專題10.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題10.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理【四大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用】 3【題型2分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用】 5【題型3涂色問題】 6【題型4兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用】 101、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義(2)能利用計數(shù)原理解決簡單的實際問題2023年新高考I卷：第13題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第3題，5分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第7題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第9題，5分從近幾年的高考情況來看，高考對兩個計數(shù)原理的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以考查兩個計數(shù)原理的基本概念與步驟方法為主，往往與排列組合結(jié)合考查，難度不大.【知識點1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理】1．分類加法計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理的概念完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，，在第n類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++種不同的方法.(2)分類的原則

分類計數(shù)時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個適當(dāng)?shù)姆诸悩藴剩缓罄眠@個分類標準進行分類，分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數(shù)時不重不漏.2．分步乘法計數(shù)原理(1)分步乘法計數(shù)原理的概念

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有N=×××種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各個步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.3．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.

(2)區(qū)別

分類加法計數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題②各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存③用其中任何一種方法都可以完成這件事只有各個步驟都完成才算完成這件事(3)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的合理選擇分類→將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決→分類加法計數(shù)原理；分步→將問題分為幾個相互關(guān)聯(lián)的步驟，逐步解決→分步乘法計數(shù)原理.在解決有關(guān)計數(shù)問題時，應(yīng)注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.【知識點2分類、分步計數(shù)原理的解題策略】1．分類加法計數(shù)原理的解題策略分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標準；(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不同的方法，不能重復(fù)；(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏.2．分步乘法計數(shù)原理的解題策略(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.【方法技巧與總結(jié)】分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.【題型1分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用】【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）從1至7這7個整數(shù)中隨機取出3個不同的數(shù)，則它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有（

）A．9種 B．12種 C．20種 D．30種【解題思路】根據(jù)題意分3個不同的數(shù)中不含3和6，取出的3個不同的數(shù)中含有3不含有6，取出的3個不同的數(shù)中含有6不含有3，取出的3個不同的數(shù)中含有3和6時四種情況研究即可.【解答過程】①當(dāng)取出的3個不同的數(shù)中不含3和6時，顯然它們的積不可能是3的倍數(shù)，不符合題意；②當(dāng)取出的3個不同的數(shù)中含有3不含有6時，它們的積一定是3的倍數(shù)，但只有當(dāng)另外2個數(shù)是1,2，1,5，2,4，2,7，4,5，5,7時，它們的和才是3的倍數(shù)，共有6種取法；、③當(dāng)取出的3個不同的數(shù)中含有6不含有3時，它們的積一定是3的倍數(shù)，但只有當(dāng)另外2個數(shù)是1,2，1,5，2,4，2,7，4,5，5,7時，它們的和才是3的倍數(shù)，也有6種取法；④當(dāng)取出的3個不同的數(shù)中含有3和6時，它們的積一定是3的倍數(shù)，但它們的和一定不是3的倍數(shù)，不符合題意．綜上，它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有6+6=12（種），故選：B．【變式1-1】（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）平面上的兩個點A(x1，y1)，B(A．19 B．20 C．25 D．27【解題思路】依題先確定x1,x2,y1,y2中任意兩個數(shù)的差的絕對值的所有可能值有【解答過程】依題意，x1,x將其中任意兩個數(shù)的差的絕對值記為d1，則d1可能的值有而A(x1，y1)，B(而x1?x22故AB的不同取值可分成五類：①|(zhì)x1?x2|與|y②|x1?x2|與|y③|x1?x2|與|y④|x1?x2|與|⑤|x1?x2|與|y⑥|x1?x2|與由分類加法計數(shù)原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2+1=20個.故選：B.【變式1-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測）甲?乙等6名高三同學(xué)計劃今年暑假在A,B,C,D四個景點中選擇一個打卡游玩，若每個景點至少有一個同學(xué)去打卡游玩，每位同學(xué)都會選擇一個景點打卡游玩，且甲?乙都單獨1人去某一個景點打卡游玩，則不同游玩方法有（

