2024學(xué)年赤峰市林西縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測卷附答案解析

學(xué)年赤峰市林西縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測卷一、單選題（每小題5分，共40分）1.空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.某班會課上，班主任擬從甲、乙，丙、丁、戊五名同學(xué)選3人以新冠疫情為主題分享體會，則甲沒被選中的概率為（）A. B. C. D.3.平行六面體中，若，則（）A. B.1 C. D.4.某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名學(xué)生去參加唱歌比賽，在下列各組事件中，是互斥事件的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生 B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生 D.至少有1名女生和至多有1名男生5.據(jù)某地區(qū)氣象局發(fā)布的氣象數(shù)據(jù)，未來某十天內(nèi)該地區(qū)每天最高溫度（單位：℃）分別為：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（）A27 B.26.5 C.25.5 D.256.在棱長為的正方體中，求棱的中點(diǎn)到平面的距離（）A.B.C. D.7.據(jù)統(tǒng)計，我國牛、羊肉集貿(mào)市場價格在2019年波動幅度較大，2020年開始逐漸趨于穩(wěn)定.如下圖分別為2019年1月至2020年3月，我國牛肉、羊肉集貿(mào)市場月平均價格大致走勢圖，下列說法不正確的是（）A.2019年1月至2020年3月，牛肉與羊肉月平均價格的漲跌情況基本一致B.2019年3月開始至當(dāng)年末，牛肉與羊肉月平均價格都一直持續(xù)上漲C.2019年7月至10月牛肉月平均價格的平均增量高于2020年1至2月的增量D.同期相比，羊肉的月平均價格一定高于牛肉的月平均價格8.在兩條異面直線，上分別取點(diǎn)，和點(diǎn)，，使，且.已知，，，，則兩條異面直線，所成的角為（）A. B. C. D.二、多選題（每小題6分，共18分，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為，令事件，，，則下列說法中錯誤的有（）A.A與B獨(dú)立 B.A與C獨(dú)立 C.B與C獨(dú)立 D.10.為了解學(xué)生名著的年閱讀量（單位：本），某班調(diào)查了12名男生，其年閱讀量的平均數(shù)為4，方差為9；調(diào)查了8名女生，其年閱讀量的平均數(shù)為7，方差為15，若將這20名學(xué)生合在一起組成一個容量為20的樣本，則該樣本數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為5.5 B.平均數(shù)為5.2C.方差為13.56 D.方差為14.5611.在棱長為的正方體中中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列命題正確的是（）A.異面直線和所成的角為定值B.直線和平面平行C.三棱錐的體積為定值D.直線和平面所成的角為定值三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)為3，方差為2，由生成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______；樣本方差為______.13.已知空間向量、滿足，，，則向量、的夾角為______.14.甲?乙?丙三名運(yùn)動員的投籃命中率分別為和，現(xiàn)甲?乙?丙三名運(yùn)動員各投籃一次，則至少有兩人命中的概率為___________.四、解答題15.如圖，在直三棱柱中，，，，，是中點(diǎn).（1）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）求的長（3）求證：.16.有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號分別為1,2.（1）將紅色卡片和藍(lán)色卡片分別放在兩個袋中，然后從兩個袋中各取一張卡片，求兩張卡片數(shù)字之積為偶數(shù)的概率（2）將五張卡片放在一個袋子中，從中任取兩張，求兩張卡片顏色不同概率17.2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會在杭州成功舉辦，中國跳水運(yùn)動小將全紅嬋備受大家關(guān)注.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解杭州市民對亞運(yùn)會跳水項(xiàng)目的認(rèn)知程度，舉辦了一次“亞運(yùn)會跳水項(xiàng)目”知識競賽，隨機(jī)抽取了1000名參賽者，發(fā)現(xiàn)他們的成績都在40～100分之間，將他們的成績分成40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100六組，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求a值以及這1000人競賽成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；（2）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從80,90，90,100中抽取6人，并從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪，求接受采訪的2人中有人成績在90,100的概率.18.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，，，頂點(diǎn)P在底面ABCD的正投影為AD的中點(diǎn)O.（1）求證：平面PAC⊥平面POB（2）若平面PAB與平面PCD的交線為l，，求l與平面PAC所成角的大小.19.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．2024學(xué)年赤峰市林西縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測卷一、單選題（每小題5分，共40分）1.空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得中得為：，即.故選A.2.某班會課上，班主任擬從甲、乙，丙、丁、戊五名同學(xué)選3人以新冠疫情為主題分享體會，則甲沒被選中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算出選擇的所有可能結(jié)果，然后計算沒有甲的可能結(jié)果，最后根據(jù)古典概型計算即可.【詳解】從5人中選3人出來總共有10種不同的選法，每種選法的可能性相同，其中甲不被選中的可能結(jié)果有：乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊，所以概率為．