彎曲應(yīng)力課件

*

彎曲應(yīng)力材料力學*彎曲應(yīng)力§5-1

引言

一、對稱彎曲縱向?qū)ΨQ面F1F2*引言FFaaABFSMxx二、純彎曲CD圖示梁AB段橫截面上只有彎矩，而無剪力，該段梁的彎曲稱為純彎曲。

C

A與BD段橫截面上既有彎矩，又有剪力，該兩段梁的彎曲稱為橫力彎曲。⊕⊕○－*§5-2對稱彎曲正應(yīng)力一、基本假設(shè)1.實驗觀察彎曲應(yīng)力*對稱彎曲正應(yīng)力

(1)梁側(cè)面的橫線仍為直線，與縱線正交，只是橫線間作相對轉(zhuǎn)動。

(2)

縱線變?yōu)榛【€，凹入側(cè)縮短，凸出側(cè)伸長。

(3)凹入側(cè)梁的寬度增加，凸出側(cè)減小，與軸向拉壓的變形相似。acbdabcdMeMe*2.基本假設(shè)

(1)平面假設(shè)：梁的橫截面變形后仍為平面，且仍與縱線正交；(2)單向受力假設(shè)：層間“纖維”無擠壓。中性層縱向?qū)ΨQ面中性軸MM梁彎曲時，部分“纖維”伸長，部分縮短，由伸長區(qū)到縮短區(qū)，其間必存在一長度不變的過渡層，稱為中性層。中性層與橫截面的交線，稱為中性軸。中性軸垂直于縱向?qū)ΨQ面。對稱彎曲正應(yīng)力*

1.幾何方面

二、彎曲正應(yīng)力一般公式O1變形后O22'2'1'1'

ydxd

a'b'變形前dxyO1O21122abx對稱彎曲正應(yīng)力*

2.物理方面其中y為橫截面上求應(yīng)力那點相對中性軸的坐標，

為中性層變形后的曲率半徑。欲求應(yīng)力須知道中性軸的位置和中性層的曲率半徑。

3.靜力學方面橫截面正應(yīng)力滿足如下關(guān)系：yxzy

dA對稱彎曲正應(yīng)力*Sz

=0，中性軸z通過形心。yxzy

dA對稱彎曲正應(yīng)力*乘積EIz

稱為梁截面的彎曲剛度。于是得：yxzy

dA對稱彎曲正應(yīng)力*橫截面上各點正應(yīng)力大小與各點到中性軸的距離成正比，中性軸上各點正應(yīng)力為零，離中性軸最遠點正應(yīng)力最大。zCzCxx

二、最大彎曲正應(yīng)力yxzy

dA對稱彎曲正應(yīng)力*令上式可改寫為Wz

稱為抗彎截面系數(shù)，單位：m3。上述分析是在平面假設(shè)下建立的，對于橫力彎曲，由于橫截面上還有剪力，變形后截面會發(fā)生翹曲，平面假設(shè)不再成立。當截面尺寸與梁的跨度相比很小時，翹曲很小，仍可按平面假設(shè)分析，上面公式仍可使用。對稱彎曲正應(yīng)力*1.矩形截面2.圓形截面3.環(huán)形截面CzdCzbh/2h/2zdCD其中，

=d/D對稱彎曲正應(yīng)力*[例]求圖示矩形截面梁D截面上a、b、c三點的正應(yīng)力。ABCD2m2m2mF=12kNzcab5623(cm)解：取AD，AFAyDFSDMD(上面受拉)(拉)(拉)FByFAy對稱彎曲正應(yīng)力*[例]求圖示T形截面梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。ABCD300300F2=20kNF1

=50kN301103080解：畫梁的彎矩圖；zy2y1確定中性軸的位置。C200對稱彎曲正應(yīng)力⊕○－5.5kN

m4kN

mMx*ABCD300300F2=20kNF1

=50kN2001103080y2y1C30z對稱彎曲正應(yīng)力⊕○－5.5kN

m4kN

mMx*D

截面下邊受拉，上邊受壓；B截面上邊受拉，下邊受壓。比較可知最大壓應(yīng)力在D

截面的上邊緣，而最大拉應(yīng)力可能發(fā)生在D

截面的下邊緣，也可能發(fā)生在B

截面的上邊緣。ABCD300300F2=20kNF1

=50kN200⊕○－5.5kN

m4kN

mMx對稱彎曲正應(yīng)力1103080y2y1C30z*ABCD300300F2=20kNF1

=50kN200⊕○－5.5kN

m4kN

mMx對稱彎曲正應(yīng)力1103080y2y1C30z*最大拉應(yīng)力發(fā)生在B

截面的上邊緣，最大壓應(yīng)力發(fā)生在D

截面的上邊緣，分別為ABCD300300F2=20kNF1

=50kN200對稱彎曲正應(yīng)力⊕○－5.5kN

m4kN

mMx1103080y2y1C30z*[練習]圖示矩形截面梁，C截面處有一直徑d=40mm的圓孔，求該截面的最大正應(yīng)力。ABC2m2m8012040解：q=2kN/m對稱彎曲正應(yīng)力*§6-3對稱彎曲切應(yīng)力橫力彎曲時，梁橫截面既有彎矩，也有剪力，相應(yīng)也必有切應(yīng)力?；炯僭O(shè)：⑴截面上各點切應(yīng)力與剪力同向；⑵距中性軸等距離各點的切應(yīng)力相等。在梁上截一微段dx