）A．96種 B．132種 C．168種 D．204種【解題思路】根據(jù)題意，剩下4人去其他兩個景點游玩，由此按游玩的人數(shù)分2種情況討論，結(jié)合分類加法計數(shù)原理，即可求解.【解答過程】由題意，甲、乙都單獨1人去某一個景點打卡游玩，則剩下的4人去其他兩個景點游玩，有兩種情況：①若3位同學(xué)去一個景點，1位同學(xué)去另一個景點，有A4②分別都是2位同學(xué)去一個景點，有A4由分類計數(shù)原理得，共有96+72=168種.故選：C.【變式1-3】（2024·貴州黔東南·二模）在n個數(shù)碼1,2,?,nn≤9,n∈N*的全排列j1j2?jnA．19 B．20 C．21 D．22【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)字8,7,5,4,2都構(gòu)成逆序，結(jié)合分類計數(shù)原理，即可求解.【解答過程】由題意，對于八位數(shù)87542136，可得8與后面每個數(shù)字都構(gòu)成逆序，7與后面每個數(shù)字都構(gòu)成逆序，5與4,2,1,3都構(gòu)成逆序，4與2,1,3都構(gòu)成逆序，2與1構(gòu)成逆序，所以T87542136故選：C.【題型2分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用】【例2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從A，B，C，D四個旅游景點中任選一個前去游玩，其中甲到過A．64種 B．48種 C．36種 D．24種【解題思路】由分步乘法計數(shù)原理求解即可.【解答過程】因甲不選A景點，應(yīng)該分步完成：第一步，先考慮甲在B,C,D三個景點中任選一個，有3種選法；第二步，再考慮乙和丙，從A,B,C,D中分別任選一個景點，有4×4=16中選法．由分步乘法計數(shù)原理，可得不同選法有：3×16=48種．故選：B．【變式2-1】（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知x∈Z，y∈Z，則滿足方程xy+2024(x?y)=8092的解(x,y)的個數(shù)為（

）A．27 B．54 C．108 D．216【解題思路】由已知可得(x?2024)(y+2024)=?20222，又【解答過程】由題設(shè)，得(x?2024)(y+2024)=?2022又2022=2×3×337，其中2,3,337都為質(zhì)數(shù)，所以(x?2024)(y+2024)=?2因為x，y∈Z，所以x?2024可能為?1k+12a3b所以x?2024的取值個數(shù)為2×3×3×3=54，方程xy+2024(x?y)=8092的整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為54．故選：B．【變式2-2】（2024·湖南岳陽·三模）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．96種 B．60種 C．48種 D．36種【解題思路】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合相鄰問題和不相鄰問題的方法即可求得.【解答過程】依題意，設(shè)這五個人分別為甲乙丙丁戊.第一步，將乙丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有A2第二步，將這個整體與丁戊全排列，有A3第三步，排好后產(chǎn)生4個空位，因甲乙不相鄰，則只能從3個空中任選1個安排甲，有A3則由分步乘法計數(shù)原理，不同的方案共有2×6×3=36種.故選：D.【變式2-3】（2024·海南·模擬預(yù)測）將“1，2，2，3，4，5”這6個數(shù)字填入如圖所示的表格區(qū)域中，每個區(qū)域填一個數(shù)字，1不在A區(qū)域且三列中只有中間一列區(qū)域的數(shù)字之和為7，若中間一列填2和5，則不同的填法有（

）ABCDEFA．20種 B．24種 C．36種 D．48種【解題思路】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理列式計算即得.【解答過程】求不同填法需要4步，填中間一列有2種方法，再填1有3種方法，與1同列的只能是3或4，有2種方法，最后兩個區(qū)域，填兩個數(shù)字有2種方法，所以不同填法種數(shù)是2×3×2×2=24.故選：B.【題型3涂色問題】【例3】（2024·四川資陽·模擬預(yù)測）某社區(qū)計劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域布置的花卉種類不同，且每個區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有（

