專項(xiàng)11-角度計(jì)算模型-8字型-專題訓(xùn)練

角度計(jì)算模型-8字型-專題訓(xùn)練1．如圖所示，∠α的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°2．如圖，BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°3．如圖，五角星的五個角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°4．如圖，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，AE平分∠DAB，CE平分∠BCD，當(dāng)∠B＝50°，∠D＝40°時，∠E的度數(shù)是．5．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．6．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝°．7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，DF平分∠ADE，BF平分∠ABC．設(shè)∠A＝n°，求∠F的度數(shù)（用含n的式子表示）．8．我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD互為對頂角，則△AOB與△COD為“對頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）如圖1，在“對頂三角形”△AOB與△COD中，∠AOB＝70°，則∠C+∠D＝°．（2）如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度數(shù)．9．已知線段AB與CD相交于點(diǎn)O，連接AD，BC．（1）如圖1，試說明：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）請利用（1）的結(jié)論探索下列問題：①如圖2，作AP平分∠DAB，交DC于點(diǎn)M，交∠BCD的平分線于點(diǎn)P，PC交AB于點(diǎn)N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大??；②如圖3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP=14∠BAD，∠BCP=110．（1）如圖1，求證∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，∠ABC和∠ADC的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A+∠C＝50°，求∠P的度數(shù)；（3）如圖3，∠BAD和∠BCD的外角角平分線相交于點(diǎn)O，請?zhí)骄俊螼與∠B，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論．11．在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學(xué)老師安排了自主探究內(nèi)容一利用平行線有關(guān)知識探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個平角來解決，也就是可以過三角形的一個頂點(diǎn)作其對邊的平行線來證明．請將下面（1）中的證明補(bǔ)充完整：（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點(diǎn)A作EF∥BC．（2）如圖2，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．12．如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．請直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：個；②若∠D＝40°，∠B＝50°，試求∠P的度數(shù)；③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；④若∠D和∠B為任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請直接寫出結(jié)論；若不存在，請說明理由．13．如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上結(jié)論解決下列問題：（2）如圖2所示，∠1＝130°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．（3）如圖3，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，且與CD，AB分別相交于點(diǎn)M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)．②若角平分線中角的關(guān)系改成“∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB”，試直接寫出∠P與∠14．探究與發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)，四條線段AB、BC、CD、DA首尾順次相接，BC與AD相交于點(diǎn)O．（1）如圖1，若∠B＝24°，∠D＝42°，∠BAD和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)M，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠B＝50°，∠D＝32°，∠BAM=13∠BAD，∠BCM=13∠（3）如圖3，設(shè)∠B＝x°，∠D＝y(tǒng)°，∠BAM=1n∠BAD，∠BCM=1n∠BCD，用含n、x、15．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用問題（1）中的結(jié)論）如圖2，BP、DP分別平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度數(shù)；②∠A和∠C為任意角時，其他條件不變，猜想∠P與∠A、∠C之間數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）在圖3中，點(diǎn)E為CD延長線上一點(diǎn)，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延長線與DP交于點(diǎn)P，請直接寫出∠P與∠16．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A，∠B，∠C，∠D四個角的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，若∠BCD，∠ADE的角平分線CP，DP交于點(diǎn)P，則∠P與∠A，∠B的數(shù)量關(guān)系為∠P＝；（3）如圖3，CM，DN分別平分∠BCD，∠ADE，當(dāng)∠A+∠B＝80°時，試求∠M+∠N的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；（4）如圖4，如果∠MCD=13∠BCD，∠NDE=13∠ADE，當(dāng)∠A+∠B＝n°時，試求∠17．閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，則∠A＝（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為．（用x、拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．

