云南省宣威市第八中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析_第1頁
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云南省宣威市第八中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足,記數(shù)列的前n項和為,若對于任意的,,不等式恒成立,則實數(shù)t的取值范圍為()A. B.C. D.2.已知是橢圓的左焦點,為橢圓上任意一點,點坐標(biāo)為,則的最大值為()A. B.13C.3 D.53.已知點P在拋物線上,點Q在圓上,則的最小值為()A. B.C. D.4.雙曲線:的左、右焦點分別為、,過的直線與y軸交于點A、與雙曲線右支交于點B,若為等邊三角形,則雙曲線C的離心率為()A. B.C.2 D.5.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為:如圖①,從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射,反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”,就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分,如圖②,其方程為,為其左、右焦點,若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后,滿足,,則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D.6.已知函數(shù),那么“”是“在上為增函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.方程表示的曲線為()A.拋物線與一條直線 B.上半拋物線(除去頂點)與一條直線C.拋物線與一條射線 D.上半拋物線(除去頂點)與一條射線8.過點P(2,1)作直線l,使l與雙曲線-y2=1有且僅有一個公共點,這樣的直線l共有A.1條 B.2條C.3條 D.4條9.下列說法中正確的是()A.命題“若,則”的否命題是真命題;B.若為真命題,則為真命題;C.“”是“”的充分條件;D.若命題:“,”,則:“,”10.已知雙曲線的離心率為5,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.11.在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做“等和數(shù)列”,這個數(shù)叫做數(shù)列的公和.已知等和數(shù)列{an}中,,公和為5,則()A.2 B.﹣2C.3 D.﹣312.橢圓的左右焦點分別為,是上一點,軸,,則橢圓的離心率等于()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,且,則___________14.?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線就是其中之一(如圖),給出下列三個結(jié)論:①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3;其中,所有正確結(jié)論的序號是________15.已知點,則線段的垂直平分線的一般式方程為__________.16.當(dāng)曲線與直線有兩個不同的交點時,實數(shù)k的取值范圍是____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知圓的方程為(1)求圓的圓心及半徑;(2)是否存在直線滿足:經(jīng)過點,且_________________?如果存在,求出直線的方程;如果不存在,請說明理由從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答:條件①:被圓所截得的弦長最長;條件②:被圓所截得的弦長最短;條件③:被圓所截得的弦長為注:如果選擇多個條件分別作答,按第一個解答計分18.(12分)已知圓(1)若直線與圓C相交于A、B兩點,當(dāng)弦長最短時,求直線l的方程;(2)若與圓C相外切且與y軸相切的圓的圓心記為D,求D點的軌跡方程19.(12分)某班主任對全班名學(xué)生進行了作業(yè)量多少與手機網(wǎng)游的調(diào)查,數(shù)據(jù)如下表:認(rèn)為作業(yè)多認(rèn)為作業(yè)不多總數(shù)喜歡手機網(wǎng)游不喜歡手機網(wǎng)游總數(shù)(1)若隨機地抽問這個班的一名學(xué)生,分別求事件“認(rèn)為作業(yè)不多”和事件“喜歡手機網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的概率;(2)若在“認(rèn)為作業(yè)多”的學(xué)生中已經(jīng)用分層抽樣的方法選取了名學(xué)生.現(xiàn)要從這名學(xué)生中任取名學(xué)生了解情況,求其中恰有名“不喜歡手機網(wǎng)游”的學(xué)生的概率20.(12分)已知函數(shù),其中為實數(shù).(1)若函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行,求函數(shù)的解析式;(2)若,求在上的最大值和最小值.21.(12分)已知的三個頂點是,,(1)求邊所在的直線方程;(2)求經(jīng)過邊的中點,且與邊平行的直線的方程22.