山東省濟寧市實驗中學2024-2025學年高二上學期9月月考數學試題

濟寧市實驗中學高二年級第一學期九月模塊測試數學試題注意事項：1．答卷前，先將自己的考生號等信息填寫在試卷和答題紙上，并在答題紙規(guī)定位置貼條形碼.2．本試卷滿分150分，分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷為第1頁至第2頁，第Ⅱ卷為第3頁至第4頁.3．選擇題的作答：每小題選出答案后，用28鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.4．非選擇題的作答：用0.5mm黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.以下事件是隨機事件的是（）A.標準大氣壓下，水加熱到，必會沸騰 B.走到十字路口，遇到紅燈C.長和寬分別為的矩形，其面積為 D.實系數一元一次方程必有一實根【答案】B【解析】【分析】根據隨機事件的概念判斷即可【詳解】解：A．標準大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；故本選項不符合題意；B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；故本選項符合題意；C．長和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項不符合題意；D．實系數一元一次方程必有一實根，是必然事件．故本選項不符合題意．故選：B．2.抽查10件產品，設事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為A.至多兩件次品 B.至多一件次品C至多兩件正品 D.至少兩件正品【答案】B【解析】【詳解】試題分析：事件A不包含沒有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的對立事件為至多一件次品．故B正確．考點：對立事件．3.兩名同學分3本不同的書，其中一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列舉出所有的可能事件，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】兩名同學分3本不同的書，記為，基本事件有(0，3)，(1a，2)，(1b，2)，(1c，2)，(2，1a)，(2，1b)，(2，1c)，(3，0)，共8個，其中一人沒有分到書，另一人分到3本書的基本事件有2個，∴一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率p＝＝.故選:B4.擲一個骰子的試驗，事件A表示“小于5的偶數點出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點數出現(xiàn)”，則一次試驗中事件發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由互斥事件的概率可知，從而得解.【詳解】由已知得：，，事件B表示“小于5點數出現(xiàn)”，則事件表示“出現(xiàn)5點或6點”故事件與事件互斥，故選：C5.直三棱柱中，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量線性運算法則即可求解．【詳解】.故選：D．6.已知空間向量，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，在中由余弦定理求解.【詳解】空間向量，，，，則三向量可能構成三角形的三邊.如圖，設，則中，，.故選：D7.端午節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為，乙,丙回老家過節(jié)的概率分別為.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少1人回老家過節(jié)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】這段時間內至少1人回老家過節(jié)的對立事件是這段時間沒有人回老家過節(jié)，由此能求出這段時間內至少1人回老家過節(jié)的概率.【詳解】端午節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為，乙,丙回老家過節(jié)的概率分別為.假定三人的行動相互之間沒有影響，這段時間內至少1人回老家過節(jié)的對立事件是這段時間沒有人回老家過節(jié)，這段時間內至少1人回老家過節(jié)的概率為：.故選：B.8.在調查運動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關緊要的問題是：“你的身份證號碼的尾數是奇數嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調查的運動員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題．由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道，所以應答者一般樂意如實地回答問題．如我們把這種方法用于300個被調查的運動員，得到80個“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為（）A.4.33% B.3.33% C.3.44% D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一個問題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用過興奮劑的人有5人，從而得到答案.【詳解】因為拋硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率為，大約有150人回答第一個問題，又身份證號碼的尾數是奇數或偶數是等可能的，在回答第一個問題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，共有80個“是”的回答，故回答服用過興奮劑的人有5人，因此我們估計這群人中，服用過興奮劑的百分率大約為3.33%.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.在平行六面體中，若所在直線的方向向量為，則所在直線的方向向量可能為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】由已知可得，所以它們的方向向量共線，利用向量共線的坐標關系，即可判斷各個選項.【詳解】由已知可得，故它們的方向向量共線，對于B選項，，滿足題意；對于C選項，，滿足題意；由于A、D選項不滿足題意．故選：BC.10.下列各組事件中，是互斥事件的是（）A.一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數大于8與命中環(huán)數小于6B.統(tǒng)計一個班的數學成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分C.播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D.