專題4.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習專練（新高考專用）

專題4.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】 3【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】 5【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】 7【題型4三角函數(shù)的周期性問題】 9【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】 11【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】 13【題型7三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運用】 16【題型8三角函數(shù)的零點問題】 19【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 211、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)能畫出三角函數(shù)的圖象

(2)了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（?。┲?/p>

(3)借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的性質(zhì)及正切函數(shù)在上的性質(zhì)2023年新課標I卷：第15題，5分2023年天津卷：第6題，5分2024年新課標I卷：第7題，5分2024年新課標Ⅱ卷：第9題，6分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第13題，5分三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱點內(nèi)容，其中三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系則是高考考察的重心.從近幾年的高考情況來看，比較注重對三角函數(shù)的幾大性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系的考查，試題多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度中等或偏下.【知識點1三角函數(shù)的定義域與值域的求解策略】1．三角函數(shù)的定義域的求解思路求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角函數(shù)的圖象.2．求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型：(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)t=sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值).【知識點2三角函數(shù)的周期性、對稱性、奇偶性的求解思路】1．三角函數(shù)周期的一般求法(1)公式法；(2)不能用公式求函數(shù)的周期時，可考慮用圖象法或定義法求周期.2．三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心的求解策略

(1)對于可化為f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.(2)對于可化為f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函數(shù)，如果求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.3．三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)型奇偶性的判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).若y=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).【知識點3三角函數(shù)的單調(diào)性問題的解題策略】1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx+φ看作一個整體代入y=sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù).2．已知三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的解題思路對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)ω的范圍的問題，首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解，另外，若是選擇題，利用特值驗證排除法求解更為簡捷.