）A．360種 B．420種 C．480種 D．540種【解題思路】利用要求根據(jù)區(qū)域依次討論計算即可.【解答過程】如圖，先在區(qū)域A布置花卉，有5種不同的布置方案，再在區(qū)域E布置花卉，有4種不同的布置方案，再在區(qū)域D布置花卉，有3種不同的布置方案．若區(qū)域B與區(qū)域E布置同一種花卉，則區(qū)域C有3種不同的布置方案；若區(qū)域B與區(qū)域E布置不同的花卉，則區(qū)域B有2種不同的布置方案，區(qū)域C有3種不同的布置方案．故不同的布置方案有5×4×3×3+2×3故選：D.【變式3-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）為迎接元宵節(jié)，某廣場將一個圓形區(qū)域分成A,B,C,D,E五個部分（如圖所示），現(xiàn)用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區(qū)域鮮花的擺放方案共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．12種．【解題思路】滿足條件的涂色方案可分為B,D區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色和C,E區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理，分類加法計數(shù)原理求解即可【解答過程】滿足條件的擺放方案可分為兩類，第一類B,D區(qū)域同色，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，第二步，擺放區(qū)域B,D有3種方法，第三步，擺放區(qū)域C有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域A,B,C不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域E有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有4×3×2×1=24種方案，第二類，C,E區(qū)域同色兩類，且和其它區(qū)域不同色的擺放方案，滿足條件的方案可分四步完成，第一步，先擺區(qū)域A有4種方法，第二步，擺放區(qū)域B有3種方法，第三步，擺放區(qū)域C,E有2種方法，第四步，考慮到區(qū)域A,B,C不同色，且4種顏色都要用到，擺放區(qū)域D有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類中共有4×3×2×1=24種方案，根據(jù)分步加法計數(shù)原理可得該區(qū)域鮮花的擺放方案共有48種，故選：A.【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，A，B，C，D為四個不同的區(qū)域，現(xiàn)有紅、黃、藍、黑4種顏色，對這四個區(qū)域進行涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同的顏色（A與C不相鄰，B與D不相鄰），則使用2種顏色涂色的概率為（

）A．18 B．17 C．16【解題思路】由排列組合以及分類加法計數(shù)原理求解個數(shù)，即可由古典概型概率公式求解.【解答過程】使用4種顏色給四個區(qū)域涂色，有A4使用3種顏色給四個區(qū)域涂色，共有2C（使用3種顏色給四個區(qū)域涂色有兩類情況：①區(qū)域A與區(qū)域C涂同一種顏色，區(qū)域B與區(qū)域D涂另外2種顏色；②區(qū)域B與區(qū)域D涂同一種顏色，區(qū)域A與區(qū)域C涂另外2種顏色）使用2種顏色給四個區(qū)域涂色，共有A4所以所有的涂色方法共有24+48+12=84（種），故使用2種顏色給四個區(qū)域涂色的概率為1284故選：B.【變式3-3】（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想.多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面.五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.五行是指木、火、土、金、水五種物質(zhì)的運動變化.所以，在中國，“五行”有悠久的歷史淵源.下圖是五行圖，現(xiàn)有4種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A．30 B．120 C．150 D．240【解題思路】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分別確定每個區(qū)域的涂色方法種數(shù)，結(jié)合分類加法分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【解答過程】由題意可知，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色，水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），不妨設(shè)四種顏色分別為A、B、C、D，先填涂區(qū)域“火”，有4種選擇，不妨設(shè)區(qū)域“火”填涂的顏色為A，接下來填涂區(qū)域“土”，有3種選擇，分別為B、C、D，若區(qū)域“土”填涂的顏色為B，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為A、C、D；若區(qū)域“土”填涂的顏色為C，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為A、B、D；若區(qū)域“土”填涂的顏色為D，則區(qū)域“金”填涂的顏色分別為A、B、C.綜上所述，區(qū)域“金”填涂A、B、C、D的方案種數(shù)分別為3、2、2、2種，接下來考慮區(qū)域“水”的填涂方案：若區(qū)域“金”填涂的顏色為A，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為B、C、D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為B，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A、C、D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為C，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A、B、D；若區(qū)域“金”填涂的顏色為D，則區(qū)域“水”填涂的顏色可為A、B、C.則區(qū)域“水”填涂A的方案種數(shù)為2×3=6種，填涂B的方案種數(shù)為3+2×2=7種，填涂C的方案種數(shù)為3+2×2=7種，填涂D的方案種數(shù)為3+2×2=7種.從區(qū)域“火”、“土”、“金”填涂至區(qū)域“水”，填涂區(qū)域“水”的方案還和填涂區(qū)域“木”有關(guān)，當(dāng)區(qū)域“水”填涂的顏色為A時，區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、C、D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為B時，區(qū)域“木”填涂的顏色可為C、D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為C時，區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、D；若區(qū)域“水”填涂的顏色為D時，區(qū)域“木”填涂的顏色可為B、C.所以，當(dāng)區(qū)域“火”填涂顏色A時，填涂方案種數(shù)為6×3+7×2×3=60種.因此，不同的涂色方法種數(shù)有4×60=240種.故選：D.【題型4兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用】【例4】（23-24高二上·江西九江·期末）從1，2，3，4，5，6，7，9中，任取兩個不同的數(shù)作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對數(shù)的值有（