角度計(jì)算模型-8字型-專題訓(xùn)練（解析版）1．如圖所示，∠α的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故選：A．2．如圖，BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故選：B．3．如圖，五角星的五個角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180° B．90° C．270° D．240°【解答】解：連接CD，設(shè)BD與CE交于點(diǎn)O，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．故選：A．4．如圖，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，AE平分∠DAB，CE平分∠BCD，當(dāng)∠B＝50°，∠D＝40°時，∠E的度數(shù)是45°．【解答】解：∵AE平分∠DAB，CE平分∠BCD，∴∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE，∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠DAE+∠D＝∠DCE+∠E，∠BAE+∠E＝∠BCE+∠B，∴∠D﹣∠E＝∠E﹣∠B，∴∠E=12（∠D+∠∵∠B＝50°，∠D＝40°，∴∠E＝45°，故答案為：45°．5．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°．【解答】解：連接AD，在△AOD和△BOC中，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠B+∠C＝∠1+∠2，∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，故答案為：360°．6．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．【解答】解：連接CF，∵∠D+∠E+∠DOE＝∠OCF+∠OFC+∠COF＝180°，∠DOE＝∠COF，∴∠D+∠E＝∠OCF+∠OFC，∵∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，DF平分∠ADE，BF平分∠ABC．設(shè)∠A＝n°，求∠F的度數(shù)（用含n的式子表示）．【解答】解：∵DF平分∠ADE，BF平分∠ABC，∴∠ADE＝2∠ADF，∠ABC＝2∠ABF，∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠ADE，∴∠BCD＝∠ADE＝2∠ADF，∵∠ABF+∠A＝∠F+∠ADE，∴∠ABF＝∠F+∠ADE﹣n°，∠BCD＝∠A+∠ABC，∴2∠ADF＝n°+2∠ABF，∴2∠ADF＝n°+2（∠F+∠ADE﹣n°）＝n°+2∠F+2∠ADE﹣2n°，∴∠F=128．我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD互為對頂角，則△AOB與△COD為“對頂三角形”，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A+∠B＝∠C+∠D．（1）如圖1，在“對頂三角形”△AOB與△COD中，∠AOB＝70°，則∠C+∠D＝110°．（2）如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度數(shù)．【解答】解：（1）由對頂三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣70°＝110°，∴∠C+∠D＝110°，故答案為：110；（2）∵AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝120°，∴2∠1+2∠3＝120°，∴∠1+∠3＝60°，由圖知△ABF與△DEF為對頂三角形，∴∠1+∠3＝∠ADE+∠BED＝60°①，又∵∠ADE比∠BED大6°，∴∠ADE﹣∠BED＝6°②，聯(lián)立①②得∠ADE+∠BED=60°∠ADE?∠BED=6°解得∠ADE=33°∠BED=27°∴∠BED＝27°．答：∠BED的度數(shù)為27°．9．已知線段AB與CD相交于點(diǎn)O，連接AD，BC．（1）如圖1，試說明：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）請利用（1）的結(jié)論探索下列問題：①如圖2，作AP平分∠DAB，交DC于點(diǎn)M，交∠BCD的平分線于點(diǎn)P，PC交AB于點(diǎn)N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小；②如圖3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP=14∠BAD，∠BCP=1【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠B+∠C+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1），得∠1+∠D＝∠3+∠P，①，∠4+∠B＝∠2+∠P．②，①+②，得∠1+∠4+∠B+∠D＝∠2+∠3+2∠P，即2∠P＝∠B+∠D，∴∠P=1（3）設(shè)∠6＝x，∠8＝y(tǒng)．∵∠BAP=14∠BAD，∴∠5＝3x，∠7＝3y，由（1），得∠5+∠D＝∠7+∠P，∠6+∠P＝∠8+∠B，即3x+β＝3y+γ，x+γ＝y(tǒng)+α，∴3（x﹣y）＝γ﹣β，x﹣y＝α﹣γ，∴3（α﹣γ）＝γ﹣β，即4γ＝3α+β．∴α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系是4γ＝3α+β．10．（1）如圖1，求證∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，∠ABC和∠ADC的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A+∠C＝50°，求∠P的度數(shù)；（3）如圖3，∠BAD和∠BCD的外角角平分線相交于點(diǎn)O，請?zhí)骄俊螼與∠B，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論．