山西省大同市渾源縣第七中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

2024－2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘試題滿分：150分一、單選題（共8小題）1.(5分)已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，則實(shí)數(shù)x的值是()A.3B.4C.5D.62.(5分)已知直線l的一方向向量為，則直線l的傾斜角為()A.30°B.60°C.120°D.150°3.(5分)如圖，若直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A.k1<k3<k2B.k3<k1<k2C.k1<k2<k3D.k3<k2<k14.(5分)如圖，在三棱錐S-ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G滿足＝，若＝a，＝b，＝c，則＝()A.a＋b＋cB.a－b＋cC.－a－b＋cD.a－b＋c5.(5分)若直線與平行，則的值為（）A.0B.2C.3D.2或36.(5分)已知a>0，b>0，直線l1：(a－1)x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1⊥l2，則＋的最小值為()A.2B.4C.8D.97.(5分)已知點(diǎn)A(2,3)，B(－3，－2)，若直線l過點(diǎn)P(1,1)，且與線段AB始終沒有交點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是()A.B.C.D.{k|k<2}8.(5分)若三條直線l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足的條件是()A.a＝1或a＝－2B.a≠±1C.a≠1且a≠－2D.a≠±1且a≠－2二、多選題（共4小題）9.(5分)已知空間三點(diǎn)A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若AP→∥BC→，且||＝，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(4，－2,2)B.(－2,2,4)C.(－4,2，－2)D.(2，－2,4)10.(5分)已知直線l1與l2為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是()A.若l1∥l2，則斜率k1＝k2B.若斜率k1＝k2，則l1∥l2C.若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2D.若l1∥l2，則傾斜角α1＝α211.(5分)下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2C.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，則該直線方程為D.過兩點(diǎn)的直線方程為12.(5分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是()A.B1的坐標(biāo)為(2,2,3)B.＝(－2,0,3)C.平面A1BC1的一個(gè)法向量為(－3,3，－2)D.二面角B-A1C1-B1的余弦值為三、填空題（共4小題）13.(5分)點(diǎn)到直線的距離為______．14.(5分)已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,則|a-b|=________.15.(5分)已知直線與互相平行，則__________，與之間的距離為__________.16.(5分)已知點(diǎn)A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)λ＝________，μ＝________.四、解答題（共6小題）17.(10分)如圖，在空間四面體OABC中，2＝，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，＝c．(1)試用向量a，b，c表示向量；(2)若OA＝OC＝3，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求·的值．18.(12分)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(1,6)和點(diǎn)(8，－8)．(1)求直線l的兩點(diǎn)式方程，并化為截距式方程；(2)求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積．19.(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CD；(2)求DB與平面DEF所成角的正弦值．20.(12分)設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．(1)已知直線l在x軸上的截距為－3，求m的值；(2)已知直線l的斜率為1，求m的值．21.(12分)直線l經(jīng)過兩直線l1：x＋y＝0和l2：2x＋3y－2＝0的交點(diǎn)．(1)若直線l與直線3x＋y－1＝0平行，求直線l的方程；(2)若點(diǎn)A(3,1)到直線l的距離為5，求直線l的方程．22.(12分)已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.數(shù)學(xué)參考答案1.【答案】C【解析】因?yàn)閍＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.2.【答案】B【解析】設(shè)直線l的傾斜角為θ，θ∈[0°，180°)，則tanθ＝，∴θ＝60°．故選B．3.【答案】A【解析】設(shè)直線l1，l2，l3的傾斜角分別為α1，α2，α3，則由圖知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tanα1<0，tanα2>tanα3>0，即k1<0，k2>k3>0.4.【答案】B【解析】＝＋＝＋＝(－)＋(－)＝(－)＋×＝－＋＝a－b＋c．故選B．5.【答案】B【解析】由題意，所以，解得，或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩直線重合，不符合題意，所以.故選：B.6.【答案】C【解析】因?yàn)閘1⊥l2，所以(a－1)×1＋1×2b＝0，即a＋2b＝1，因?yàn)閍>0，b>0，所以＋＝(a＋2b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立，所以＋的最小值為8．故選C．7.【答案】A【解析】∵kAP＝＝2，kBP＝＝，如圖，∵直線l與線段AB始終沒有交點(diǎn)，∴斜率k的取值范圍是.8.【答案】D【解析】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)．①若l1∥l2，是由a×a－1×1＝0，得a＝±1.②若l2∥l3，則由1×1－a×1＝0，得a＝1.③若l1∥l3，則由a×1－1×1＝0，得a＝1.當(dāng)a＝1時(shí)，l1，l2與l3三線重合，當(dāng)a＝－1時(shí)，l1，l2平行．