）A．30個 B．42個 C．41個 D．39個【解題思路】分是否取1兩類，當(dāng)不取1時，排除重復(fù)的即可得解.【解答過程】當(dāng)取1時，則1只能為真數(shù)，此時這個對數(shù)值為0，當(dāng)不取1時，底數(shù)有7種，真數(shù)有6種，其中l(wèi)og2故此時有7×6?4=38個，所以共有38+1=39個.故選：D.【變式4-1】（2024·河北·模擬預(yù)測）用0,1,2,3,4能組成沒有重復(fù)數(shù)字且比32000小的數(shù)字（

）個.A．212 B．213 C．224 D．225【解題思路】先對數(shù)字位數(shù)分類討論，在對五位數(shù)的首位數(shù)字進行分類討論：①首位為1，2；②首位為3.然后分析千位數(shù)的選取，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【解答過程】分數(shù)字位數(shù)討論：一位數(shù)5個；兩位數(shù)有4×4=16個；三位數(shù)有4×4×3=48個；四位數(shù)有4×4×3×2=96個；五位數(shù)分以下兩種情況討論：①首位數(shù)字為1或2，此時共有2A②首位數(shù)字為3，則千位數(shù)從0或1中選擇一個，其余三個數(shù)位任意排列，此時共有2A綜上所述，共有5+16+48+96+48+12=225個比32000小的數(shù).故選：D.【變式4-2】（24-25高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識競賽，已決出了第1名到第4名（沒有并列名次），甲、乙、丙三人向老師詢問成績，老師對甲和乙說：“你倆名次相鄰”，對丙說：“很遺憾，你沒有得到第1名”，從這個回答分析，4人的名次排列情況種數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．12【解題思路】由題意可得丙不是第1名，甲乙相鄰，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案.【解答過程】解：由題意可得丙不是第1名，甲，乙相鄰；所以丙是第2名時，甲，乙只能是第3，4名，丁為第1名，此時共2種情況；丙是第3名時，甲，乙只能是第1，2名，丁為第4名，此時共2種情況；丙是第4名時，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名，當(dāng)甲，乙是第1，2名時，丁為第3名，此時共2種情況；當(dāng)甲，乙是第2，3名時，丁為第1名，此時共2種情況；所以一共有2+2+2+2=8種情況.故選：C.【變式4-3】（2024高二·全國·專題練習(xí)）從正十五邊形的頂點中選出3個構(gòu)成鈍角三角形，則不同的選法有（

）.A．105種 B．225種 C．315種 D．420種【解題思路】首先選取一個點作為鈍角頂點，并該點與圓心連線將其余14個頂點分成左右各7個：在左側(cè)選取一個點作為第二頂點，依次選取右側(cè)7個點作為第三頂點判斷三角形形狀，依此步驟即可得當(dāng)前鈍角頂點下的鈍角三角形個數(shù)，最后乘以15即可得結(jié)果.【解答過程】如圖所示，以A為鈍角頂點，在直徑AA′的左邊取點B1，右邊依次取C1,同理，直徑AA′的左邊取點B2，右邊依次取C1,C2,???,C……在直徑AA′的左邊取點B6在直徑AA′的左邊取點故以A為鈍角頂點的三角形共有6+5+4+3+2+1=21（個）.以其余14個點為鈍角頂點的三角形也各有21個，所以總共有15×21=315（個）鈍角三角形.故選：C.一、單選題1．（2024·陜西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實習(xí)時，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是（