，再在微段上用水平截面mn

截一微元。FSFSMM+dM1122dxmn彎曲應(yīng)力一、矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力*對稱彎曲切應(yīng)力

'

12mnx12

'

yy*b

dAFF+dF12dxmnyxz平衡條件：dxh/2y*于是得對稱彎曲切應(yīng)力

'

yy*b

dAF12dxmnyxF+dF*式中Sz(

)

為截面求應(yīng)力那點到截面邊緣所圍面積對中性軸的靜矩。

max由此式可知，切應(yīng)力的大小沿截面高度呈拋物線分布。中性軸上切應(yīng)力最大，上下邊緣切應(yīng)力為零。zbh/2h/2y

對稱彎曲切應(yīng)力*翼板腹板bz

max

式中

為腹板的厚度。對稱彎曲切應(yīng)力二、工字形薄壁截面梁的彎曲切應(yīng)力*b

z

max其中，Sz,max為中性軸一側(cè)截面對中性軸的靜矩。T形截面圓形截面環(huán)形截面

maxz

maxz

maxz對稱彎曲切應(yīng)力*[例]圖示梁由三塊板膠合而成，橫截面尺寸如圖，求A+截面的最大切應(yīng)力和膠縫的切應(yīng)力。AB4m604040解：FAy

=6kNFBy

=6kNq=3kN/m40對稱彎曲切應(yīng)力*§5–4梁的強度條件與合理強度設(shè)計梁要安全工作，必須同時滿足正應(yīng)力強度條件和切應(yīng)力強度條件。1.正應(yīng)力強度條件對于等截面梁：一、梁的強度條件彎曲應(yīng)力*梁的強度條件與合理強度設(shè)計根據(jù)強度條件可進行下述工程計算：(1)強度校核；(2)設(shè)計截面尺寸；(3)確定許用載荷。2.切應(yīng)力強度條件對于等截面梁：矩形等截面梁：*利用強度條件進行工程計算時，需首先確定梁的危險截面。

(1)梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大截面離中性軸最遠點處；

(2)梁的最大切應(yīng)力通常發(fā)生在剪力最大截面的中性軸上。一般來說，梁的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力并不在同一截面上，彎矩圖上最大彎矩對應(yīng)于梁的最大正應(yīng)力所在截面，剪力圖上最大剪力對應(yīng)于梁的最大切應(yīng)力所在截面。梁的強度條件與合理強度設(shè)計*[例]梁的載荷及截面尺寸如圖所示，材料的許用拉應(yīng)力[

t]=40MPa，許用壓應(yīng)力[

c]=100MPa，許用切應(yīng)力[

]=20MPa。校核該梁的強度。解：求支座反力；畫內(nèi)力圖；計算截面慣性矩AB3m1m2mCDq=10kN/mF=20kNFBy

=30kNFDy

=10kN10kNFS20kN

m10kN

m○－⊕⊕○－○－10kN20kNMxxCz2002003030157.5梁的強度條件與合理強度設(shè)計*B截面：C截面：AB3m1m2mCDFBy

=30kNFDy

=10kNq=10kN/mF=20kN10kNFS20kN

m10kN

m○－⊕⊕○－○－10kN20kNMxxCz2002003030157.5梁的強度條件與合理強度設(shè)計*經(jīng)比較可知，最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面的下邊緣；最大壓應(yīng)力發(fā)生在B截面的下邊緣；最大切應(yīng)力發(fā)生在B-截面的中性軸上。AB3m1m2mCDFBy

=30kNFDy

=10kNq=10kN/mF=20kN10kNFS20kN

m10kN

m○－⊕⊕○－○－10kN20kNMxxCz2002003030157.5梁的強度條件與合理強度設(shè)計*此梁安全AB3m1m2mCDFBy

=30kNFDy

=10kNq=10kN/mF=20kN10kNFS20kN

m10kN

m○－⊕⊕○－○－10kN20kNMxxCz2002003030157.5梁的強度條件與合理強度設(shè)計*AB3m[例]圖示工字形截面梁，已知許用正應(yīng)力[