檢驗某種產品，合格率高于70%與合格率低于70%【答案】ACD【解析】【分析】根據互斥事件的定義，兩個事件不會同時發(fā)生，命中環(huán)數大于8與命中環(huán)數小于6，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒，合格率高于與合格率為均為互斥事件，而平均分數不低于90分與平均分數不高于90分，當平均分為90分時可同時發(fā)生，即得解.【詳解】根據互斥事件的定義，兩個事件不會同時發(fā)生，對于A，一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數大于8與命中環(huán)數小于6,為互斥事件；對于B，統(tǒng)計一個班級數學期中考試成績，平均分數不低于90分與平均分數不高于90分當平均分為90分時可同時發(fā)生，不為互斥事件；對于C，播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒,為互斥事件；對于D，檢查某種產品，合格率高于與合格率,為互斥事件；故選：ACD.11.已知點為三棱錐的底面所在平面內的一點，且（，），則，的值可能為（）A.， B.， C.， D.，【答案】CD【解析】【分析】根據平面向量基本定理，結合空間向量加法的幾何意義進行求解即可.【詳解】因為點為三棱錐的底面所在平面內的一點，所以由平面向量基本定理可知：，化簡得：，顯然有，而，所以有，當，時，，所以選項A不可能；當，時，，所以選項B不可能；當，時，，所以選項C可能；當，時，，所以選項D可能，故選：CD第Ⅱ卷（非選擇題）三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構成三角形的概率是________．【答案】【解析】【詳解】從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條這一事件共有4種，而不能構成三角形的情形為2,3,5.所以這三條線段為邊可以構成三角形的概率是P＝.13.已知事件A，B，C兩兩互斥，且，，，則______．【答案】0.9##【解析】【分析】由互斥事件與對立事件的相關公式求解詳解】由題意得，則．故答案為：0.914.在長方體中，，以D為原點，，，方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則______，若點P為線段AB的中點，則P到平面距離為______．【答案】①.②.##【解析】【分析】第一空，根據向量的坐標運算可得答案；第二空，求出平面的法向量，利用向量法求點到平面的距離即可得解.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，因為，則，，，，，所以，，，，設平面的法向量為，則，即，令，則，故，則P到平面距離為.故答案為：；.四．解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知且求（2）已知，求【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知，利用向量數量積運算，結合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由，兩邊平方，展開運算即可.【詳解】（1）因為且，所以.（2）因為，則，所以，化簡得，所以.16.已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數分別為240，160，160．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽?。访瑢W去某敬老院參加獻愛心活動．（Ⅰ）應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？（Ⅱ）設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作．（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；（ii）設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）見解析（ii）【解析】【詳解】分析：（Ⅰ）結合人數的比值可知應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由題意列出所有可能的結果即可，共有21種．（ii）由題意結合（i）中的結果和古典概型計算公式可得事件M發(fā)生的概率為P（M）=．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學，因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．（ii）由（Ⅰ），不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的所有可能結果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事件M發(fā)生的概率為P（M）=．點睛：本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數、古典概型及其概率計算公式等基本知識．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．17.甲、乙二人進行一次圍棋比賽，采用5局3勝制，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，同時比賽結束．假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．（1）求再賽2局結束這次比賽的概率；（2）求甲獲得這次比賽勝利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再賽2局結束這次比賽分“第三、四局甲勝”與“第三、四局乙勝”兩類情況，根據根據互斥事件的概率和及獨立事件同時發(fā)生的概率求解可得；（2）由題意，甲獲得這次比賽勝利只需后續(xù)比賽中甲先勝兩局即可，根據互斥事件的概率和及獨立事件同時發(fā)生的概率求解即可.【小問1詳解】用表示事件“第局甲勝”，表示事件“第局乙勝”（），設“再賽2局結束這次比賽”為事件，則，由于各局比賽結果相互獨立，且事件與事件互斥.所以．故再賽2局結束這次比賽的概率為.【小問2詳解】記“甲獲得這次比賽勝利”為事件，因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲成為勝方當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而，由于各局比賽結果相互獨立，且事件，，兩兩互斥，所以.故甲獲得這次比賽勝利的概率為.18.如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．求證：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【詳解】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設AC∩BD＝N，連結NE.則N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.∴＝，＝.∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，∴＝(0，，1)，∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.19.在長方體中，，為線段中點．（1）求直線與直線所成的角的余弦值；（2）在棱上是否存在一