）A．112 B．80 C．64 D．32【解題思路】根據(jù)已知條件及分類分步計數(shù)原理即可求解.【解答過程】分兩類情況，第一類情況，去C企業(yè)僅有一人，有C5第二類情況，沒有一個去C企業(yè)，有25所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有80+32=112種.故選：A.2．（2024·陜西西安·三模）方程xy=2160的非負整數(shù)解的組數(shù)為（

）A．40 B．28 C．22 D．12【解題思路】將2160分解質(zhì)因數(shù)，即可求出2160的因數(shù)的個數(shù)，從而得解.【解答過程】因為2160=24×33故方程xy=2160的非負整數(shù)解的組數(shù)為40．故選：A.3．（2024·山東淄博·一模）小明設(shè)置六位數(shù)字的手機密碼時，計劃將自然常數(shù)e≈2.71828…的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.若排列時要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間有一個數(shù)字，則小明可以設(shè)置的不同密碼種數(shù)為（

）A．24 B．16 C．12 D．10【解題思路】分兩個2之間是8和不是8兩大類討論即可.【解答過程】若兩個2之間是8，則有282817；282871；728281；128287；172828；712828；828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12種若兩個2之間是1或7，則有272818；818272；212878；878212，共4種；則總共有16種，故選：B.4．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）某市人民醫(yī)院急診科有3名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生，內(nèi)科有4名男醫(yī)生和4名女醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內(nèi)科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會，則所有不同的選派方案有（

）A．192種 B．180種 C．29種 D．15種【解題思路】由分步乘法計數(shù)原理可求結(jié)論.【解答過程】從急診科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有3×4=12種方案，從內(nèi)科選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生有4×4=16種方案，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有12×16=192種不同的選派方案.故選:A.5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節(jié)電影市場．某電影院同時段播放這三部電影，小李和小明每人只能選擇看其中的一場電影，則兩位同學(xué)選擇的電影不相同的概率為（

）A．16 B．12 C．13【解題思路】分別求2個人不同的選擇方案以及選擇的電影相同的選擇方案，根據(jù)對立事件結(jié)合古典概型分析求解.【解答過程】因為每個人選擇方案有3種，可知2個人不同的選擇方案有32且三位同學(xué)選擇的電影相同的選擇方案有3種；所以三位同學(xué)選擇的電影不相同的概率為P=1?3故選：D.6．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由1+a?1+b的展開式1+a+b+ab表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個紅球，而“ab”表示把紅球和藍球都取出來，以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從3個無區(qū)別的紅球、3個無區(qū)別的藍球、2個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有藍球都取出或都不取出的所有取法的是（A．1+a+B．1+C．1+aD．1+【解題思路】分三步處理問題，分別表示出取紅球、籃球、黑球的表達式，相乘即可求得.【解答過程】第一步，從3個無區(qū)別的紅球中取出若干球，則有1+a+a第二步，從3個無區(qū)別的藍球中都取出或都不取出，要滿足題意，只有1+b第三步，從2個有區(qū)別的黑球中取出若干個，則有1+c1+c根據(jù)分步計數(shù)原理，則要滿足題意的取法有：1+a+a故選：A.7．（23-24高二上·山東德州·階段練習(xí)）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8.現(xiàn)準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同．若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．550種 B．630種C．720種 D．840種【解題思路】確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，分區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色是否相同兩種情況討論，進而可得出答案.【解答過程】由題意可得，只需確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，即可確定整個傘面的涂色．先涂區(qū)域1，有6種選擇，再涂區(qū)域2，有5種選擇，當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有4種選擇，剩下的區(qū)域4有4種選擇；當(dāng)區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有5種選擇，故不同的涂色方案有6×5×(4×4+5)=630種．故選：B．8．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）距高考30天之際，高三某班級五位同學(xué)打算利用周末親近大自然，陶冶情操，釋放壓力.這五位同學(xué)準備星期天在凌云山景區(qū)，印象嘉陵江濕地公園，西山風(fēng)景區(qū)三個景點中選擇一個去游玩，已知每個景點至少有一位同學(xué)會選，五位同學(xué)都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學(xué)生甲和學(xué)生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數(shù)為（

