數(shù)學(xué)自我小測:應(yīng)用舉例_第1頁
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精自我小測1.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系是()A.α〉βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°2.如圖所示,設(shè)A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計算出A,B兩點間的距離為()A.50eq\r(2)mB.50eq\r(3)mC.25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m3.如圖所示,為測一棵樹的高度,在地面上選取A,B兩點,從A,B兩點測得樹尖的仰角分別為30°,45°,且A,B兩點之間的距離為60m,則樹的高度為()A.(30+30eq\r(3))mB.(30+15eq\r(3))mC.(15+30eq\r(3))mD.(15+3eq\r(3))m4.在船A上測得它的南偏東30°的海面上有一燈塔,船以每小時30海里的速度向東南方向航行半個小時后,于B處看得燈塔在船的正西方向,則這時船和燈塔相距eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin15°=\f(\r(6)-\r(2),4)))()A.eq\f(15(\r(6)-\r(2)),2)海里B.eq\f(15\r(2)-5\r(6),2)海里C.eq\f(15(\r(6)-\r(2)),4)海里D.eq\f(15\r(2)-5\r(6),4)海里5.一貨輪航行到M處,測得燈塔S在貨輪的北偏東15°方向上,與燈塔S相距20海里,隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后,又測得燈塔S在貨輪的東北方向,則貨輪的速度為()A.20(eq\r(6)+eq\r(2))海里/時B.20(eq\r(6)-eq\r(2))海里/時C.20(eq\r(6)+eq\r(3))海里/時D.20(eq\r(6)-eq\r(3))海里/時6.在湖面上高h米處,測得天空中一朵云的仰角為α,測得云在湖中之影的俯角為β,則云距湖面的高度為________米.7.如圖,某炮兵陣地位于A點,兩觀察所分別位于C,D兩點.已知△ACD為正三角形,且DC=eq\r(3)km,當目標出現(xiàn)在B時,測得∠CDB=45°,∠BCD=75°,則炮兵陣地與目標的距離為________(精確到0.01km).8.如圖所示,飛機的航向和山頂在同一個平面內(nèi),已知飛機的高度為海拔hkm,速度為vkm/s,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫棣?經(jīng)過ts后又看到山頂?shù)母┙菫棣拢笊巾數(shù)暮0胃叨龋?用h,v,α,β等表示)9.在△ABC中,角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c.已知cos2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面積S=5eq\r(3),b=5,求sinBsinC的值.

參考答案1.解析:要正確理解仰角、俯角的含義,準確地找出仰角、俯角的確切位置,如圖,在A處望B處的仰角α與從B處望A處的俯角β是內(nèi)錯角(根據(jù)水平線平行),即α=β.答案:B2。解析:在△ABC中,∠ACB=45°,∠CAB=105°,∴∠ABC=30°.又AC=50m,由正弦定理,得AB=eq\f(AC,sin∠ABC)×sin∠ACB=eq\f(50,sin30°)×sin45°=100×eq\f(\r(2),2)=50eq\r(2)(m).答案:A3.解析:設(shè)樹高為hm.由正弦定理,得eq\f(60,sin(45°-30°))=eq\f(PB,sin30°),∴PB=eq\f(60×\f(1,2),sin15°)=eq\f(30,sin15°),∴h=PB·sin45°=30+30eq\r(3)(m).答案:A4.解析:如圖所示,設(shè)燈塔為C,由題意可知,在△ABC中,∠BAC=15°,∠B=45°,∠C=120°,AB=30×0.5=15(海里),所以由正弦定理,得eq\f(BC,sin∠BAC)=eq\f(AB,sinC),可求得BC=eq\f(15,sin120°)·sin15°=eq\f(15,\f(\r(3),2))×eq\f(\r(6)-\r(2),4)=eq\f(15\r(2)-5\r(6),2)(海里).答案:B5。答案:B6。解析:如圖,設(shè)湖面上高h米處為A,測得云C的仰角為α,測得C在湖中之影D的俯角為β,CD與湖面交于M,過A的水平線交CD于E.設(shè)云高CM=x,則CE=x-h(huán),DE=x+h,AE=eq\f(x-h(huán),tanα).又AE=eq\f(x+h,tanβ),∴eq\f(x-h(huán),tanα)=eq\f(x+h,tanβ).整理,得x=eq\f(tanβ+tanα,tanβ-tanα)·h=-eq\f(sin(α+β),sin(α-β))h.答案:-eq\f(sin(α+β),sin(α-β))h7。解析:在△BCD中,∠CDB=45°,∠BCD=75°,∴∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.由正弦定理,得BD=eq\f(CDsin75°,sin60°)=eq\f(1,2)(eq\r(6)+eq\r(2)).在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°=3+eq\f(1,4)(eq\r(6)+eq\r(2))2+2×eq\r(3)×eq\f(1,2)(eq\r(6)+eq\r(2))×eq\f(1,4)(eq\r(6)-eq\r(2))=5+2eq\r(3).∴AB=eq\r(5+2\r(3))≈2.91(km).∴炮兵陣地與目標的距離約是2.91km.答案:2.91km8.解:根據(jù)題設(shè)條件,在△ABC中,∠BAC=α,∠ABC=180°-β,AB=vt(km).設(shè)山頂?shù)暮0胃叨葹閤km,則AB邊上的高為(h-x)km.在△ABC中,根據(jù)正弦定理可得eq\f(AC,sin(180°-β))=eq\f(AB,sinC),∴eq\f(AC,sinβ)=eq\f(AB,sin(β-α))=eq\f(vt,sin(β-α)),∴AC=eq\f(sinβ,sin(β-α))vt,∴h-x=AC·sinα=eq\f(sinβ·sinα,sin(β-α))vt,∴x=h-eq\f(sinαsinβ,sin(β-α))vt.∴山頂?shù)暮0胃叨葹閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(h-\f(sinαsinβ·vt,sin(β-α))))km.9。解:(1)由cos2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA-2=0,即(2cosA-1)(cosA+2)=0,解得cosA=eq\f(1,2)或cosA=-2(舍去).因為0〈A〈π,所以A=eq\f(π,3).(2)由S=eq\f(1,2)bcsinA=eq\f(1,2)bc·eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),4)bc=5eq\r(3),得bc=

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