]=170MPa，許用切應(yīng)力[

]=100MPa

，選擇工字鋼的型號。3mCD解：求支座反力；畫剪力圖和彎矩圖。梁的強度主要由正應(yīng)力條件控制，先用正應(yīng)力強度條件選擇型號，再用切應(yīng)力條件校核。2

mFBy

=29kNFDy

=13kNq=6kN/mF=30kN⊕⊕○－○－○－13kN17kN12kN12kN

m39kN

mFSMxx梁的強度條件與合理強度設(shè)計*選20a工字鋼：Wx=237cm3,d=7mm，Ix/Sx=17.2cm。AB3m3m2

mCDFBy

=29kNFDy

=13kN17kNq=6kN/mF=30kN⊕⊕○－○－○－13kN17kN12kN12kN

m39kN

mFSMxx梁的強度條件與合理強度設(shè)計*[例]圖示梁由兩根木料膠合而成。木材的許用正應(yīng)力[

]=10MPa，許用切應(yīng)力[

]=1.0MPa

，膠縫的容許切應(yīng)力[

1]=0.4MPa，確定許用載荷集度[q]。AB3mz10010050解：求支座反力；畫剪力圖與彎矩圖

1.按正應(yīng)力強度條件確定許用載荷qFAy

=1.5qFBy

=1.5q1.5q⊕⊕○－1.5q1.125qFSMxx梁的強度條件與合理強度設(shè)計*

2.按切應(yīng)力強度條件確定許用載荷AB3m10010050FAy

=1.5qFBy

=1.5qqz梁的強度條件與合理強度設(shè)計1.5q⊕⊕○－1.5q1.125qFSMxx*

3.按膠縫切應(yīng)力強度條件確定許用載荷AB3m10010050FAy

=1.5qFBy

=1.5qqz梁的強度條件與合理強度設(shè)計1.5q⊕⊕○－1.5q1.125qFSMxx*梁的設(shè)計主要依據(jù)正應(yīng)力強度條件，即由正應(yīng)力強度條件可知，要提高梁的強度可從降低最大彎矩Mmax和增大抗彎截面系數(shù)Wz來考慮。1.選擇合理的截面形狀梁的抗彎截面系數(shù)Wz與截面尺寸和形狀有關(guān)，截面面積相同的情況下，Wz越大截面形狀越合理。下面對矩形、方形、圓形截面加以比較。二、梁的合理強度設(shè)計梁的強度條件與合理強度設(shè)計*zhbCaaCzdzC矩形截面比正方形截面好正方形截面比圓形截面好梁的強度條件與合理強度設(shè)計*zz彎曲正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布，對于矩形截面梁，中性軸附近相對于上下邊緣，正應(yīng)力很小，未充分發(fā)揮材料作用，若將這部分材料移到離中性軸較遠處，就可大大地提高梁的承載能力。z2.變截面梁與等強度梁對于等截面梁，除Mmax所在截面外，其余截面的材料強度均未得到充分利用。故可將梁設(shè)計成橫截面沿梁軸變化的梁，即變截面梁。梁的強度條件與合理強度設(shè)計*理想的變截面梁是使各截面上的最大正應(yīng)力相同，并等于許用應(yīng)力。各個截面具有同樣強度的梁，稱為等強度梁。等強度梁的抗彎截面系數(shù)設(shè)計如下：變截面梁懸臂涼臺吊車梁FABq梁的強度條件與合理強度設(shè)計*3.梁的合理受力通過改善梁的受力情況，可降低梁的最大彎矩，提高梁的正應(yīng)力強度。ABlqAB2l/3l/6l/6qql2/8⊕Mxql2/72ql2/72ql2/24⊕Mx梁的強度條件與合理強度設(shè)計*ABl/4l/2Fl/4ABl/2l/2FC⊕Fl/4Mx⊕Fl/8Mx梁的強度條件與合理強度設(shè)計*[例]從直徑為d的圓木截取一矩形截面梁，按強度要求選擇最合理的高寬尺寸h、b。bzyhdC解：使所截矩形的Wz

越大越好。梁的強度條件與合理強度設(shè)計*[例]吊裝一混凝土梁，索繩所系位置x為多少梁最安全？qlxx解：梁的最大彎矩最小時最安全。當梁的最大正彎矩與最大負彎矩相等時，梁的最大彎矩最小。⊕qx2/2qx2/2ql2/8-

qlx/2○－－○梁的強度條件與合理強度設(shè)計*§5-5雙對稱截面梁的非對稱彎曲

xyzFFzFyxyzFyxyzFz+Fy

=Fcos

Fz

=Fsin

彎曲應(yīng)力*雙對稱截面梁的非對稱彎曲xyzFyxyzFzxxzzyyMz

=FyxMy=Fzxbbhh*zzyyMz

=FyxMy=Fzxbbhhzybhef+雙對稱截面梁的非對稱彎曲*中性軸的位置yzOF

zybhefy0z0

ef雙對稱截面梁的非對稱彎曲*ABl[例]圖示矩形截面木梁載荷作用線如圖所示。已知q=0.5kN/m，l=4m，=30°，