【解答】（1）證明：記AD與BC的交點(diǎn)為E，則∠AEC為△ABE與△CDE的外角，∴∠AEC＝∠A+∠B，∠AEC＝∠D+∠C，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）解：記AD與BC的交點(diǎn)為E，AD與BP的交點(diǎn)為F，記PD與BC的交點(diǎn)為G，∵AD與BP交于點(diǎn)F，PD與BC交于點(diǎn)G，∴∠A+∠ABP＝∠P+∠ADP，∠P+∠PBC＝∠C+∠PDC，∴2∠P+∠ADP+∠PBC＝∠A+∠ABP+∠C+∠PDC，∵BP、DP分別平分∠ABC和∠ADC，∴∠ABP＝∠PBC，∠ADP＝∠PDC，∴2∠P＝∠A+∠C，∵∠A+∠C＝50°，∴2∠P＝50°，∴∠P＝25°．（3）解：∠O＝180°?12（∠B+∠∵AO平分∠BAD的外角，CO平分∠BCD的外角，∴∠OAE=12（180°﹣∠BAD），∠OCE=1∴∠OAE+∠OCE=12（180°﹣∠BAD）+12（180°﹣∠BCD）＝180°?1由（1）得，∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD＝∠AEC，∴2∠AEC＝∠B+∠D+∠BAD+∠AEC，∴∠AEC=12（∠B+∠D+∠BAD+∠∴∠O＝360°﹣∠OAE﹣∠OCE﹣∠AEC＝360°﹣[180°?12（∠BAD+∠BCD）]?12（∠B+∠D+∠BAD+∠AEC）＝180°?111．在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學(xué)老師安排了自主探究內(nèi)容一利用平行線有關(guān)知識探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個平角來解決，也就是可以過三角形的一個頂點(diǎn)作其對邊的平行線來證明．請將下面（1）中的證明補(bǔ)充完整：（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點(diǎn)A作EF∥BC．（2）如圖2，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）證明：過A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根據(jù)（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根據(jù)（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．12．如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．請直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：①仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：6個；②若∠D＝40°，∠B＝50°，試求∠P的度數(shù)；③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；④若∠D和∠B為任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請直接寫出結(jié)論；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，∠B+∠C＝180°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；故答案為∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①以M為交點(diǎn)的有1個，為△AMD和△CMP，以O(shè)為交點(diǎn)的有4個，為△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，△AOM和△CON，以N為交點(diǎn)的有1個，為△ANP和△BNC，故答案為6個；②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的結(jié)論得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P，∴∠P=50°+40°③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下：∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的結(jié)論得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P；④2∠B+∠D＝3∠P，理由如下：由（1）中結(jié)論得：∠2+∠P＝∠4+∠B，3∠2+∠D＝3∠4+∠B，整理得：2∠B+∠D＝3∠P．13．如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上結(jié)論解決下列問題：（2）如圖2所示，∠1＝130°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為260°．（3）如圖3，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，且與CD，AB分別相交于點(diǎn)M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)．②若角平分線中角的關(guān)系改成“∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB”，試直接寫出∠P與∠【解答】解：（1）證明：在圖1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如圖2所示，∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D＝∠3，∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°，∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，∵∠B+∠C＝∠1＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案為：260°．（3）①以M為交點(diǎn)“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N為交點(diǎn)“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分別平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P=12（∠B+∠C）②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP=14∠CAB，∠CDP=1∴∠BAP=34∠CAB，∠BDP=3以M為交點(diǎn)“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N為交點(diǎn)“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP=14（∠CDB﹣∠∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP=34（∠CDB﹣∠∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴4∠P＝∠B+3∠C．