④若三條直線交于一點(diǎn)，由解得將l2，l3的交點(diǎn)(－a－1,1)的坐標(biāo)代入l1的方程，解得a＝1(舍去)或＝－2.所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需a≠±1且a≠－2.9.【答案】AB【解析】設(shè)＝λ＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，∴＝，解得λ＝±1，∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y，z)，則＝(x－1，y，z－3)，∴或解得或故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，－2,2)或(－2,2,4)．10.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若l1∥l2，且l1與l2的傾斜角均為，則直線l1與l2的斜率不存在，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若斜率k1＝k2，且直線l1與l2為兩條不重合的直線，則l1∥l2，故B正確；對(duì)于C，若傾斜角α1＝α2，且直線l1與l2為兩條不重合的直線，由平行線的性質(zhì)可得l1∥l2，故C正確；對(duì)于D，若l1∥l2，由平行線的性質(zhì)可得傾斜角α1＝α2，故D正確．故選B、C、D．11.【答案】AB【解析】對(duì)于A，直線的斜率為，其傾斜角為，A正確；對(duì)于B，直線交軸分別于點(diǎn)，該直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為，B正確；對(duì)于C，過點(diǎn)與原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，符合題意，即過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為的直線可以是直線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)的直線或當(dāng)時(shí)的直線方程不能用表示出，D錯(cuò)誤.故選：AB.12.【答案】ABD【解析】因?yàn)锳B＝AD＝2，AA1＝3，所以A1(2,0,3)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)，所以＝(－2,0,3)，＝(0,2，－3)，故A、B正確；設(shè)平面A1BC1的法向量m＝(x，y，z)，所以m?A1B→=0,m?BC1→=0,即令x＝－3，則y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一個(gè)法向量為由幾何體易得平面A1B1C1的一個(gè)法向量為n＝(0,0,1)，由于cos〈m，n〉＝＝＝－，結(jié)合圖形可知二面角B-A1C1-B1的余弦值為，故D正確．故選A、B、D．13.【答案】1【解析】點(diǎn)到直線的距離.故答案為：.14.【答案】22【解析】|a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,∴2a·b=46,|a-b|2=a2-2a·b+b2=530-46=484,故|a-b|=22.15.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與互相平行，所以，解得，則，所以與之間的距離.故答案為：；.16.【答案】00【解析】因?yàn)锳B→＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC→＝(2，－2，6由A，B，C三點(diǎn)共線，得AB→∥AC即λ-12＝－12解得λ＝0，μ＝0.17.【答案】解(1)∵2＝，∴＝＝(－)＝(c－b)，故＝＋＝b＋(c－b)＝b＋c，∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，故＝(＋)＝a＋b＋c．(2)由題意得a·c＝，a·b＝3，c·b＝3，＝c－a，故·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝－a2＋c2＋a·c＋b·c－b·a＝－×9＋×9＋×＋×3－×3＝－．18.【答案】解(1)因?yàn)橹本€l的兩點(diǎn)式方程為＝，所以＝，即＝x－1.所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以＋＝1.故所求截距式方程為＋＝1.(2)如圖所示，直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，由x4+y8=1可知|OA|＝4，故S△AOB＝×|OA|×|OB|＝×4×8＝16.故直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為16.19.【答案】(1)證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．設(shè)AD＝a，則D(0,0,0)，A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0，P(0,0，a)∵EF→·DC→＝-a2，0，a2·(0，a，0)＝0，∴EF(2)解設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)，則n即x即a取x＝1，則y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2，1)是平面DEF的一個(gè)法向量，∴cos〈BD→，n〉＝BD→?nBD→?設(shè)DB與平面DEF所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈BD→，n〉|＝320.【答案】解(1)由題意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，則x＝，∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．∴m＝－．(2)由題意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1．由直線l化為斜截式方程得y＝x＋，則＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．【解析】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)直線的一般式方程求斜率、截距、參數(shù)值及范圍21.【答案】解(1)直線l1方程與l2方程聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，設(shè)直線l的方程為3x＋y＋m＝0，代入交點(diǎn)(－2,2)得m＝4，所以l的方程為3x＋y＋4＝0．(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，得l的方程為x＝－2，符合條件；當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋2)，根據(jù)d＝＝5，解得k＝，所以直線l的方程為12x－5y＋34＝0．綜上所述，l的方程為12x－5y＋34＝0或x＝－2．22.【答案】(1)證明直線l的方程可化