【方法技巧與總結(jié)】1．對稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期.(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是個周期.2．與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論(1)若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).(2)若y=Acos(ωx+φ)為偶函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ=(k∈Z).(3)若y=Atan(ωx+φ)為奇函數(shù)，則φ=kπ(k∈Z).【題型1三角函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=cosx?ln2x+2?x在區(qū)間?3π,3π上的圖象可能是（A． B． C． D．【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)f0【解答過程】因為fx的定義域為Rf?x所以fx為偶函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于y因為f0故選：D．【變式1-1】（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）函數(shù)y=cosx與y=lgA．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】在同一坐標系中，作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點個數(shù).【解答過程】函數(shù)y=cosx與y=lgx都是偶函數(shù)，其中在同一坐標系中，作出函數(shù)y=cosx與由圖可知，兩函數(shù)的交點個數(shù)為6.故選：D.【變式1-2】（2024·山東·一模）函數(shù)fx=ex?1A． B．C． D．【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及x∈0,【解答過程】函數(shù)y=fx的定義域為Rf?x即函數(shù)y=fx當x∈0,π2故選：A.【變式1-3】（2023·河南鄭州·一模）已知函數(shù)fx=ex+A．fx+gxC．fx?gx【解題思路】利用奇偶性和特殊點函數(shù)值的正負進行判斷.【解答過程】對于fx=ex+同理可得：gx記?x=f所以??x≠?x且?同理可證：fx?gx+2為非奇非偶函數(shù)；由圖可知，圖像對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)，且0<f1顯然選項A，B對應(yīng)的函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除；對C:y=fx當x=1時，e+對D，y=g當x=1時，sin1故選：D.【題型2三角函數(shù)的定義域、值域與最值】【例2】（2024·廣東湛江·二模）函數(shù)fx=4sin5x?πA．?2,2 B．?2,4 C．?23,4 【解題思路】先求得5x?π【解答過程】因為x∈0,π5，所以5x?π故fx=4sin5x?π故選：B.【變式2-1】（2024·河南鄭州·一模）已知函數(shù)f(x)=2sinωx?π6(ω>0)在0,π2A．43,2 B．43,83【解題思路】根據(jù)題意可得ωx?π6∈?π6,【解答過程】由x∈0,π2及ω>0根據(jù)其值域為?1,2，且2sin由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得π2即可得23≤ω故選：B.【變式2-2】（2024·安徽安慶·二模）已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx+sin2ωx?1(ω>0)的圖象關(guān)于點π4,0對稱，且f(x)A．12 B．32 C．52【解題思路】先化簡解析式，根據(jù)對稱性可得ω=2k?1【解答過程】f(x)=2cos因為fx的圖象關(guān)于點π所以fπ故ωπ2+當2ωx+π4=?π2因為fx在0,所以5π8ω≥π由ω=2k?12≤158解得k≤故選：B.【變式2-3】（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的最大值為2，其圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離為π2，且A．?3 B．?1 C．?2 【解題思路】利用題目條件求出fx的解析式，然后討論fx在【解答過程】由條件知A=2，πω=π從而A=ω=2，sinφ?所以φ?π6=k又因為φ<π2這說明fx=2sin2x+π又f0=1,fπ2=?1，所以f故選：B.