故選：B3.平行六面體中，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，表示出，和已知比較可求得的值，進(jìn)而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.4.某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名學(xué)生去參加唱歌比賽，在下列各組事件中，是互斥事件的是（）A.恰有1名女生和恰有2名女生 B.至少有1名男生和至少有1名女生C.至少有1名女生和全是女生 D.至少有1名女生和至多有1名男生【答案】A【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義判斷即可.【詳解】依題意可能出現(xiàn)名男生、名男生名女生、名女生；對于A：恰有1名女生即選出的兩名學(xué)生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他們不可能同時發(fā)生，故是互斥事件，故A正確；對于B：當(dāng)選出的兩名學(xué)生中有一名男生一名女生，則至少有1名男生和至少有1名女生都發(fā)生了，故不是互斥事件，故B錯誤；對于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生與全是女生，所以當(dāng)全是女生時，至少有1名女生和全是女生都發(fā)生了，故不是互斥事件，故C錯誤；對于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生與全是女生，至多有1名男生包含有一名男生一名女生與全是女生，故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D錯誤.故選：A5.據(jù)某地區(qū)氣象局發(fā)布的氣象數(shù)據(jù)，未來某十天內(nèi)該地區(qū)每天最高溫度（單位：℃）分別為：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（）A.27 B.26.5 C.25.5 D.25【答案】C【解析】【分析】先將所給數(shù)據(jù)按小到大排序，再根據(jù)百分位數(shù)的定義求第40百分位數(shù).【詳解】先將這些數(shù)據(jù)按照從小到大進(jìn)行排序，分別為23，24，24，25，26，26，26，27，29，31，又，所以該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為排序后的數(shù)列的第4個數(shù)和第5個數(shù)的平均數(shù)，即，故選：C．6.在棱長為的正方體中，求棱的中點(diǎn)到平面的距離（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法進(jìn)行求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，則，設(shè)平面的一個法向量，則，即，令，解得，故，所以棱的中點(diǎn)到平面的距離，故選：B.7.據(jù)統(tǒng)計，我國牛、羊肉集貿(mào)市場價格在2019年波動幅度較大，2020年開始逐漸趨于穩(wěn)定.如下圖分別為2019年1月至2020年3月，我國牛肉、羊肉集貿(mào)市場月平均價格大致走勢圖，下列說法不正確的是（）A.2019年1月至2020年3月，牛肉與羊肉月平均價格漲跌情況基本一致B.2019年3月開始至當(dāng)年末，牛肉與羊肉的月平均價格都一直持續(xù)上漲C.2019年7月至10月牛肉月平均價格的平均增量高于2020年1至2月的增量D.同期相比，羊肉的月平均價格一定高于牛肉的月平均價格【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖像數(shù)據(jù)分析即可求解.【詳解】根據(jù)圖像的大致走勢即可判斷牛肉與羊肉月平均價格的漲跌情況基本一致，故選項(xiàng)A正確；根據(jù)圖像中的數(shù)據(jù)比較可知2019年3月開始至當(dāng)年末，牛肉與羊肉的月平均價格，數(shù)據(jù)越來越大，都一直持續(xù)上漲，故選項(xiàng)B正確；2019年7月至10月牛肉月平均價格的平均增量為，2020年1至2月牛肉增量為，故選項(xiàng)C正確；2019年8月牛肉月平均價格為，2019年8月羊肉月平均價格為，所以同期相比，羊肉的月平均價格也可能會低于牛肉的月平均價格，故選項(xiàng)D錯誤.故選：D.8.在兩條異面直線，上分別取點(diǎn)，和點(diǎn)，，使，且.已知，，，，則兩條異面直線，所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)兩條異面直線，所成的角為，將等式兩邊同時平方計算可得答案．【詳解】如圖，設(shè)兩條異面直線，所成的角為，，，，，，，，則，得或（舍去）故選：B二、多選題（每小題6分，共18分，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為，令事件，，，則下列說法中錯誤的有（）A.A與B獨(dú)立 B.A與C獨(dú)立 C.B與C獨(dú)立 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義和事件之間的關(guān)系的定義判斷即可.【詳解】由題意得，則，，，，．故只有A與C獨(dú)立．B正確.事件，，滿足，D正確.故選：AC10.為了解學(xué)生名著的年閱讀量（單位：本），某班調(diào)查了12名男生，其年閱讀量的平均數(shù)為4，方差為9；調(diào)查了8名女生，其年閱讀量的平均數(shù)為7，方差為15，若將這20名學(xué)生合在一起組成一個容量為20的樣本，則該樣本數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為5.5 B.平均數(shù)為5.2C.方差為13.56 D.方差為14.56【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差公式即可求解．【詳解】由題意該樣本的平均數(shù)，故A錯誤，B正確；方差，故C正確，D錯誤.故選：BC.11.在棱長為的正方體中中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列命題正確的是（）A.異面直線和所成的角為定值B.直線和平面平行C.三棱錐的體積為定值D.直線和平面所成的角為定值【答案】ABC【解析】【分析】由線面垂直的判定可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可知A正確；根據(jù)，結(jié)合線面平行的判定可得B正確；結(jié)合平行關(guān)系，可由體積橋得到，由此可得C正確；根據(jù)線面角的定義可確定所求角，根據(jù)正切值不為定值可知D錯誤.【詳解】對于A，四邊形為正方形，；平面，平面，，又平面，，平面，平面，，異面直線和所成角為定值，A正確；對于B，，平面，平面，平面，又平面，平面即為平面，平面，B正確；對于C，由B知：平面，，平面平面，平面，平面，，，即三棱錐的體積為定值，C正確；對于D，設(shè)，由A知：平面，即為直線和平面所成的角，，不是定值，不是定值，即直線和平面所成的角不是定值，D錯誤.