2023年北京市重點校初三（上）期末數(shù)學(xué)試題匯編：圓的有關(guān)性質(zhì)

第1頁/共1頁2023北京重點校初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編圓的有關(guān)性質(zhì)一、單選題1．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是直徑，弦的長為5，點D在圓上，且，則的半徑為（

）A． B．5 C． D．2．（2023秋·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，C、D是上兩點，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·北京通州·九年級統(tǒng)考期末）有下列說法：①直徑是圓中最長的弦；②等弦所對的圓周角相等；③圓中90°的角所對的弦是直徑；④相等的圓心角對的弧相等．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023秋·北京平谷·九年級統(tǒng)考期末）“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”這是《九章算術(shù)》中的一個問題，用現(xiàn)代的語言表述為：如圖，為的直徑，弦于E，寸，弦寸，則的半徑為多少寸（

）A．5 B．12 C．13 D．265．（2023秋·北京海淀·九年級期末）勒洛三角形是分別以等邊三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由三段圓弧組成的曲邊三角形．如圖，該勒洛三角形繞其中心旋轉(zhuǎn)一定角度后能與自身重合，則該角度可以為（

）A． B． C． D．6．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，直線l1∥l2，點A在直線l1上，以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），連接AC，AD，BC，CD，其中AD交l2于點E．若∠ECA＝40°，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．∠ABC=70° B．∠BAD=80° C．CE=CD D．CE=AE7．（2023秋·北京通州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，則∠AOB的度數(shù)是（

）A．75° B．70° C．65° D．55°二、解答題8．（2023秋·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，垂足為D．(1)求證：；(2)已知的半徑為5，，求長．9．（2023秋·北京平谷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知劣弧，如何等分？下面給出兩種作圖方法，選擇其中一種方法，利用直尺和圓規(guī)完成作圖，并補全證明過程．方法一：①作射線、；②作的平分線，與交于點C；點C即為所求作．證明：∵平分，∴∴___（_____）（填推理的依據(jù)）．方法二：①連接；②作線段的垂直平分線，直線與交于點C；點C即為所求作．證明：∵垂直平分弦，∴直線經(jīng)過圓心O，∴___（___）（填推理的依據(jù)）．10．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，的三個頂點在上，的半徑為5，，求弦的長．11．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦于點E，，若，求的長.12．（2023·北京海淀·九年級期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，它的跨度為，拱高為．(1)請用尺規(guī)作圖，作出圓弧所在圓的圓心O，并計算圓的半徑；(2)當洪水泛濫到跨度只有時，就要采取緊急措施，若某次洪水中，水面離拱頂只有，即時，試通過計算說明是否需要采取緊急措施．13．（2023·北京海淀·九年級期末）紫砂壺是我國特有的手工制造陶土工藝品，其制作過程需要幾十種不同的工具，其中有一種工具名為“帶刻度嘴巴架”，其形狀及使用方法如圖1．當制顯藝人把“帶刻度嘴巴架”上圓弧部分恰好貼在壺口邊界時，就可以保證需要粘貼的壺嘴、壺把、壺口中心在一條直線上．圖2是正確使用該工具時的示意圖．如圖3，為某紫砂壺的壺口，已知，兩點在上，直線過點，且于點，交于點．若，，求這個紫砂壺的壺口半徑的長．14．（2023·北京海淀·九年級期末）“五一”節(jié)期間，小明和同學(xué)一起到游樂場游玩．如圖為某游樂場大型摩天輪的示意圖，其半徑是20m，它勻速旋轉(zhuǎn)一周需要24分鐘，最底部點B離地面1m．