江蘇省蘇州五中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析

江蘇省蘇州五中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列，，，，…，是其第（）項(xiàng)A.17 B.18C.19 D.202．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線是一個(gè)橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③3．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A. B.C.1 D.4．已知點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則（）A.與雙曲線的實(shí)軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線5．我國古代數(shù)學(xué)論著中有如下敘述：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四．”思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數(shù)是上一層所掛燈數(shù)的2倍．下列結(jié)論不正確的是（）A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)比最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)是最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)的16倍6．設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.7．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一條平行于y軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則經(jīng)點(diǎn)B反射后的反射光線必過點(diǎn)（）A. B.C. D.8．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A. B.C. D.9．過雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，雙曲線的左頂點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.10．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.511．設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.12．設(shè)圓：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB所在直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若數(shù)列滿足，，則__________14．斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，由數(shù)學(xué)家斐波那契研究兔子繁殖問題時(shí)引入．已知斐波那契數(shù)列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）15．已知P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d，點(diǎn)，那么的最小值為______16．定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”.已知橢圓是“黃金橢圓”，則_________.若“黃金橢圓”兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓C上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)N，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線上任意一點(diǎn)滿足方程，（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線在軸左、右兩側(cè)的交點(diǎn)分別是，且，求的最小值.18．（12分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M，N分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，且滿足.（1）求橢圓方程；（2）已知點(diǎn)C滿足，點(diǎn)T在橢圓上（T異于橢圓的頂點(diǎn)），直線NT與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，若P為線段NT的中點(diǎn)，求直線NT的方程；（3）過橢圓內(nèi)的一點(diǎn)D（0，t），作斜率為k的直線l，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別是，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，存在實(shí)數(shù)m，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)（1）證明：平面PCD；（2）若PB與底面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正弦值20．（12分）已知命題p：函數(shù)有零點(diǎn)；命題，（1）若命題p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍21．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值22．（10分）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題.注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.已知，且（只需填序號(hào)）.（1）求的值；（2）求展開式中的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意，分析歸納可得該數(shù)列可以寫成，，，……，，可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，，，…，，可寫成，，，……，，對(duì)于，即，為該數(shù)列的第20項(xiàng)；故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了由數(shù)列的項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查歸納能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】對(duì)于①在方程中換為，換為可判斷；對(duì)于②分析曲線的圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的可判斷；對(duì)于③在第一象限內(nèi)，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關(guān)系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱所以①正確,當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)當(dāng)時(shí)，曲線的方程化為，此時(shí)所以曲線圖形是兩個(gè)拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當(dāng)，時(shí)，設(shè)，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立）所以在第一象限內(nèi)，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對(duì)稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個(gè)頂點(diǎn)在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D3、B【解析】直接求導(dǎo)，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，.故選：B4、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進(jìn)而可得A不正確，計(jì)算可判斷B正確，再求出，的關(guān)系可得C不正確，求出，的關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因?yàn)?