【題型3三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題】【例3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=3sinA．fx的圖象關(guān)于點5B．若fx+t是偶函數(shù)，則C．fx在區(qū)間0,πD．fx的圖象關(guān)于直線x=【解題思路】代入驗證法判斷函數(shù)fx的圖象的對稱中心和對稱軸，進而判斷選項AD；求得t的值判斷選項B；求得fx在區(qū)間【解答過程】對于A：f5則fx的圖象關(guān)于點5對于B：因為fx+t所以3t+π6=k對于C：當x∈0,π3所以fx即fx在區(qū)間0,π3對于D：當x=π9時，則fx的圖象關(guān)于直線x=故選：C.【變式3-1】（2024·貴州黔南·二模）若函數(shù)fx=cosx?πA．5π6 B．4π3 C．【解題思路】由題意可知：x=0為函數(shù)fx【解答過程】由題意可知：x=0為函數(shù)fx則?π3+φ=k對于選項A：令φ=kπ+π對于選項B：令φ=kπ+π對于選項C：令φ=kπ+π對于選項D：令φ=kπ+π故選：B.【變式3-2】（2024·甘肅隴南·一模）下列函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=π3+kA．fx=sinC．fx=sin【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸，利用整體代入的方法可求出A、C中函數(shù)的對稱軸方程，利用余弦函數(shù)的對稱軸，利用整體代入的方法可求出B、D中函數(shù)的對稱軸方程，即得答案.【解答過程】對于A，fx=sinx?π即fx的對稱軸方程為x=對于B，fx=cosx+2即fx的對稱軸方程為x=對于C，fx=sin2x?π即fx的對稱軸方程為x=對于D，fx=cos2x+π即fx的對稱軸方程為x=?故選：B.【變式3-3】（2024·廣東佛山·二模）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在[π4A．x=7π12 B．x=11π12【解題思路】由函數(shù)的零點情況，求出ω的取值范圍，再利用給定等式分析判斷函數(shù)圖象的對稱軸即可得解.【解答過程】由函數(shù)f(x)=sin(ωx+π得T2≤3π2又f(3π8)=f(11π8)，而由x∈[π4,3π2]即函數(shù)f(x)在[π因此x=7π8是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，即7當k≥2時，ω>125，當k=0時，當k=1時，ω=43，得T=3π2故選：C.【題型4三角函數(shù)的周期性問題】【例4】（2024·天津·一模）下列函數(shù)中，以π2為周期，且在區(qū)間π4,A．fx=sinC．fx=cos【解題思路】結(jié)合函數(shù)周期性的定義與正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷即可得.【解答過程】對A：f0=sin0=0，f對B：fx+π2=sin當x∈π4,π3時，2x∈且y=sinx>0，故fx對C：f0=cos0=1，f對D：fx+π2=cos當x∈π4,π3時，2x∈但y=cosx<0，故x∈π故fx=cos故選：D.【變式4-1】（2023·湖南長沙·一模）已知函數(shù)fx=sinωx?π6(1<ω<2)，若存在x1,A．2π3 B．4π3 C．【解題思路】由題意可得出k?T2=2π，結(jié)合【解答過程】因為存在x1,x2∈所以k?T2=k?又因為1<ω<2，則k=3，所以ω=3所以函數(shù)fx的最小正周期為：T=故選：B.【變式4-2】（2024·安徽馬鞍山·三模）記函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期為T，若π2<T<A．113 B．103 C．83【解題思路】由最小正周期π2<T<π可得2<ω<4，再由f(x)≤fπ【解答過程】函數(shù)f(x)的最小正周期π2<T<π，則π又f(x)≤fπ8，即x=所以π8ω+π又2<ω<4，當k=0時，ω=8故選：C.【變式4-3】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·三模）定義運算如果abcd=ad?bc，fx=1052sinωx+φω>0,0<φ<π2，A．3π B．π C．π2 【解題思路】求出函數(shù)fx的解析式，根據(jù)已知條件求出φ的值，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于ω的不等式組，解出ω的取值范圍，可得出ω【解答過程】fx因為3sinφ=cos而0<φ<π2，所以φ=π當x∈0,π2因為fx在0,π2上單調(diào)遞增，所以，π當ω取最大值23時，fx的最小正周期故選：A．【題型5求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、比較大小】【例5】（2024·青海·模擬預(yù)測）下列區(qū)間中，函數(shù)fx=3sinA．0,π2 C．