查補(bǔ)培優(yōu)沖刺02 幾何最值類綜合壓軸（原卷版）

查補(bǔ)培優(yōu)沖刺02幾何最值類綜合壓軸題型一：幾何最值模型--將軍飲馬（遛馬、造橋）模型題型二：幾何最值模型--費(fèi)馬點(diǎn)模型題型三：幾何最值模型--胡不歸模型題型四：幾何最值模型--瓜豆模型（原理）題型五：幾何最值模型--阿氏圓模型題型六：幾何最值工具--二次函數(shù)求最值題型七：幾何最值工具--三邊關(guān)系求最值題型一：幾何最值模型--將軍飲馬（遛馬、造橋）模型1.將軍飲馬問(wèn)題從本質(zhì)上來(lái)看是由軸對(duì)稱衍生而來(lái)，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在解決將軍飲馬模型主要依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短。2.在解決將軍遛馬和將軍過(guò)橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長(zhǎng)度（定長(zhǎng)），只要將線段按照長(zhǎng)度方向平移即可，即可以跨越長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的將軍飲馬模型，再依據(jù)同側(cè)做對(duì)稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連線即可。利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型就簡(jiǎn)單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過(guò)橋（造橋）再也不是問(wèn)題！例1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．

變式1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

變式2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最大值為_(kāi)_______．

例2．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為_(kāi)___________．變式1．（2023上·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，線段在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的周長(zhǎng)為，，則周長(zhǎng)的最小值是．

變式2．（2023·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．題型二：幾何最值模型--費(fèi)馬點(diǎn)模型結(jié)論：如圖，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小。費(fèi)馬點(diǎn)最值模型的輔助線作法：如圖，以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，MA+MB+MC的值最小，即為EC的長(zhǎng)度。例1．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有③；已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為_(kāi)__________元．（結(jié)果用含a的式子表示）變式1．（2023·江蘇·?？既＃┤鐖D，四個(gè)村莊坐落在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，公里，公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車站E，F(xiàn)，則的最小值為_(kāi)_____公里．變式2．（2023·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．題型三：幾何最值模型--胡不歸模型【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小。（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）。1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。例1．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是．變式1.（2023·廣東佛山·校考一模）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________．變式2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

題型四：幾何最值模型--瓜豆模型（動(dòng)態(tài)軌跡問(wèn)題）瓜豆原理：若兩動(dòng)點(diǎn)到某定點(diǎn)的距離比是定值，夾角是定角，則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同。動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學(xué)進(jìn)程影響，估只對(duì)瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動(dòng)點(diǎn)叫瓜，從動(dòng)點(diǎn)叫豆，瓜在直線上運(yùn)動(dòng)，豆也在直線上運(yùn)動(dòng)；瓜在圓周上運(yùn)動(dòng)，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。例1．（2024·江蘇無(wú)錫·一模）如圖，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E在上且，點(diǎn)D是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，下列結(jié)論：①的最小值為；

②的最小值是；③當(dāng)時(shí)，；

④當(dāng)時(shí)，．其中正確的有()

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)變式1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是正方形對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰（點(diǎn)A，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排序），則長(zhǎng)的最小值為（）A． B．1 C． D．2變式2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，直角中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則長(zhǎng)的最小值是．例2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2變式1．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