小明乘坐的車廂經(jīng)過點B時開始計時．(1)計時4分鐘后小明離地面的高度是多少？(2)在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有多長時間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中？15．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，為直徑，．若，求的度數(shù)．16．（2023·北京海淀·九年級期末）圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，而且構(gòu)造簡單、施工方便．某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為的圓，如圖所示，若水面寬，求水的最大深度．17．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，是的直徑，點D，E在上，，點C在的延長線上，與相切與點E，延長交于K．(1)求證：；(2)連接，若的半徑長為，，求的長．18．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，若，，求的長度．19．（2023·北京海淀·九年級期末）已知吃刀深度h為時，能在直徑是d（）的軸上銑出寬的一塊平面（如圖）．(1)求d的值．(2)若吃刀深度增加到，求軸上銑出平面的寬度．20．（2023·北京海淀·九年級期末）圖1是某種型號圓形車載手機支架，由圓形鋼軌、滑動桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動桿的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動，支撐桿的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動桿的中點，（即當支架水平放置時直線平行于水平線，支撐桿垂直于水平線），通過滑動A、B可以調(diào)節(jié)的高度．當經(jīng)過圓心O時，它的寬度達到最大值，在支架水平放置的狀態(tài)下：(1)當滑動桿的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時，求此時支撐桿的高度．(2)如圖3，當某手機被支架鎖住時，鎖住高度與手機寬度恰好相等（），求該手機的寬度．21．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D，E是⊙O上的點，若AD＝DC，∠E＝70°，求∠ABC的度數(shù)．22．（2023·北京海淀·九年級期末）蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知，半徑，求高度．三、填空題23．（2023秋·北京平谷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，A，B，C是O上三點，如果，弦，那么的半徑長為___．24．（2023秋·北京東城·九年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式是：弧田面積（弦×失+失2）．弧田（圖中陰影部分）由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為，半徑等于4米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積約為______米．（）25．（2023秋·北京密云·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的弦長為2，是的直徑，．①的半徑長為_________．②P是上的動點，則的最小值是_________．26．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，是的內(nèi)接三角形，于點，若的半徑為，，則______．27．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，平分，交于點，若，則的長為___________．28．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，，垂足為H，連接，則的最大值是______．29．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，是⊙的直徑，是⊙的弦，連結(jié)，．若，，則________．30．（2023秋·北京海淀·九年級期末）如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是______．