故選：ABC.三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)為3，方差為2，由生成一組新的樣本數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為______；樣本方差為______.【答案】①7；②.8.【解析】【分析】由期望、方差性質(zhì)直接計算即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)樣本平均數(shù)為3，方差為2，所以數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)為，方差為.故答案為：7；813.已知空間向量、滿足，，，則向量、的夾角為______.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的垂直關(guān)系求出的值，再利用空間向量數(shù)量積求出，結(jié)合向量夾角的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榭臻g向量、滿足，，，則，可得，所以，，因?yàn)?，故，所以，向量、的夾角為.故答案為：.14.甲?乙?丙三名運(yùn)動員的投籃命中率分別為和，現(xiàn)甲?乙?丙三名運(yùn)動員各投籃一次，則至少有兩人命中的概率為___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意分為恰好兩人命中和三人都命中，由相互獨(dú)立事件的概率公式分別求出其概率，即可得到答案.【詳解】記“至少有兩人命中”為事件，則故答案為：四、解答題15.如圖，在直三棱柱中，，，，，是中點(diǎn).（1）試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）求的長（3）求證：.【答案】（1）坐標(biāo)系見解析，，（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，即可得到所求點(diǎn)的坐標(biāo).（2）根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可..（3）根據(jù)，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】以坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.所以，【小問2詳解】，，，.【小問3詳解】，.，，，所以.16.有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號分別為1,2.（1）將紅色卡片和藍(lán)色卡片分別放在兩個袋中，然后從兩個袋中各取一張卡片，求兩張卡片數(shù)字之積為偶數(shù)的概率（2）將五張卡片放在一個袋子中，從中任取兩張，求兩張卡片顏色不同的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】古典概型的概率等于滿足事件A的基本事件的個數(shù)與基本事件總數(shù)之比，解決此類題目，一般用列舉法.【詳解】（1）將紅色卡片和藍(lán)色卡片分別放在兩個袋中，然后從兩個袋中各取一張卡片的所有可能情況有如下6種：紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2.其中兩張卡片數(shù)字之積為偶數(shù)有4種：紅1藍(lán)2，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)2.故所求的概率為.（2）將五張卡片放在一個袋子中，從中任取兩張的所有情況有如下10種：紅1紅2，紅1紅3，紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2紅3，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2，藍(lán)1藍(lán)2.其中兩張卡片顏色不同的情況有6種：紅1藍(lán)1，紅1藍(lán)2，紅2藍(lán)1，紅2藍(lán)2，紅3藍(lán)1，紅3藍(lán)2.故所求的概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的問題，屬于基礎(chǔ)題.17.2023年9月23日至10月8日，第19屆亞運(yùn)會在杭州成功舉辦，中國跳水運(yùn)動小將全紅嬋備受大家關(guān)注.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解杭州市民對亞運(yùn)會跳水項(xiàng)目的認(rèn)知程度，舉辦了一次“亞運(yùn)會跳水項(xiàng)目”知識競賽，隨機(jī)抽取了1000名參賽者，發(fā)現(xiàn)他們的成績都在40～100分之間，將他們的成績分成40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100六組，并制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求a的值以及這1000人競賽成績的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；（2）用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從80,90，90,100中抽取6人，并從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪，求接受采訪的2人中有人成績在90,100的概率.【答案】（1），平均數(shù)為分（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)平均數(shù)的求法求得平均數(shù).（2）根據(jù)分層抽樣、古典概型等知識求得正確答案.【小問1詳解】依題意，，解得，平均數(shù)為.【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，所以從中抽取人，記為，在中抽取人，記為，從中任選人，基本事件有：，，共種，其中接受采訪的2人中有人成績在的有，共種，所以接受采訪的2人中有人成績在的概率為.18.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，，，頂點(diǎn)P在底面ABCD的正投影為AD的中點(diǎn)O.（1）求證：平面PAC⊥平面POB（2）若平面PAB與平面PCD的交線為l，，求l與平面PAC所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，再由線面垂直的性質(zhì)定理得，從而得線面垂直，然后可得面面垂直；（2）由線面平行的判定定理與性質(zhì)定理證明，因此求得直線與平面所成角即可，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)