變式2．（2022·江蘇無(wú)錫·中考真題）△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是．變式3．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在矩形中，=6，=8，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為．在這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是．題型五：幾何最值模型--阿氏圓模型【模型解讀】如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB，連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說(shuō)明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：例1．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接最小值__________．最小值__________．變式1．（2023春·江蘇·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．變式2．（2023·江蘇蘇州·蘇州市二模）如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．題型六：幾何最值工具--二次函數(shù)求最值構(gòu)造二次函數(shù)來(lái)確定幾何圖形中的有關(guān)的長(zhǎng)度、面積最大值的問(wèn)題是近年來(lái)?？嫉念}型，求解這類問(wèn)題，實(shí)際上，只要我們能充分運(yùn)用條件，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等等來(lái)尋求等量關(guān)系，從而構(gòu)造出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可。例1．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）某數(shù)學(xué)小組在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過(guò)程中，經(jīng)歷了如下過(guò)程：如圖，正方形中，在邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，分別交于點(diǎn)，．(1)當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____°；(2)連接，當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，求證：；(3)若，是否存在最小值?如果存在，求此最小值：如果不存在，說(shuō)明理由．變式1．（2023年湖南省常德市三模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（B點(diǎn)除外），以為一邊在邊上方作正方形，連接，則的面積的最大值為（

）

A． B． C． D．變式2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，點(diǎn)、、、分別在正方形的邊、、、上．(1)如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，求證：；(2)如圖2，已知，，當(dāng)、的大小有_________關(guān)系時(shí)，四邊形是矩形；(3)如圖3，，、相交于點(diǎn)，，已知正方形的邊長(zhǎng)為16，長(zhǎng)為20，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，判斷四邊形是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．題型七：幾何最值工具--三邊關(guān)系求最值動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題一直是中考數(shù)學(xué)中的難題，解題的關(guān)鍵在于化動(dòng)為靜，將問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，利用與之相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析和解答，在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決最值問(wèn)題中，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造三角形，一般情況下，需要找出兩條固定線段，與需要求的線段構(gòu)造三角形，然后利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行分析和解答即可。例1．（23-24九年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，在中，已知，，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，在上有一點(diǎn)M，始終保持，連接，則的最小值為．變式1．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．將沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則的最小值為．

變式2.（2023·四川南充·?？级＃┤鐖D，的半徑是5，點(diǎn)A是圓周上一定點(diǎn)，點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)，且，，垂足為點(diǎn)C，連接，則的最小值是（）A． B． C． D．課后訓(xùn)練1．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點(diǎn)M、N分別在邊上，且，點(diǎn)P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．3．（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=8，E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且AE=4，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，CF=2，連接EF，ED，則EFED的最小值為()A．6 B．4 C．4 D．64．（2023年江蘇二模數(shù)學(xué)試卷）如圖，在中，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)除外），把線段繞著點(diǎn)沿著順時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)90°至，連接，則面積的最大值為（

）A．16 B．8 C．32 D．105．（2023·江蘇宿遷·沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)校聯(lián)考一模）如圖，已知四邊形中，，，點(diǎn)分別是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)B作于G，連接，則的最小值是（

）

A． B． C． D．6．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，在中，已知．，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，在上有一點(diǎn)M，始終保持，連接，則的最小值為（

）

A． B． C． D．7．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）

A．24 B．22 C．20 D．188．（2023·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④9．（2023·江蘇鹽城·一模）已知，其中，，，M、N分別為、的中點(diǎn)，將兩個(gè)三角形按圖①方式擺放，點(diǎn)F從點(diǎn)A開(kāi)始沿方向平移至點(diǎn)E與點(diǎn)C重合結(jié)束（如圖②），在整個(gè)平移過(guò)程中，的取值范圍是（）A． B． C． D．10．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為與點(diǎn)D不重合的動(dòng)點(diǎn)，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點(diǎn)F、G與點(diǎn)C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．11．（2023·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，點(diǎn)P是菱形內(nèi)或邊上的一點(diǎn)，且，連接，則面積的最小值為()A． B． C． D．12．（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接．點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．13．（2023秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為_(kāi)_____．14．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，，N為邊上一點(diǎn)，連接、、，則的最小值為_(kāi)_____．15.（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知矩形為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，若點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則的最小值為．

16．（2023·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，M為上一點(diǎn)，且，N為邊上一動(dòng)點(diǎn)．連接，將沿翻折得到，點(diǎn)P與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，連接，則的最小值為．

17．（2023·四川廣元·