）A．18 B．36 C．48 D．32【解題思路】先根據(jù)甲乙選的景點其他人是否選分成兩類情況，①無人再選，按照1:2:2分組計算方法數(shù)；②還有人選，按照1:1:3部分平均分組計算方法數(shù).最后用分類加法原理計算總的方法數(shù)即可.【解答過程】若甲乙選的景點沒有其他人選，則分組方式為：1,2,2的選法總數(shù)為：C3若甲乙選的景點還有其他人選擇，則分組方式為：1,1,3的選法總數(shù)為：C3所以不同的選法總數(shù)為:18+18=36.故選：B.二、多選題9．（23-24高三下·全國·強基計劃）某城市內(nèi)有若干街道，所有街道都是正東西或南北向，某人站在某段正中央開始走，每個點至多經(jīng)過一次，最終回到出發(fā)點．已知向左轉(zhuǎn)了100次，則可能向右轉(zhuǎn)了（

）次．A．96 B．98 C．104 D．102【解題思路】分情況討論不同情況即可.【解答過程】總體的路線形成一個多邊形，如果出發(fā)點在多邊形的邊上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定是4的倍數(shù)，如果出發(fā)點在多邊形的頂點上，左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)的次數(shù)差一定奇數(shù)，因此只有AC有可能．下面兩圖的路線分別對應(yīng)右轉(zhuǎn)96次和104次的情形：故選：AC.10．（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中蘊含著無窮無盡的美，尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對稱美的一種體現(xiàn)，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99；三位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說法正確的是（

）A．四位回文數(shù)有45個 B．四位回文數(shù)有90個C．2n（n∈N*）位回文數(shù)有10n個 D．2n+1（n∈【解題思路】根據(jù)題意，用列舉法分析四位回文數(shù)數(shù)目，可得A錯誤，B正確；再用分步計數(shù)原理分析2n+1位回文數(shù)的數(shù)目，可得C錯誤，D正確，綜合可得答案．【解答過程】據(jù)題意，對于四位回文數(shù)，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90個，則A錯誤，B正確；對于2n位回文數(shù)，首位和個位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第n和第n+1位也有10種，則共有9×10×10×……×10＝9×10n-1種選法，故C錯；對于2n+1位回文數(shù)，首位和個位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第n+1個數(shù)字，即最中間的數(shù)字有10種選法，則共有9×10×10×……×10＝9×10n種選法，即2n+1（n∈N*）位回文數(shù)有9×10n個，所以D正確．故選：BD．11．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，16枚釘子釘成4×4的正方形板，現(xiàn)用橡皮筋去套釘子，則下列說法正確的有(不同的圖形指兩個圖形中至少有一個頂點不同)（