5π4,【解題思路】首先求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)選項判斷.【解答過程】令2kπ?π2≤x+π4當k=0時，增區(qū)間是?3π4,π其中只有5π故選：C.【變式5-1】（2023·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sin2x+φ在x=πA．?π12,5π12 B．π【解題思路】根據(jù)函數(shù)的最值結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得φ=2kπ+π6,k∈Z【解答過程】因為fx=sin2x+φ在可得π3+φ=2kπ所以fx令2kπ?π所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間是k令k=0,1，可得?π3,故ABC錯誤，D正確.故選：D.【變式5-2】（2023·貴州·模擬預(yù)測）已知a=sin1，b=sin32A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a(chǎn)<c<b【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式，得到sin2=sinπ?2，結(jié)合【解答過程】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得sin2=因為0<1<π?2<32<所以sin1<sinπ故選：D.【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sinπ6?x,gA．π6,π3 B．π3,【解題思路】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項是否正確.【解答過程】當x從π6增加到π3時，fx從0遞減到?12所以fgx從sinπ6?32遞減到sin當x從π3增加到π2時，fx從?12遞減到?所以fgx從sinπ6?1遞增到sinπ6當x從π2增加到2π3時，fx從?32遞減到?1，所以fgx從sinπ6?32遞增到sin當x從2π3增加到5π6時，fx從-1遞增到?所以fgx從sinπ6?12遞增到1故選：D.【題型6根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】【例6】（2023·天津·二模）若函數(shù)fx=2sinωx+π6ω>0A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由x的范圍確定ωx+π6的范圍，分別討論fx【解答過程】當x∈?π6若fx在?π6解得：ω≤4?12kω≤2+12kk∈Z，又ω>0，∴解得：?16<k<13若fx在?π6解得：ω≤?2?12kω≤8+12k，又ω>0，∴若不等式組有解，則?2?12k>0解得：?23<k<?16，與k∈Z綜上所述：ω∈0,2，則ω的最大值為2故選：B.【變式6-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sinωx+π3(ω>0)的周期為T，且滿足T>2π，若函數(shù)A．34,1 C．23,1 【解題思路】由函數(shù)fx在區(qū)間π6,【解答過程】已知fx令ωx+π3則函數(shù)fx對稱軸方程為∵函數(shù)fx在區(qū)間π∴π6<k又由T>2π，且ω>0，得0<ω<1故僅當k=0時，23故選：C.【變式6-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=Asinωx+φω>0,φ<π2，fx≤A．3 B．5 C．6 D．7【解題思路】根據(jù)fx≤fπ6可知直線x=π6為fx圖象的對稱軸，根據(jù)fx+f4π3?x=0可得fx的對稱中心為【解答過程】∵fx≤fπ6∵f(x)+f4π3?x=0∴1+2k∴T=2∴ω=2k+1,k∈N．又f(x)在π3,5∴T=2πω又ω=2k+1,k∈N，∴當ω=11時，f(x)=Asin11x+φ，因為直線x=π所以11×π6+解得φ=?4π3+kπ，k∈Z，又當x∈π3,5π12時，當ω=9時，f(x)=Asin9x+φ，因為直線x=π所以9×π6+解得φ=?π+kπ，k∈Z，又|φ|<當x∈π3,5π12時，∴當ω=7時，f(x)=Asin7x+φ，因為直線x=π所以7×π6+解得φ=?2π3+kπ，k∈Z，又當x∈π3,5π12時，則ω的最大值為7．故選：D.【變式6-3】（2023·浙江·模擬預(yù)測）定義mina,b=a,a≤bb,a>b設(shè)函數(shù)fx=minsinωx,A．25,35 B．2,3 C．【解題思路】分段寫出函數(shù)f(x)解析式，并確定單調(diào)遞減區(qū)間，再借助集合的包含關(guān)系求解作答.【解答過程】依題意，f(x)=sin函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是[?3π4ω+2k于是(5π12,π即?3π4ω+2kπω≤5或π4ω+2kπω≤5π12πω+2k當k=0時，35≤ω≤2，當k=1時，故選：C.