湖北省黃岡市黃岡中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題含解析

湖北省黃岡市黃岡中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數(shù)列中，，，則的值是（）A.130 B.260C.156 D.1682．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－193．已知某地區(qū)7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，從中隨機(jī)選一人，則此人恰是色盲的概率是（）A.0.01245 B.0.05786C.0.02865 D.0.037454．橢圓的左右焦點分別為，是上一點，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.5．已知數(shù)列{}滿足，且，若，則＝（）A.－8 B.－11C.8 D.116．下列命題錯誤的是（）A，B.命題“”的否定是“”C.設(shè)，則“且”是“”的必要不充分條件D.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件7．已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點，為銳角，且，則（）A. B.C. D.8．某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們每周使用手機(jī)的時間進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③9．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）10．如圖，已知最底層正方體的棱長為a，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，依此方法一直繼續(xù)下去，則所有這些正方體的體積之和將趨近于（）A. B.C. D.11．如圖是拋物線拱形橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面，水面寬，若水面上升，則水面寬是（）（結(jié)果精確到）（參考數(shù)值：）A B.C. D.12．已知直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且直線l與圓相切，則的面積的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一點，垂直于軸，且為等腰三角形，則橢圓的離心率為__________14．從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中，選出2位同學(xué)分別擔(dān)任正、副班長的選法數(shù)可以用表示為____________.15．已知是雙曲線的左、右焦點，點M是雙曲線E上的任意一點（不是頂點），過作角平分線的垂線，垂足為N，O是坐標(biāo)原點．若，則雙曲線E的漸近線方程為__________16．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列前n項和18．（12分）已知數(shù)列的前項和是，且，等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）定義：記，求數(shù)列的前20項和19．（12分）已知橢圓的焦點為，且長軸長是焦距的倍（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓相交于兩點，已知點，求面積的最大值20．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：存在最大值，且恒成立.21．（12分）近年來，我國電子商務(wù)蓬勃發(fā)展.2016年“618”期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績高達(dá)516億元人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和服務(wù)的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計，網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.6，對服務(wù)的滿意率為0.75，其中對商品和服務(wù)都滿意的交易為80次.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”?對服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺上進(jìn)行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)都滿意的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測值：（其中）.22．（10分）已知數(shù)列的前n項和，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)計算得到，進(jìn)而利用求和公式，變形求出答案.【詳解】由題意得：，故故選：A2、C【解析】將所求進(jìn)行變形可得，根據(jù)二項式定理展開式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C3、D【解析】設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】用事件A，B分別表示隨機(jī)選1人為男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，則，且A，B互斥，故故選：D4、A【解析】在中結(jié)合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A5、C【解析】利用遞推關(guān)系，結(jié)合取值，求得即可.【詳解】因為，且，，故可得，解得（舍）,；同理求得，，.故選：C.6、C【解析】根據(jù)題意，對四個選項一一進(jìn)行分析，舉出例子當(dāng)時，，即可判斷A選項；根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可判斷B選項；根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可判斷CD選項.【詳解】解：對于A，當(dāng)時，，，故A正確；對于B，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，得“”的否定是“”，故B正確；對于C，當(dāng)且時，成立；當(dāng)時，卻不一定有且，如，因此“且”是“”的充分不必要條件，故C錯誤；對于D，因為當(dāng)時，有可能等于0，當(dāng)時，必有，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：C.7、C【解析】根據(jù)角終邊上有一點，得到，再根據(jù)為銳角，且，求得，再利用兩角差的正切函數(shù)求解.