參考答案1．B【分析】連接,由題意易得，在中解三角形求解．【詳解】連接,在中，是直徑，，在中，，，故選：B．【點睛】本題主要考查圓周角定理及含直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理及含直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】首先根據(jù)是直徑得出，然后利用圓周角定理的推論得出，最后利用直角三角形兩銳角互余即可得出答案．【詳解】解：∵AB是的直徑，．∵和都是所對的圓周角，，，故選：C．【點睛】本題主要考查圓周角定理的推論及三角形內(nèi)角和定理，掌握圓周角定理及其推論的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)直徑的定義對①進行判斷；根據(jù)圓周角定理對②③進行判斷；根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對④進行判斷．【詳解】解：直徑是圓中最長的弦，所以①正確；在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，所以②錯誤；90°的圓周角所對的弦是直徑，所以③錯誤；在同圓或等圓中，相等的圓心角對的弧相等，所以④錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了圓的認識和圓心角、弧、弦的關(guān)系．掌握這些知識點是解題關(guān)鍵．4．C【分析】連接，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解．【詳解】解：連接，如圖所示，設(shè)直徑的長為，則半徑，為的直徑，弦于，，，而，根據(jù)勾股定理得，解得，即的半徑為13寸．故選C．【點睛】此題考查了垂徑定理和勾股定理；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．5．C【分析】連接，可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵是等邊三角形，∴，即，∴．∴該角度可以為．故選：C【點睛】本題主要考查了弧，弦，圓心角的關(guān)系，圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握弧，弦，圓心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CAB＝40°，進而利用圓的概念及等腰三角形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】A.∵直線l1∥l2，∴∠ECA＝∠CAB＝40°，∵以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交直線l1，l2于B，C兩點，∴BA＝AC＝AD，∴∠ABC＝＝70°，故A正確，不符合題意；B.∵以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，與前弧交于點D（不與點B重合），∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正確，不符合題意；C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，∴∠CAD＝40°，∴∠BAD＝∠CED＝80°，∵∠CDA＝∠ABC＝70°，∴CE≠CD，故C錯誤，符合題意；D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，∴∠ECA=∠DAC，∴CE＝AE，故D正確，不符合題意．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CAB＝40°．7．B【分析】直接根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】解：，．故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．8．(1)見解析(2)8【分析】（1）由垂徑定理可得，由圓周角定理得到，由得到，即可得到結(jié)論；（2）由垂徑定理可得，，在中，由勾股定理可得，即可得到長．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∴；（2）∵是的直徑，，∴，，在中，，，∴，∴．【點睛】此題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理和圓周角定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．9．方法一：畫圖見解析，，，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；方法二：畫圖見解析，，，垂徑定理．【分析】方法一：按照作圖語句提示作圖，再根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系進行證明即可；方法二：按照作圖語句提示作圖，再根據(jù)垂徑定理進行證明即可；【詳解】解：方法一：如圖，點C即為所求作．證明：∵平分，∴∴（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等）．方法二：如圖，點C即為所求作．證明：∵垂直平分弦，∴直線經(jīng)過圓心O，∴（垂徑定理）．【點睛】本題考查的是復(fù)雜的作圖，平分弧的作圖，熟練的利用基本作圖解決復(fù)雜的作圖是解本題的關(guān)鍵，同時考查了角平分線的定義，線段的垂直平分線的性質(zhì)．10．弦的長為5【分析】連接并延長交于，根據(jù)圓周角定理得到，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接并延長交于，連接，則，，的半徑為5，，，，故弦的長為．【點睛】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．.【分析】由垂徑定理得到，推出，在中，利用勾股定理即可求解.【詳解】解：如圖，連接．∵是的直徑，弦于點E，∴．又∵，∴．∵，∴．在中，，∴．∴．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵．12．(1)拱橋所在的圓的半徑(2)不需要采取緊急措施，理由見解析【分析】（1）連接，作的垂直平分線，延長與的垂直平分線相交于點O，點O即為所求的圓弧所在圓的圓心，連接，由垂徑定理可知，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半徑；（2）求出，再由勾股定理可得，則，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖，點O即為所求的圓弧所在圓的圓心，連接，設(shè)半徑為，則，由垂徑定理可知，∵，∴，在中，，由勾股定理可得，，即，解得，∴拱橋所在的圓的半徑；（2）∵，∴在中，由勾股定理可得，，∴，∴不需要采取緊急措施．【點睛】本題考查了作圖—垂直平分線、垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．13．【分析】連接，根據(jù)垂徑定理求得，又由，即可由勾股定理求解．【詳解】解：如圖，連接．∵過圓心，，，∴．∵，∴．∵，∴．解得．∴這個紫砂壺的壺口半徑的長為．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．14．(1)計時4分鐘后小明離地面的高度是11m(2)8分鐘【分析】（1）設(shè)4分鐘后小明到達點，過點作