【題型7三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性的靈活運用】【例7】（2024·河南新鄉(xiāng)·三模）已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)圖象的一個對稱中心是Aπ8,0A．f(x)=cos2x+π4 B．直線C．f(x)在7π8,11π【解題思路】由f0=22可得φ=π4，由對稱中心【解答過程】因為點B0,22在f(x)的圖象上，所以f(0)=cosφ=因為f(x)圖象的一個對稱中心是Aπ8,0，所以ω則ω=2+8k，k∈Z.又0<ω<10，所以ω=2，則f(x)=cosf5π8=cos當x∈7π8,11fx+故選：B.【變式7-1】（2024·天津·模擬預(yù)測）已知fx=sinωx+π①φ=π②若gx的最小正周期為3π，則③若gx在區(qū)間0,π上有且僅有3個最值點，則ω的取值范圍為④若gπ4=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【解答過程】對于①：若fx=sin則π3+φ=π2+kπ,k∈Z對于②：若gx的最小正周期為3π且ω>0，則T=2對于③：由x∈0,π，ω>0，得若gx在區(qū)間0,π上有且僅有則5π2<ω對于④：因為gx=sin則π4ω+π6=解得ω=23+8k又ω>0，所以ω的最小值為23故選：A.【變式7-2】（2024·河北唐山·一模）已知函數(shù)fx=sinA．fx在?π8,π8單調(diào)遞增C．fx在?π6,π6的值域為1【解題思路】由函數(shù)fx的最小正周期為π，求出ω=2，再代入化簡fx，畫出【解答過程】因為函數(shù)fx的最小正周期為π，所以ω=2所以函數(shù)f即fx=2如下圖所示：對于A，由圖可知，fx在?對于B，由圖象可知，fx對于C，由圖象可知，fx為偶函數(shù)，當x∈2x+π4∈所以2sin2x+π4∈1,2對于D，由圖象可知，fx的對稱軸為x=故選：C.【變式7-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx①fx的圖象關(guān)于點π②函數(shù)?x=f③函數(shù)gx=2fx④對于函數(shù)gx其中所有正確結(jié)論的序號為（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④【解題思路】利用中心對稱的性質(zhì)驗證判斷A；求出周期判斷B；探討函數(shù)單調(diào)性判斷C；計算判斷D.【解答過程】對于①，由cosx≠0得fx的定義域為f(π因此f(x)的圖象關(guān)于點(π對于②，因為?π所以π是?x對于③，當x∈0,π2時，cos故gx因為t=cosx在0,π2上單調(diào)遞減，所以，由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)gx在0,對于④，由上知，當x∈0,π2g(x+=2(?cos因此3|g(x)|=g(x+π故選：C.【題型8三角函數(shù)的零點問題】【例8】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=3cosωx+φω<0，?π2<φ<πA．π6,π2 B．?π2【解題思路】根據(jù)給定周期求得ω=?2，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性及零點所在區(qū)間列出不等式組，然后結(jié)合已知求出范圍.【解答過程】由函數(shù)f(x)的最小正周期為π，得2π|ω|=π，而則f(x)=3cos(?2x+φ)=3cos得2kπ+φ≤2x≤2kπ+π因此2kπ+φ≤?π3，且由余弦函數(shù)的零點，得2x?φ=nπ+π而f(x)在(0,π6)于是?nπ?π2<φ<?n所以φ的取值范圍是(?π故選：B.【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sin2πωxω>0在區(qū)間0,2上單調(diào)，且在區(qū)間0,18A．19,5C．19,1【解題思路】根據(jù)復(fù)合型三角函數(shù)最小正周期的計算公式，結(jié)合其單調(diào)性和零點，可得答案.【解答過程】因為fx=sin2π因為fx在區(qū)間0,2上單調(diào)，所以14T=因為fx在區(qū)間0,18上有5個零點，所以2T≤18<52T，即綜上，19故選：D．【變式8-2】（2024·全國·一模）已知函數(shù)fx=sinωx+π3(ω>0)A．83,11C．[113,【解題思路】先由零點個數(shù)求出3≤ω<6，再用整體法得到不等式組，求出ω的取值范圍.【解答過程】因為x∈π3,π，ωx+π則π3ω+π滿足①π+2k1π≤π3ω+或要滿足②2k2π≤π3ω+經(jīng)檢驗，滿足題意，其他情況均不滿足3≤ω<6條件，綜上：ω的取值范圍是113故選：C.【變式8-3】（2023·四川雅安·一模）已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且?