數(shù)學(xué)自我小測(cè)橢圓的幾何性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測(cè)1．已知k＜0，則曲線eq\f（x2，9）＋eq\f(y2,4)＝1和eq\f（x2，9－k）＋eq\f（y2,4－k）＝1有相同的(）A．頂點(diǎn)B．焦點(diǎn)C．離心率D．長(zhǎng)軸長(zhǎng)2．橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，若它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之和為18,焦距為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A。eq\f（x2，9)＋eq\f(y2，16)＝1B.eq\f（x2，25)＋eq\f（y2,16）＝1 C。eq\f（x2，25)＋eq\f(y2，16)＝1或eq\f(x2，16）＋eq\f（y2,25)＝1D.eq\f（x2,16）＋eq\f(y2,25)＝13．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,離心率為eq\f（\r（3）,2），且過(guò)點(diǎn)(2，0）的橢圓的方程是（)A。eq\f(x2，4）＋y2＝1 B.eq\f(x2,4）＋y2＝1或x2＋eq\f(y2,4）＝1C．x2＋4y2＝1 D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝164．若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（)A.eq\f(4，5） B.eq\f（3，5） C。eq\f（2，5) D。eq\f(1,5）5．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f（x2，8）＋eq\f(y2，4)＝1的焦點(diǎn)，在曲線C上滿足·＝0的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（)A．0 B．2 C．3 D．46．若橢圓的焦距長(zhǎng)等于它的短軸長(zhǎng)，則橢圓的離心率等于______．7．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長(zhǎng)軸分成長(zhǎng)度比為eq\r(3)∶eq\r（2)的兩段，則其離心率e為_(kāi)_________．8．在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．9．已知橢圓eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2，b2)＝1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1,\f（3，2）))，且離心率e＝eq\f(1，2)，求此橢圓的方程．10．已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo),且縱坐標(biāo)的長(zhǎng)等于短半軸長(zhǎng)的eq\f(2，3)，求該橢圓的離心率．11．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F1PF2＝60°。(1)求橢圓的離心率的取值范圍；(2）求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)．

參考答案1。解析：c21＝9－4＝5，且焦點(diǎn)在x軸上;c22＝（9－k)－（4－k)＝5，且焦點(diǎn)在x軸上．答案:B2。答案:C3。解析：若焦點(diǎn)在x軸上,則a＝2.又e＝eq\f(\r(3），2),所以c＝eq\r（3)。所以b2＝a2－c2＝1.所以方程為eq\f（x2，4)＋y2＝1，即x2＋4y2＝4;若焦點(diǎn)在y軸上，則b＝2.又e＝eq\f（\r（3）,2），所以eq\f（b2，a2）＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1，4）,所以a2＝4b2＝16。所以方程為eq\f(x2,4)＋eq\f（y2，16）＝1,即4x2＋y2＝16.答案：D4。解析：依題意有2×2b＝2a＋2c，即2b＝a＋c，所以4b2＝a2＋2ac＋c2.因?yàn)閎2＝a2－c2,所以4a2－4c2＝a2＋2ac＋c2，所以3a2－2ac－5c2＝0，兩邊同除以a2,即有5e2＋2e－3＝0，解得e＝eq\f（3，5)或e＝－1(舍去）．故選B.答案：B5.解析：因?yàn)椤ぃ?，所以PF1⊥PF2.所以點(diǎn)P即為以線段F1F2為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn)，且半徑為c＝eq\r（8－4）＝2.又b＝2，所以點(diǎn)P為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)．答案：B6。解析：橢圓的焦距長(zhǎng)等于它的短軸長(zhǎng),即2b＝2c，則有a2＝b2＋c2＝2c2,解得a＝eq\r(2）c，所以e＝eq\f（c,a)＝eq\f（\r（2），2)。答案：eq\f（\r(2)，2）7。解析：由題意,得(a＋c）∶（a－c）＝eq\r（3）∶eq\r（2），即eq\f（1＋e,1－e)＝eq\f(\r(3），\r（2))，解得e＝5－2eq\r（6)。答案：5－2eq\r（6）8.解析：如圖,根據(jù)題意可知F1B1⊥F1B2，｜OF1｜＝3。可知|OB2｜＝|OB1｜＝3,所以b＝c＝3，a2＝b2＋c2＝18.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,18）＋eq\f（y2，9)＝1。答案：eq\f（x2,18）＋eq\f（y2,9）＝19。分析：由橢圓的離心率可得a，c的關(guān)系，從而知道b,c的關(guān)系，再由點(diǎn)在橢圓上，代入方程即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：由題意知橢圓的離心率e＝eq\f(c，a）＝eq\f(1，2），所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2，所以橢圓的方程為eq\f（x2,4c2)＋eq\f(y2,3c2）＝1.又點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，\f（3,2)))在橢圓上，所以eq\f（1,4c2）＋eq\f（\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3，2)））2，3c2）＝1，所以c2＝1,所以橢圓的方程為eq\f(x2,4）＋eq\f（y2,3）＝1。10。解法一：設(shè)橢圓方程為eq\f(x2，a)＋eq\f（y2,b)=1(a＞b＞0），焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－c，0）,F2(c,0）．依題意設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c,\f（2，3)b)),在Rt△MF1F2中，|F1F2｜2＋｜MF2｜2＝|MF1|2，即4c2＋eq\f（4,9)b2＝｜MF1|2，所以|MF1|＋｜MF2｜＝eq\r（4c2＋\f(4，9）b2）＋eq\f（2，3）b＝2a.整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a，eq\f（b2,a2）＝eq\f（4,9)，所以e2＝eq\f(c2，a2）＝eq\f（a2－b2,a2）＝1－eq\f(b2，a2)＝eq\f(5,9)，所以e＝eq\f（\r(5),3)。解法二：設(shè)橢圓方程為eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a＞b＞0），由已知條件設(shè)Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(c，\f（2，3）b))，依題意得eq\f(c2,a2）＋eq\f（4b2，9b2）＝1，所以eq\f（c2,a2)＝eq\f(5,9)，eq\f(c,a)＝eq\f(\r（5）,3)，即e＝eq\f（\r(5)，3).11。（1)解:不妨設(shè)橢圓方程為eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2，b2）＝1(a＞b＞0)，由余弦定理得cos60°＝eq\f（|PF1|2＋｜PF2｜2－｜F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f((｜PF1｜＋｜PF2｜)2－2｜PF1｜·|PF2|－｜F1F2|2,2｜PF1｜·｜PF2｜)，所以|PF1|·|PF2｜＝4a2－2｜PF1｜·｜PF2|－4c2，所以3|PF1|·｜PF2|＝4b2，所以|PF1|·｜PF2|＝eq\f（4b2,3).又因?yàn)椋黀F1|·|PF2|≤eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|，2))）2＝a2，所以3a2≥4(a2－c2）,所以eq\f（c，a）≥eq\f(1,2),所以e≥eq\f（1，2).又因?yàn)闄E圓中0＜e＜1，所以所求橢圓的離心率的取值范圍