則______;若,則_______;②猜想與的數(shù)量關(guān)系并驗(yàn)證.(2)如圖2,這是兩個同樣的直角三角尺銳角的頂點(diǎn)重合在一起,則與的數(shù)量關(guān)系為_______;(3)已知,(都是銳角),如圖3,若把它們的頂點(diǎn)重合在一起,請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系.【解析】(1)①∵∴∵∴∵∴∵∴故答案為:,;②猜想得(或與互補(bǔ)),理由:∵∴∴;故答案為:(2),理由如下:由于,故;故答案為:(3),理由:∵∴,即,∴.故答案為:17.已知:如圖1,點(diǎn)A,O,B依次在直線上,現(xiàn)將射線繞點(diǎn)O沿順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn);同時射線繞點(diǎn)O沿逆時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn).如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒().下列說法正確的是(

)A.整個運(yùn)動過程中,不存在的情況B.當(dāng)時,兩射線的旋轉(zhuǎn)時間t一定為20秒C.當(dāng)t值為36秒時,射線恰好平分D.當(dāng)時,兩射線的旋轉(zhuǎn)時間t一定為40秒【答案】C【解析】由題意知,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;令,即,解得秒,∴存在的情況;故A錯誤,不符合題意;令,即,解得秒,令,即,解得秒,∴當(dāng)時,兩射線的旋轉(zhuǎn)時間t不一定為20秒;故B、D錯誤,不符合題意;當(dāng)時,,∴,∵,∴射線恰好平分,故C正確,符合題意.故選C.18.定義:從一個角的頂點(diǎn)出發(fā),把這個角分成1:2兩個部分的射線,叫做這個角的三分線,一個角的三分線有兩條.如圖1,,則是的一條三分線.(1)如圖1,若,則;(2)如圖2,若,,是的兩條三分線,且.①;②若以點(diǎn)為中心,將順時針旋轉(zhuǎn)()得到,當(dāng)恰好是的三分線時,的值為.【解析】(1),,,故答案為:;(2)①如圖2,是的一條三分線,且,,,;故答案為:;②分兩種情況:如圖,當(dāng)是的三分線,且時,,,,;當(dāng)是的三分線,且時,,,.綜上所述,或.19.已知,是內(nèi)部的一條射線,且.

(1)如圖1所示,若,平分,平分,求的度數(shù);(2)如圖2所示,是直角,從點(diǎn)O出發(fā)在內(nèi)引射線,滿足,若平分,求的度數(shù);(3)如圖3所示,,射線,射線分別從出發(fā),并分別以每秒和每秒的速度繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn),和分別只在和內(nèi)部旋轉(zhuǎn),運(yùn)動時間為t秒.①直接寫出和的數(shù)量關(guān)系;②若,當(dāng)時,求t的值.【解析】(1)解:∵,∴,∵平分平分,∴,∴,∴;(2)解:∵,∴,∴,∵,∴,∵平分,∴,∴;(3)解:①∵,∴,∴,由題意得:,∴,,∴;②由①知,,∵,∴,∵,,∴,把代入得:,解得,∴若,當(dāng)時,.20.在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課上,“卓越”小組準(zhǔn)備研究如下問題:如圖,為直尺的一條邊,四邊形為一正方形紙板(、、、均為直角).(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①,小組成員小方把正方形的一條邊與重合放置,劉老師在與同學(xué)們交流研討時又做出了的平分線,交正方形的邊于點(diǎn).則此時的度數(shù)為______;與的度數(shù)之間的關(guān)系為______.(2)【問題探究】受小方同學(xué)的啟發(fā),小組成員小麗將正方形紙板按如圖②放置,若此時記的度數(shù)為,其他條件不變,請幫小麗同學(xué)探究:與的度數(shù)之間的關(guān)系是否發(fā)生改變,并說明理由.(3)【拓展延伸】組內(nèi)其他同學(xué)也都繼續(xù)探索,將正方形按如圖③放置,劉老師同樣做出了的平分線,請直接寫出與的度數(shù)之間的關(guān)系.【解析】(1)解:如圖,四邊形為正方形,,,平分,,;故答案為:,;(2)解:與的度數(shù)之間的關(guān)系沒有發(fā)生改變.理由如下:如圖,,,平分,,,即;(3)解:如圖,的平分線為,,,,,.21.綜合與實(shí)踐【問題發(fā)現(xiàn)】在數(shù)學(xué)探究課上,王老師帶領(lǐng)同學(xué)們結(jié)束角平分線的探究后,安排同學(xué)們自主探究角的三等分線.小明進(jìn)行了如下探究,如圖①,若射線,是的三等分線,則稱更靠近邊的射線是射線的“友好線”,靠近邊的射線是射線的“友好線”.(1)如圖②,,射線是射線的友好線,求的度數(shù).(2)【問題探究】如圖③,,射線與射線重合并繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn),與射線重合時停止.問旋轉(zhuǎn)幾秒后,是的“友好線”.(3)【問題拓展】如圖④,,射線,分別與射線,重合,射線繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn),同時射線繞點(diǎn)O以每秒的速度順時針方向旋轉(zhuǎn),是否存在某一刻恰好是的“友好線”,若存在,求出時間t;若不存在,請說明理由.【解析】(1)解:∵,∴當(dāng)射線是射線的“友好線”時,.(2)解:∵,∴當(dāng)是的“友好線”時,,∴,∴旋轉(zhuǎn)時

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