）A．可以圍成20個不同的正方形B．可以圍成24個不同的長方形(鄰邊不相等)C．可以圍成516個不同的三角形D．可以圍成16個不同的等邊三角形【解題思路】利用分類計算原理及組合，結(jié)合圖形，對各個選項逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【解答過程】不妨設(shè)兩個釘子間的距離為1，對于選項A，由圖知，邊長為1的正方形有3×3=9個，邊長為2的正方形有2×2=4個，邊長為3的正方形有1個，邊長為2的正方形有2×2=4個，邊長為5的有2個，共有20個，所以選項A正確，對于選項B，由圖知，寬為1的長方形有3×3=9個，寬為2的長方形有4×2=8個，寬為3的長方形有5個，寬為2的有2個，共有24個，所以選項B正確，對于選項C，由圖知，可以圍成C16對于選項D，由圖可知，不存在等邊三角形，所以選項D錯誤，故選：ABC.三、填空題12．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）甲、乙、丙、丁、戊5名大學(xué)生實習(xí)時，有A，B，C三家企業(yè)可供選擇，若去C企業(yè)最多一人，則不同分配種數(shù)是112.【解題思路】根據(jù)給定條件，利用兩個計數(shù)原理列式計算即得.【解答過程】求不同分配種數(shù)的問題，有兩類辦法：沒有人去C企業(yè)，有25有1人去C企業(yè)，有5×2所以不同分配種數(shù)是25故答案為：112.13．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）對一個四棱錐各個頂點著色，現(xiàn)有5種不同顏色供選擇，要求同一條棱連接的兩個頂點不能著相同的顏色，則不同的著色方法有420種（用數(shù)字作答）．【解題思路】依題意按照分類分步計數(shù)原理直接計算可得結(jié)果.【解答過程】根據(jù)題意可知，需分五步進行著色，在四棱錐P?ABCD中，如下圖所示：

按照P?A?B?C?D的順序進行著色，則P點有5種顏色可選，A點有4種顏色可選；B點有3種顏色可選，若C點顏色與A點相同，則D點有3種顏色可選；若C點顏色與A點不同，則C點有2種顏色可選，此時D點有2種顏色可選；所以共有5×4×3×1×3+2×2故答案為：420.14．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）某排球賽共有三個組：第一、二組各有6個隊，第三組有7個隊，首先各組進行單循環(huán)賽，然后各小組的第一名共3個隊分主客場進行決賽，最終決出冠、亞軍，則該排球比賽一共需要比賽57場．【解題思路】利用分類加法計數(shù)原理結(jié)合排列組合知識求解即可.【解答過程】首先在3個小組進行單循環(huán)賽，第一組有6個隊，需進行C62=15場比賽，第二組有6個隊，需進行C62然后各小組的第一名共3個隊分主客場進行決賽，有A3所以共需要比賽51+6=故答案為：57.四、解答題15．（2024高三·全國·專題練習(xí)）分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中i號人不坐i號椅(i=1，2，3，4，5)的不同坐法有多少種？【解題思路】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計數(shù)原理、分類加法計數(shù)原理列式計算即得.【解答過程】1號椅有4種坐法(2，3，4，5均可坐），假設(shè)1號椅由3號坐，則按排3號椅，那3號椅也有4種坐法(1，2，4，5可坐），假設(shè)3號椅由1號坐了，剩下2，4，5坐2，4，5這3個椅，只有2種坐法，如果3號椅由4號坐了，剩下1，2，5坐2，4，5這3個椅，有3種坐法，同樣，3號椅由2號，5號坐的時候，也是各有3種坐法，所以總坐法數(shù)是4×(2+3+3+3)=44種．16．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中．求：(1)1號盒中無球的不同放法種數(shù)；(2)1號盒中有球的不同放法種數(shù)．【解題思路】（1）由分步乘法計數(shù)原理可直接求出答案；（2）分1號盒中有一個球、1號盒中有兩個球、1號盒中有三個球3種情況進行討論，再根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．【解答過程】（1）1號盒中無球即A，B，C三個球只能放入2，3，4號盒子中，有3×3×3=27（種）放法．（2）1號盒中有球可分三類：一類是1號盒中有一個球，共有3×3×3=27（種）放法，一類是1號盒中有兩個球，共有3×3=9（種）放法，一類是1號盒中有三個球，有1種放法．共有27+9+1=37（種）放法．17．（23-24高二下·青海西寧·期中）由0，1，2，3，4這五個數(shù)字．(1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(2)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)？(3)組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中比21034大的數(shù)有多少個？【解題思路】（1）先排數(shù)字0，再排其它4個數(shù)字即可計算得解；（2）選偶數(shù)先排個位數(shù)，分個位數(shù)字為0和個位數(shù)字為2或4兩種情況，再排其它數(shù)位；（3）按最高位上的數(shù)字比2大和2兩類分類計算作答.【解答過程】（1）先排數(shù)字0，0只能占除最高位外的其余四個數(shù)位，有A4再排四個非0數(shù)字有A44