π2<φ<π2），設(shè)T為函數(shù)f(x)的最小正周期，fT4A．17π6,23π6 B．17【解題思路】根據(jù)題意可確定T為函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，結(jié)合fT4=?1求出φ【解答過程】由題意知T為函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，故由fT4=?1得2由于?π2<φ<f(x)在區(qū)間[0,1]有且只有三個零點，故ωx+π且由于y=cosx在(0,+∞)上使得cosx=0故5π2≤ω+π6<故選：D.【題型9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例9】（2024·上海金山·二模）已知函數(shù)y=f(x)，記f(x)=sinωx+φ，ω>0，0<φ<π(1)若函數(shù)y=f(x)的最小正周期為π，當f(π6)=1時，求ω(2)若ω=1，φ=π6，函數(shù)y=f【解題思路】（1）利用三角函數(shù)的周期公式求得ω，再利用三角函數(shù)的值域與周期性求得φ，從而得解；（2）根據(jù)題意，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為t2?2t?a=0在【解答過程】（1）因為函數(shù)y=f(x)的最小正周期2πω=則當x=π6時，所以π3+φ=2kπ因為0<φ<π，所以取k=0得φ=（2）解法一：當ω=1，φ=π6時，fx設(shè)t=fx由題意得，t2?2t?a=0在x∈[?1,1]有解，化簡得又g(t)=t2?2t=所以?1≤g(t)≤3，則a∈[?1,3].解法二：當ω=1，φ=π6時，fx設(shè)t=fx由題意得，t2?2t?a=0在記?(t)=t2?2t?a則由根的分布可得Δ≥0??1≥0，即所以a∈[?1,3].【變式9-1】（2023·北京海淀·三模）已知函數(shù)fx=2sinωx+π(1)求fπ(2)若函數(shù)fx在區(qū)間0,a上是增函數(shù)，求實數(shù)a條件①：f0=2；條件②：fx最大值與最小值之和為0；條件③：f【解題思路】（1）選擇適合的條件求出ω和m的值，得出函數(shù)fx的表達式，即可求出f（2）求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間0,a上是增函數(shù)即可求出實數(shù)a的最大值.【解答過程】（1）由題意，在fx選條件①②：由①知，f0=2sin由②知，2?3+m+∴函數(shù)fx∴不能選①和②.選條件①③：由條件③得，T=2πω=π由①知，f0=2sin則fx所以f選條件②③：由于fx最小正周期為π，所以ω=2，所以f由fx最大值與最小值之和為0，fx故?2?3+m+2?3所以fx=2sin（2）由題意及（1）得，選條件①③：在fx令?π∴?5∴函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為?∵函數(shù)在區(qū)間0,a上單調(diào)遞增，且0∈?5π所以a≤π∴a的最大值為π12選條件②③：令?π2+2k所以函數(shù)fx的單調(diào)增區(qū)間為?因為函數(shù)在區(qū)間0,a上單調(diào)遞增，且0∈?5π∴a的最大值為π12【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=?2cos(1)證明：fx的圖象關(guān)于直線x=(2)設(shè)fx在π,3π2（?。┣髏的取值范圍；（ⅱ）證明：m+n<5【解題思路】（1）利用平方關(guān)系將函數(shù)變形為fx=2sin（2）（ⅰ）令k=sinx則k∈?1,0，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程2k2+2k+3t?2=0在?1,0上有兩個不相等實數(shù)根，即可得到3t?2>02×?12【解答過程】（1）因為f=?2=2sin因為fπ?x=2所以fx的圖象關(guān)于直線x=（2）（?。┝頺=sinx，因為x∈π,3則2sin2x+2因為y=sinx在所以關(guān)于k的方程2k2+2k+3t?2=0所以3t?2>02×?12即t的取值范圍為23（ⅱ）令k1=sinm<0，k2=sinn<0，則所以k1+k所以sinm+所以sinm+sinn因為2sin所以sin2m+sin由于π<n<3π2，π則?sinm<?sin又y=sinx在π,3π【變式9-3】（23-24高一下·江蘇鹽城·開學考試）已知函數(shù)f(x)=2sin(1)若fx1≤fx≤f(2)已知0<ω<5，函數(shù)f(x)圖象向右平移π6個單位，得到函數(shù)gx的圖象，x=π3是gx的一個零點，若函數(shù)gx在[m,n]（(3)已知函數(shù)?(x)=acos(2x?π6)?2a+3(a>0)，在第（2）問條件下，若對任意x1∈[0,【解題思路】（1）由fx1≤fx≤fx2，x1?x2min=π2可求得函數(shù)f【解答過程】（1）∵f(x)=2sin(2ωx+π又∵fx1≤fx≤fx2故T=2π2ω當ω=1時，fx=2sin2x+π6+1當ω=?1時，fx=2sin?2x+π6+1綜上所述，fx的對稱中心為?