于點，先算出的度數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)計算出的長度，即可算出的長度.（2）假設(shè)距離地面31米，先算出長度，再根據(jù)三角函數(shù)值算出的度數(shù)，進而可知的度數(shù)，即可算出小明將連續(xù)保持在離地面31m以上的空中的時間.【詳解】（1）解：設(shè)4分鐘后小明到達點，過點作于點，即為小明離地的高度，∵∴(m)．答：計時4分鐘后小明離地面的高度是11m；（2）解：∵當旋轉(zhuǎn)到處時，作弦交的延長線于點，連接，此時離地面高度為．當時，，∵每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度為：，

∴由點旋轉(zhuǎn)到所用的時間為：（分鐘）．答：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有8分鐘的時間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.15．【分析】連接．利用等弧所對圓周角相等，得出，從而得出，再利用直徑所對圓周角是直角，最后由直角三角形兩銳角互余求解即可．【詳解】解：如圖，連接．∵，∴．∵，∴．∵為直徑，∴．∴．【點睛】本題考查圓周角定理的推論，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理的推論是解題的關(guān)鍵．16．0.8m【分析】過點作于點，連接，根據(jù)垂徑定理得到，再在中，根據(jù)勾股定理可求出，進而即可求解．【詳解】解：如圖，作于點，連接，∵，，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得，∴，∴水的最大深度為0.8m．【點睛】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，以及勾股定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．17．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，以及外角的性質(zhì)，求出，即可得證．（2）連接，過點作，交于點，通過圓周角定理和對頂角相等，得到，從而得到，利用等腰三角形三線合一和勾股定理，進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，又∵，∴，∴，∴；（2）解：連接，過點作，交于點，∵，∴，∴，∴為的中點，∵的半徑長為，，∴，∴，，在中，，在中，．【點睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理．熟練掌握直徑所對的圓周角是，同弧所對的圓周角相等，是解題的關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)為的直徑，可得，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得，然后根據(jù)勾股定理進行計算即可．【詳解】解：∵為的直徑，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴在中，，在中，．【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，熟知直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等是解本題的關(guān)鍵．19．(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓心為O，過點O作于點C，的延長線交于點D，連接，在中，利用勾股定理列出方程求出半徑，即可解答；（2）在中，利用勾股定理先求出，即可求出．【詳解】（1）設(shè)圓心為O，過點O作于點C，的延長線交于點D，連接，如圖，∵，，∴，∵，設(shè)，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，∴直徑，即直徑d的值為；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果有：，當時，則，∵，∴，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，∴，∴軸上銑出平面的寬度為．【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形利用勾股定理解決問題．20．(1)支撐桿的高度為9cm．(2)手機的寬度為8cm．【分析】（1）如圖，連結(jié)OA，由題意可得：的直徑為10，由先求解從而可得答案；（2）如圖，記圓心為O，連結(jié)OA，證明設(shè)則則再利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連結(jié)OA，由題意可得：的直徑為10，即所以此時支撐桿的高度為9cm．（2）解：如圖，記圓心為O，連結(jié)OA，由題意可得：∴四邊形為正方形，設(shè)則由勾股定理可得：解得經(jīng)檢驗不符合題意，舍去，?。╟m），即手機的寬度為8cm．【點睛】本題考查的是正方形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解題意，建立方程解題是關(guān)鍵．21．40°【分析】連接DB，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得∠A＝70°，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得∠ABD＝20°，根據(jù)，可得，進而可得∠DBC＝∠DBA＝20°，根據(jù)∠ABC＝∠DBC＋∠DBA即可求解．【詳解】解：連接DB．∵∠E＝70°，∴∠A＝70°，∵AB是的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°∠A＝90°70°＝20°，∵∴，∴∠DBC＝∠DBA＝20°，∴∠ABC＝∠DBC＋∠DBA＝20°＋20°＝40°．【點睛】本題考查了圓周角定理的推論，弧與弦的關(guān)系，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．22．【分析】弦，半徑，根據(jù)題意得是直角三角形，可求出的長，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，在中，，半徑，∴，，，∴，故答案是：．【點睛】本題主要考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．23．5【分析】如圖，作直徑，連接，則，，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，作直徑，連接，則，，∵，∴，∴的半徑為5．故答案為：5．【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，含的直角三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．24．【分析】由題意可知于D，交圓弧于C，由題意得米，解得米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂徑定理求出即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，（米），，（米）（米）（米）（米）弧田面積（平方米）故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應(yīng)用；熟練掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．25．2【分析】①連接，易證是等邊三角形，弦長為2，，即可得到答案；②先證，延長交于點E，連接交于點P，連接,則此時，即的最小值是的長，再用勾股定理求出即可．【詳解】解：①連接，∵∴,∵，∴是等邊三角形，∵弦長為2，∴，即的半徑長為2，故答案為：2②∵，∴,∴，延長交于點E，連接交于點P，連接,則此時，即的最小值是的長，∵，∵，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案為：【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱最短路徑等知識，熟練掌握相關(guān)定理并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．26．1【分析】連接，，由圓周角定理求得，再由