14．探究與發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)，四條線段AB、BC、CD、DA首尾順次相接，BC與AD相交于點(diǎn)O．（1）如圖1，若∠B＝24°，∠D＝42°，∠BAD和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)M，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠B＝50°，∠D＝32°，∠BAM=13∠BAD，∠BCM=13∠（3）如圖3，設(shè)∠B＝x°，∠D＝y(tǒng)°，∠BAM=1n∠BAD，∠BCM=1n∠BCD，用含n、x、【解答】解：（1）如圖1，設(shè)∠COD＝x°，則∠AOB＝∠COD＝x°，△COD中∠BCD＝180°﹣∠ADC﹣∠COD＝180°﹣42°﹣x＝138°﹣x，∵CM平分∠BCD得到：∠BCM=12∠BCD＝69°?同理：∠BAM＝∠MAD＝78°?12在△ABP中利用三角形內(nèi)角和定理得到∠APB＝180°﹣24°﹣（78°?12x）＝78°+則∠CPM＝∠APB＝180°﹣24°﹣（78°?12x）＝78°+在△CPM中三內(nèi)角的和是180°，即：（69°?12x）+（78°+12則∠AMC＝33°；（2）如圖2：設(shè)∠COD＝x°，則∠AOB＝∠COD＝x°，△COD中∠BCD＝180°﹣∠ADC﹣∠COD＝180°﹣32°﹣x＝148°﹣x，∵CM平分∠BCD得到：∠BCM=13∠BCD=同理：∠BAM＝∠MAD=130°3在△ABP中利用三角形內(nèi)角和定理得到∠APB＝180°﹣50°﹣（130°3?13則∠CPM＝∠APB＝180°﹣50°﹣（130°3?13在△CPM中三內(nèi)角的和是180°，即：（148°3?13x）+（136°+∠AMC＝180°所以∠M＝44°．（3）∠M＝∠B+1n（∠BAD﹣∠BCD）＝∠B+1n（∠D﹣∠B）＝x+1n（y﹣x15．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）（可直接使用問題（1）中的結(jié)論）如圖2，BP、DP分別平分∠ABC、∠ADC；①若∠A＝36°，∠C＝28°，求∠P的度數(shù)；②∠A和∠C為任意角時，其他條件不變，猜想∠P與∠A、∠C之間數(shù)量關(guān)系，并給出證明．（3）在圖3中，點(diǎn)E為CD延長線上一點(diǎn)，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延長線與DP交于點(diǎn)P，請直接寫出∠P與∠【解答】解：（1）設(shè)AD與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)O，則∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）①由（1）得：∠P+∠PBC＝∠CDP+∠C，∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，兩式相加得：2∠P+∠PBC+∠ADP＝∠A+∠C+∠CDP+∠ABP，∵BP、DP分別平分∠ABC、∠ADC，∴∠PBC＝∠ABP，∠ADP＝∠CDP，∴∠C+∠A＝2∠P，∴∠P=12（∠A+∠②由①可得：∠C+∠A＝2∠P；（3）由（1）得：∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA，∴14∠A+14∠ABC=14∠∴14∠A+∠CBQ=14∠設(shè)AD與PQ的交點(diǎn)為點(diǎn)O，則∠CBQ+∠BOD＝∠C+∠ADC，兩式相減可得：∠BOD?14∠A=34∠C+∠∴∠BOD?14∠A=34∠∴45°?14∠A=34∠C+180°﹣∠∵∠P＝180°﹣∠BOD﹣∠ADP，∴45°?14∠A=34∠即∠A+3∠C+4∠P＝180°．16．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A，∠B，∠C，∠D四個角的數(shù)量關(guān)系是∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，若∠BCD，∠ADE的角平分線CP，DP交于點(diǎn)P，則∠P與∠A，∠B的數(shù)量關(guān)系為∠P＝90°?12（∠A+∠B（3）如圖3，CM，DN分別平分∠BCD，∠ADE，當(dāng)∠A+∠B＝80°時，試求∠M+∠N的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；（4）如圖4，如果∠MCD=13∠BCD，∠NDE=13∠ADE，當(dāng)∠A+∠B＝n°時，試求∠【解答】解：（1）如圖1，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；故答案為：∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）如圖2，設(shè)∠PCD＝x，∠ADP＝y(tǒng)，∵CP，DP分別平分∠BCD，∠ADE，∴∠BCD＝2x，∠ADE＝2y，∵∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y(tǒng)﹣x，∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x，∴∠COD＝2∠P，∵∠COD+∠A+∠B＝180°，∴2∠P+∠A+∠B＝180°，∴∠P＝90°?12（∠A+∠故答案為：90°?12（∠A+∠（3）如圖3，延長CM、DN交于點(diǎn)P，由（2）知：∠P＝90°?12（∠A+∠∵∠A+∠B＝80°，∴∠P＝50°，∴∠PMN+∠PNM＝130°，∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣130°＝230°；（4）如圖4，延長CM、DN交于點(diǎn)P，設(shè)∠PCD＝x，∠ADP＝2y，同理得：∠P＝y(tǒng)﹣x，∠COD＝3y﹣3x，∴∠COD＝3∠P，∴3∠P+∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠B＝n°，∴∠P=180°?n°∴∠PMN+∠PNM＝180°?180°?n°3=120∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣（120°+13n°）＝240°?17．閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為25°；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為∠P=∠B+∠D2【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，則∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝α+β?180°2應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