π12（2）∵函數(shù)fx圖象向右平移π6個單位，得到函數(shù)∴g(x)=2sin又∵x=π3是g(π3)=2∴π3ω+π解得ω=3+6kk∈Z或由0<ω<5可得ω=3∴g(x)=2sin6x?5π令gx=0即6x?5π6=?π6+2k1π若函數(shù)gx在[m,n]（m,n∈R且m<n）上恰好有10個零點，故要使n?m最小，須m、n恰好為gx的零點，故n?m（3）由（2）知g(x)=2sin6x?5π6+1，對任意x1∈[0,當x2∈[0,π當x1∈[0,π由{y|y=?(x)}?{y|y=g(x)故實數(shù)a的取值范圍為0,8一、單選題1．（2024·福建泉州·一模）已知函數(shù)f(x)的周期為π，且在區(qū)間π6,π3內(nèi)單調(diào)遞增，則A．f(x)=sinx?πC．f(x)=sin2x?π【解題思路】根據(jù)函數(shù)周期排除AB，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷CD即可.【解答過程】因為函數(shù)f(x)的周期為π，所以當ω>0時，對正、余弦函數(shù)來說，ω=2當x∈π6,因為y=sinx在故選：C.2．（2024·江西九江·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=eA． B．C． D．【解題思路】判斷函數(shù)的奇偶性，并判斷x∈0,【解答過程】∵f(x)=(e∴定義域為R，關(guān)于原點對稱，由f(?x)=(e所以f(x)為奇函數(shù)，排除BD；當0<x<π2時，cosx>0，因為y=e?x為R則y=e?x?ex為R上的減函數(shù)，且當x=0e?x?e故選：C.3．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)fx=sinx+φ?π2<φ<0的圖象關(guān)于點π12,0對稱，若當A．?π6 B．?5π12 【解題思路】利用正弦型函數(shù)的對稱性可得φ，再利用正弦型函數(shù)的最小值即可得解.【解答過程】由題意可得π12+φ=kπ又?π2<φ<0，故φ=?當x∈m,π3時，x?π12則m?π12≤?π2，故m≤?故選：B.4．（2024·廣東汕頭·三模）已知A，B，C是直線y=m與函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的圖象的三個交點，如圖所示．其中，點A(0,2)，B，C兩點的橫坐標分別為xA．φ=π4 C．f(x)的圖象關(guān)于(π,0)中心對稱 D．f(x)在【解題思路】根據(jù)給定條件，可得f(x)=2sin(ωx+3π4)，進而求得【解答過程】由f(0)=2sinφ=2，得sinφ=22，而0<φ<π于是f(x)=2sin(ωx+3π4)，顯然由A點橫坐標xA=0，即ωxA+解得x1=3π2ω，x2=2π對于A，φ=3對于B，f(π對于C，f(π)=2sin(2π對于D，當x∈[0,π2]時，3π4≤2x+3又3π8∈(0,π2故選：B.5．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,?π2<φ<π2，且x=πA．A=3 B．ω=2C．φ=?π6 【解題思路】對于A，由?x∈R,f(x)≤3判斷，對于B，由題意可得T2=2π3?π6，結(jié)合周期公式可求出【解答過程】對于A，因為?x∈R,f(x)≤3,A>0，所以對于B，f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2所以其周期T2=π對于C，令π6×2+φ=kπ(k∈又因為|φ|<π2，所以對于D，由以上可知f(x)=3sin2x?π所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=?π12對稱，所以故選：C.6．（2024·天津濱海新·三模）已知函數(shù)fx（1）函數(shù)fx的圖象關(guān)于點5（2）函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=?（3）函數(shù)fx在區(qū)間?（4）函數(shù)fx在區(qū)間?以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【解答過程】對于（1），由f(5所以5π12,0對于（2）中，由f(?π所以x=?π8不是函數(shù)對于（3）中，令2x?π6=k當k=0時，可得x=π12；當k=1時，可得x=7π12；當當k=?2時，可得x=?11π12，所以在?π對于（4）中，由x∈?π2,0，可得故選：A.7．（2024·青海海南·二模）已知函數(shù)f(x)=cosωx?π3,ω>0,x∈R，且f(α)=?1,f(β)=0.若|α?β|的最小值為πA．?π3+kC．?π12+k【解題思路】先求出函數(shù)f(x)的周期，再求出ω，求出函數(shù)f(x)的解析式，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【解答過程】函數(shù)f(x)=cosωx?