，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B5、C【解析】由題設(shè)易知是公比為2的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，結(jié)合各選項(xiàng)的描述及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數(shù)為，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，解得，所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了盞燈，A正確最上面3層塔所掛燈總盞數(shù)為14，最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)為224，C不正確，D正確故選：C.6、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C7、D【解析】求出、坐標(biāo)可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出，根據(jù)選項(xiàng)可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯(lián)立解得，所以，因?yàn)榉瓷涔饩€平行于y軸，根據(jù)選項(xiàng)可得D正確,故選：D8、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A9、C【解析】根據(jù)，，可以得到，從而得到與的關(guān)系式，再由，，的關(guān)系，進(jìn)而可求雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由，，則是圓的切線，，，，所以，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，即為故選：C10、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，化簡得，，解得或（舍去），故選：B11、A【解析】由周期函數(shù)得，再由奇函數(shù)的性質(zhì)通過得結(jié)論【詳解】∵函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，∴，而，又函數(shù)為奇函數(shù)，∴．故選A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．此類題型，求函數(shù)值時(shí)，一般先用周期性化自變量到已知區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，然后再由奇函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)值12、A【解析】將兩圓的方程相減，即可求兩圓相交弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)，因?yàn)閳A：①和圓：②交于A，B兩點(diǎn)所以由①-②得：,即，故坐標(biāo)滿足方程，又過AB的直線唯一確定，即直線的方程為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解析】根據(jù)遞推公式，依次求得值.【詳解】依題意，由，可知，故答案為：714、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因?yàn)?，由，，得，所以，得，因?yàn)?，所以，，所以，，所以?故答案為：.15、5【解析】由拋物線的定義可得，所以，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，從而可求得結(jié)果【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，如圖，過作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，所以，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即最小值為,,所以的最小值為5，故答案為：516、①.②.【解析】第一空，直接套入“黃金橢圓”新定義即可，第二空，從內(nèi)切圓入手，找到等量關(guān)系，進(jìn)而得到，求解即可【詳解】由題，，所以如圖，連接，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，即，∴，∴，∴∴，∴故答案為：；【點(diǎn)睛】本題從新定義出發(fā)，第一空直接套用定義可得答案，第二空升華，需要在理解新定義的基礎(chǔ)上，借助內(nèi)切圓的相關(guān)公式求解，層層遞進(jìn)，是一道好題．關(guān)鍵點(diǎn)在于找到“”這一關(guān)系三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）8【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案；（2）可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，求得，同理求得，從而可求得的值，再結(jié)合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)，則，等價(jià)于，曲線為以為焦點(diǎn)的雙曲線，且實(shí)軸長為2，焦距為，故曲線的方程為：；【小問2詳解】解：由題意可得直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，所以，同理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.18、（1）1（2）或（3）【解析】（1）由已知可得，，再結(jié)合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)直線，代入橢圓方程中消去，解方程可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得NT中點(diǎn)的坐標(biāo)，而，可得解方程可求出的值，即可得到直線NT的方程，（3）設(shè)直線，代入橢圓方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合直線的斜率公式可得，再由，可求出m的取值范圍【小問1詳解】設(shè)（c，0），M（0，b），N（0，b），①，又②，③，由①②③得，所以橢圓方程為1.【小問2詳解】由題C，0），設(shè)直線聯(lián)立得，那么，N（0，）NT中點(diǎn).所以，因?yàn)橹本€NT與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，所以所以所以得，解得或所以直線NT為：或.【小問3詳解】設(shè)直線，聯(lián)立方程得設(shè)A（，），B，），則…由對(duì)任意k成立，得點(diǎn)D在橢圓內(nèi)，所以，所以，所以m的取值范圍為.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）依題意可得，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，即可得證；（2）取的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，連接，即可得到為與底面所成角，令，，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小問1詳解】解：證明：在正中，為的中點(diǎn)，∴∵平面平面，平面平面，且．∴平面，又∵平面∴．又∵，且，平面．∴平面【小問2詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)為，連接，在正中，，平面平面，平面平面，∴平面，連接，則為與底面所成角，即．不妨取，，，，∴以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，∴，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則由令，則，又因?yàn)槊妫∽鳛槊娴囊粋€(gè)法向量，設(shè)二面角為，∴，∴，因此二面角的正弦值為20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求p為真時(shí)a的取值范圍，根據(jù)的性質(zhì)判斷與有交點(diǎn)求q為真時(shí)a的取值范圍，進(jìn)而求p，q均為真時(shí)a的取值范圍.（2）根據(jù)復(fù)合命題的真假可得p，q一真一假，討論p、q的真假分別求a的取值范圍，最后取并集即可.【小問1詳解】若p為真，，解得或，所以若q為真，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，故，所以若p，q均為真命題，a的取值范圍為【小問2詳解】由題設(shè)，易知：p，q兩命題一真一假當(dāng)p真q假時(shí)，p為真，則或，q為假，則或，此時(shí)a的取值范圍為；當(dāng)p假q真時(shí)，p為假，則，q為真，則，此時(shí)a的取值范圍為綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.21、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，