【詳解】因為角終邊上有一點，所以，又因為為銳角，且，所以，所以，故選：C8、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內(nèi)的學(xué)生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.9、D【解析】根據(jù)圖形可得（1）具有函數(shù)關(guān)系；（2）（3）的散點分布在一條直線或曲線附近，具有相關(guān)關(guān)系；（4）的散點雜亂無章，不具有相關(guān)關(guān)系.【詳解】對（1），所有的點都在曲線上，故具有函數(shù)關(guān)系；對（2），所有的散點分布在一條直線附近，具有相關(guān)關(guān)系；對（3），所有的散點分布在一條曲線附近，具有相關(guān)關(guān)系；對（4），所有的散點雜亂無章，不具有相關(guān)關(guān)系.故選：D.10、D【解析】由已知可判斷出所有這些正方體的體積構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，然后求和可得答案.【詳解】最底層上面第一個正方體的棱長為，其體積為，上面第二個正方體的棱長為，其體積為，上面第三個正方體的棱長為，其體積為，所有這些正方體的體積構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，其前項和為，當(dāng)，，所以所有這些正方體的體積之和將趨近于.故選：D.11、C【解析】先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，將點坐標(biāo)代入拋物線方程求出m，從而可得拋物線方程，再令y＝代入拋物線方程求出x，即可得到答案【詳解】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，由題意，將代入x2＝my，得m＝，所以拋物線的方程為x2＝，令y＝，解得，所以水面寬度為2.24×817.9m故選：C12、A【解析】由直線與圓相切可得，再利用基本不等式即求.【詳解】由已知可得，，因為直線與圓相切，所以，即，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，，所以面積的最小值為1.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】通過垂直于軸,可以求出，由已知為等腰三角形，可以得到，結(jié)合關(guān)系，可以得到一個關(guān)于離心率的一元二次方程，解方程求出離心率.【詳解】∵垂直于，∴可得，又∵為等腰三角形，∴，即，整理得，解得.【點睛】本題考查了求橢圓離心率問題，關(guān)鍵是通過已知條件構(gòu)造出關(guān)于離心率的方程.14、【解析】由題意知：從4為同學(xué)中選出2位進(jìn)行排列，即可寫出表示方式.【詳解】1、從4位同學(xué)選出2位同學(xué)，2、把所選出的2位同學(xué)任意安排為正、副班長，∴選法數(shù)為.故答案為：.15、【解析】延長交于點，利用角平分線結(jié)合中位線和雙曲線定義求得的關(guān)系，然后利用，及漸近線方程即可求得結(jié)果.【詳解】延長交于點，∵是的平分線，，，又是中點，所以，且，又，，，又，雙曲線E的漸近線方程為故答案為：.16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)曲線的切點為：，由，所以過該切點的切線斜率為：，于切線方程為：，因此有：，設(shè)曲線的切點為：，由，所以過該切點的切線斜率為：，于是切線方程為：，因此有：，因為，，即，因此，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)利用基本量法，求出首項和公比，即可求解.(2)利用錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為【小問2詳解】18、（1）；（2）【解析】（1）利用求得遞推關(guān)系得等比數(shù)列，從而得通項公式，再由等差數(shù)列的基本時法求得通項公式；（2）根據(jù)定義求得，然后分組求和法求得和【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，兩式相減，得，即是首項為3，公比為3的等比數(shù)列設(shè)數(shù)列的公差為，小問2詳解】由19、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓半焦距c，長短半軸長a，b即可得解.(2)設(shè)出直線的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，求出弦AB長及點P到直線的距離，然后求出面積的表達(dá)式并求其最大值即得.【小問1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，半焦距，，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】依題意，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，由，解得，則有，，于是得，而點到直線的距離為，因此，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以面積最大值為1.【點睛】結(jié)論點睛：直線l：y=kx+b上兩點間的距離；直線l：x=my+t上兩點間的距離.20、（1）的單增區(qū)間為，；單減區(qū)間為，，；（2）證明見解析.【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，求出，由，結(jié)合函數(shù)的定義域可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時，定義域R,求出，從而得出單調(diào)區(qū)間，由當(dāng)時，，當(dāng)時，，以及極值點與2的大小關(guān)系可得出當(dāng)時，函數(shù)有最大值，然后再證明即可.【詳解】解：（1）定義域，可得且且，，可得且3無0無0減無減增無增減所以，的單增區(qū)間為，；單減區(qū)間為，，.（2）當(dāng)時，定義域R因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最大值在時取得；由，即，得由，得，或由，得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，且，由所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值.所以，因為，所以,設(shè)，則所以化為由，則，則，所以所以21、（1）列聯(lián)表見解析，能有；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用數(shù)據(jù)直接填寫聯(lián)列表即可，求出，即可回答是否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系；（2）由題意可得的可能值為0，1，2，3，分別可求其概率，可得分布列，進(jìn)而可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意8040120對商品不滿意701080合計15050200，因為，所以能有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”（2）每次購物時，對商品和服務(wù)都滿意的概率為，且的取值可以是0，1，