π3,ω>0,x∈R，且f(α)=?1,f(β)=0則T4=π4，所以T=π，故2令2kπ?π故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為?π故選：A.8．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sinωx+π3（ω>0）在區(qū)間0,5π6A．45,2 B．45,54【解題思路】由x范圍求得ωx+π3的范圍，結(jié)合整體思想轉(zhuǎn)化為y=sint在【解答過程】當x∈0,5π因為f(x)在0,5所以π<5π當x∈?2π因為45<ω≤2，所以又因為f(x)在?2所以?π2≤?綜上可得45故選：C.二、多選題9．（2024·吉林·二模）已知函數(shù)fx=AsinA．φ=B．函數(shù)fx在πC．方程fx=1D．θ=?π6是函數(shù)【解題思路】對于A：根據(jù)圖象結(jié)合五點法求相應(yīng)參數(shù)即可；對于B：以2x+π3為整體，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于C：以2x+π【解答過程】由圖象可得：A=2，且圖象過點0,3則f0=2sin且0<φ<π2，可得則fx由ω>0結(jié)合圖象可得fπ則π12ω+π所以fx對于B：因為x∈π12,且y=sinx在π2,4π對于C：令fx=1，即則2x+π3=2k解得x=kπ?π所以方程fx=1的解集為x|x=kπ對于D：若θ=?π6，則若fx+θ則2θ+π3=k可知不一定得到θ=?π綜上所述：θ=?π6是函數(shù)故選：ABD.10．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)fx=3A．fxB．函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=C．不等式fx>D．若fx在區(qū)間?π2,【解題思路】對于A，由正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解，對于B，由ωx+π3=kπ+π2,k∈Z，可求出對稱軸方程判斷，對于C，由sinωx+【解答過程】對于A，fx的最大值為3對于B，令ωx+π3=k所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=對于C，不等式fx>32可化為sinωx+因此原不等式的解集為2kπ對于D，由2kπ?π2≤ωx+因為fx在區(qū)間?π2所以?5π6ω故選：BCD.11．（2024·貴州貴陽·二模）函數(shù)f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<πA．ω?φ=B．f(x)在0,π3C．函數(shù)y=|f(x)|的圖象關(guān)于直線x=5D．若函數(shù)y=|f(x)|+λf(x)在區(qū)間?5π6,【解題思路】根據(jù)正切型三角函數(shù)的圖象性質(zhì)確定其最小正周期，從而得ω的值，再根據(jù)函數(shù)特殊點求得φ,A的值，從而可得解析式，再由正切型三角函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.【解答過程】函數(shù)的最小正周期為T，則有T=πω=由函數(shù)的圖象可知：π6+φ=π由圖象可知：f(0)=Atanπ3=23關(guān)于B,f(x)=2tanx+π3，當x=π6故B錯誤.因為f5π所以f5π3?x=fy=|f(x)|+λf(x)=2當x∈?π3,π當x∈?5π6,?π當函數(shù)y=|f(x)|+λf(x)在區(qū)間?5π6故選：CD．三、填空題12．（2024·河北衡水·三模）已知x=112是函數(shù)f(x)=sin(3πx+φ)0<φ<π2的一條對稱軸，f(x)【解題思路】根據(jù)函數(shù)的對稱軸求出φ=π【解答過程】由題意知x=112是函數(shù)故3π12+φ=π2+kπ(k∈Z)故f(x)=sin3πx+π原點附近的6個對稱中心分別為?3若3個對稱中心恰好是?1則?512≤?t<?若3個對稱中心恰好是?5則?34≤?t<?故當512故t的取值范圍為(5故答案為：(513．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=2cosωx+π3?1(ω>0)在0,【解題思路】結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可得.【解答過程】由fx=0，得由0<x<π，得π由在0,π上恰有兩個零點可得7解得2<ω≤10

故答案為：2,1014．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sin2x+φ(φ>0)圖象的一個對稱中心為π6,0，且fx在【解題思路】根據(jù)題意，由fx的一個對稱中心為π6,0，可得φ=?π3+k1π，k【解答過程】因為fx的一個對稱中心為π6,0，所以