數(shù)學(xué)自主廣場(chǎng)：和角公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。(福建高考卷，理3)已知α∈（,π），sinα=則tan(α+）等于()A。B。7C?！悸方馕觯河蓷l件求出tanα,再計(jì)算tan（α+）.∵α∈(，π）,sinα=，∴cosα=—=-,∴tanα=-。∴tan（α+）==.答案:A2。當(dāng)x∈［—，］時(shí)，函數(shù)f（x)=sinx+cosx的…()A。最大值為1，最小值為—1B.最大值為1，最小值為—C。最大值為2,最小值為—2D。最大值為2，最小值為-1思路解析:先化簡(jiǎn)再求最值。f(x)=sinx+cosx=2sin(x+)，∵x∈[-,]，∴-≤x+≤?！唷?≤f(x)≤2。答案:D3.已知在△ABC中，滿(mǎn)足tanAtanB＞1，則這個(gè)三角形一定是（）A.正三角形B.等腰直角三角形C。銳角三角形D。鈍角三角形思路解析:此題限定條件是在三角形中，可以根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)來(lái)判斷角的范圍.在三角形中，常用到三角形的內(nèi)角和定理.可以將A+B+C=π等價(jià)轉(zhuǎn)化成A=π—（B+C），然后用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理.由于tanAtanB＞1，可知tanA＞0，且tanB＞0，則在△ABC中，A、B必定為銳角.又∵＞1，∴sinAsinB＞cosAcosB.得到cos(A+B)＜0.∴cos(π-C）＜0，即cosC＞0，則C也必定是銳角.因此△ABC是銳角三角形。答案:C4.要使得sinα-cosα=有意義，則m的取值范圍是（）A。（—∞,］B.［1，+∞)C。[—1，］D.（-∞,—1)∪［，+∞)思路解析:利用三角函數(shù)的值域求m的取值范圍。sinα—cosα=2（sinα—cosα)=2sin(α-)?！?sin(α-)=，即sin(α-）=.∵-1≤sin（α-π3）≤1，∴—1≤≤1.解不等式，可得—1≤m≤。答案：C5.（2006江蘇南京一模，7）若函數(shù)f（x）=sinax+cosax（a＞0）的最小正周期為1，則它的圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為()A.(-，0）B。（0，0）C.（—，0）D.（,0）思路解析:化為y=Asin(ωx+θ）形式,再討論其對(duì)稱(chēng)中心。f（x）=sinax+cosax=sin（ax+）(a＞0)，∴T==1。∴a=2π?！鄁（x)=sin(2πx+）(a＞0)。又∵f（x）與x的交點(diǎn)是其對(duì)稱(chēng)中心，經(jīng)驗(yàn)證僅有（-,0)是函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心。答案:C6.在△ABC中,cosA=且cosB=，則cosC的值是______________________________.思路解析:由于在△ABC中，cosA=，可知A為銳角，∴sinA==。由于cosB=,可知B也為銳角，∴sinB==.∴cosC=cos［π—（A+B)］=-cos(A+B）=sinAsinB—cosAcosB=××=。答案：7.sincos=___________________________.思路解析：思路一：對(duì)公式cos(α+β）=cosαcosβ—sinαsinβ進(jìn)行逆用。sin-cos=2（sin—cos）=2（sinsin-coscos）=—2cos(+)=-2cos=-.思路二：考慮利用=—來(lái)計(jì)算sin,sin—cos=sin(—）-cos（—)=—.答案：-8。(湖南常德一模)已知函數(shù)f(x)=—1+2sin2x+mcos2x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,1)，求此函數(shù)在[0，]上的最值。思路分析:先求m的值，再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為y=Asin（ωx+φ)+b的形式求最值。解：∵A（0,1)在函數(shù)的圖象上，∴1=—1+2sin0+mcos0，解得m=2?！鄁(x）=-1+2sin2x+2cos2x=2(sin2x+cos2x)—1=sin（2x+）—1.∵0≤x≤，∴≤2x+≤?！?≤sin（2x+)≤1?！?3≤f（x)≤-1.∴函數(shù)f（x)的最大值為-1，最小值是-3。我綜合我發(fā)展9。已知cos（α+β)=，cos（α-β）=，求tanαtanβ的值.思路分析：化切為弦，就會(huì)發(fā)現(xiàn)要求tanαtanβ,就是求sinαsinβ和cosαcosβ的比值，因此，本題應(yīng)該設(shè)法求出sinαsinβ和cosαcosβ.解:由已知得cos(α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=，①cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=，②①+②得cosαcosβ=,③①—②得sinαsinβ=-。④④÷③得tanαtanβ==—，即tanαtanβ=—.10。求函數(shù)f(x)=2sinx-cosx，x∈R的最值。思路分析:將函數(shù)解析式化為y=Asin(ωx+φ)后，再求最值。解:f(x)=2sinx-cosx=4（sinx-cosx)=4（sinxcos—cosxsin)=4sin(x-）。∴函數(shù)f(x）的最大值是4，最小值是—4。很明顯函數(shù)f(x)的最大值不是2+，最小值不是—2—。下面討論函數(shù)f(x)=asinx+bcosx(ab≠0），x∈R的最值。解:f（x)=asinx+bcosx=(sinx+cosx）?！?）2+（)2=1,∴可設(shè)cosθ=，sinθ=。則tanθ=(θ又稱(chēng)為輔助角）.∴f(x)=(sinxcosθ+cosxsinθ）=sin(x+θ）.∴當(dāng)x∈R時(shí)，f(x）的最大值是,最小值是-。特別是當(dāng)=±1，±，±時(shí),θ是特殊角，此時(shí)θ常取,,.對(duì)于形如y=αsinx+βcosx(αβ≠0）的式子引入輔助角化歸為y=Asin(x+θ)的形式，可進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，求周期、最值等,這是高考和模擬的必考內(nèi)容之一.11.化簡(jiǎn)：.思路解析：本題用觀(guān)察7°+8°=15°，利用這一關(guān)系，可以減少角的個(gè)數(shù)，解題過(guò)程中還需要應(yīng)用兩角和與差的正弦、余弦公式。解:====tan15°=tan（45°-30°)==2—.12.如果α、β、γ都是銳角，并且它們的正切值分別為、、，求α+β+γ的值。思路分析：分析題意：要求α+β+γ,先求tan(α+β+γ)。根據(jù)α、β的正切值可以利用兩角和的正切求出(α+β)的正切值，而α+β+γ又可以看作是兩個(gè)角(α+β)與γ的和，再運(yùn)用兩角和的正切公式求證即可。但是要注意一定還要確定出α+β+γ這個(gè)和的范圍，才能證得結(jié)果。解:∵tanα=，tanβ=，∴tan(α+β)===?！鄑an（α+β+γ）=tan［（α+β）+γ］===1。又∵α、β、γ都是銳角，且0＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1，0＜tanγ=＜1,∴0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°.∴0°＜α+β+γ＜135°。∴α+β+γ=45°。13。已知＜α＜，0＜β＜,cos(+α）=-，sin（+β)=，求sin(α+β)的值。思路分析:利用角的變換：（+α）=(+β)=(α+β)—π。解:∵π4