(10分)已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有且僅有2個零點,求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由等差數(shù)列基本量法求出通項公式,用裂項相消法求得,求出的最大值,然后利用關(guān)于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關(guān)系求得其范圍【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為,則由已知得,解得,∴,,∴,易知數(shù)列是遞增數(shù)列,且,∴若對于任意的,,不等式恒成立,即,又,∴,解得或故選:B【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式,考查裂項相消法求數(shù)列的和,考查不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想,不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值,其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立2、B【解析】利用橢圓的定義求解.【詳解】如圖所示:,故選:B3、C【解析】先計算拋物線上的點P到圓心距離的最小值,再減去半徑即可.【詳解】設(shè),由圓心,得,∴時,,∴故選:C.4、B【解析】由雙曲線的定義知,,又為等邊三角形,所以,由對稱性有,所以,在直角三角形中,求出,在三角形中,由余弦定理求出,從而即可求解.【詳解】解:由雙曲線的定義知,,又為等邊三角形,所以,由對稱性有,所以,在直角三角形中,,在三角形中,由余弦定理有,所以,解得,所以雙曲線C的離心率,故選:B.5、C【解析】連接,已知條件為,,設(shè),由雙曲線定義表示出,用已知正切值求出,再由雙曲線定義得,這樣可由勾股定理求出(用表示),然后在中,應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系,求得離心率【詳解】易知共線,共線,如圖,設(shè),,則,由得,,又,所以,,所以,所以,由得,因為,故解得,則,在中,,即,所以故選:C6、A【解析】對函數(shù)進行求導(dǎo)得,進而得時,,在上為增函數(shù),然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解:因為的定義域是,所以,當(dāng)時,,在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù),是充分條件;反之,在上為增函數(shù)或,不是必要條件.故選:A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,屬于中檔題.7、B【解析】化簡得出或,由此可得出方程表示的曲線.【詳解】由可得或,所以,方程表示的曲線為上半拋物線(除去頂點)與一條直線,故選:B.8、B【解析】利用幾何法,結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì),得出符合條件的結(jié)論.【詳解】由雙曲線的方程可知其漸近線方程為y=±x,則點P(2,1)在漸近線y=x上,又雙曲線的右頂點為A(2,0),如圖所示.滿足條件的直線l有兩條:x=2,y-1=-(x-2)【點睛】該題考查的是有關(guān)直線與雙曲線的公共點有一個的條件,結(jié)合雙曲線的性質(zhì),結(jié)合圖形,得出結(jié)果,屬于中檔題目.9、C【解析】A.寫出原命題的否命題,即可判斷其正誤;B.根據(jù)為真命題可知的p,q真假情況,由此判斷的真假;C.看命題“”能否推出“”,即可判斷;D.根據(jù)含有一個量詞的命題的否定的要求,即可判斷該命題的正誤.【詳解】A.命題“若x=y,則sinx=siny”,其否命題為若“,則”為假命題,因此A不正確;B.命題“”為真命題,則p,q中至少有一個為真命題,當(dāng)二者為一真一假時,為假命題,故B不正確C.命題“若,則”為真命題,故C正確;D.命題:“,”,為特稱命題,其命題的否定:“,”,故D錯誤,故選:C10、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m,從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線,∴,又,∴,∵離心率為,∴,解得,∴雙曲線方程.故選:D.11、C【解析】利用已知即可求得,再利用已知可得:,問題得解【詳解】解:根據(jù)題意,等和數(shù)列{an}中,,公和為5,則,即可得,又由an﹣1+an=5,則,則3;故選C【點睛】本題主要考查了新概念知識,考查理解能力及轉(zhuǎn)化能力,還考查了數(shù)列的周期性,屬于中檔題12、A【解析】在中結(jié)合已知條件,用焦距2c表示、,再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c,因是上一點,軸,,在中,,,由橢圓定義知,則,所以橢圓的離心率等于.故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】,而,所以,,故填:.考點:導(dǎo)數(shù)14、①②【解析】先根據(jù)圖像的對稱性找出整點,再判斷是否還有其他的整點在曲線上;找出曲線上離原點距離最大的點的區(qū)域,再由基本不等式得到最大值不超過;在心形區(qū)域內(nèi)找到一個內(nèi)接多邊形,該多邊形的面積等于3,從而判斷出“心形”區(qū)域的面積大于3.【詳解】①:由于曲線,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;由于圖形的對稱性可知,沒有其他的整點在曲線上,故曲線恰好經(jīng)過6個整點:,,,,,,所以①正確;②:由圖知,到原點距離的最大值是在時,由基本不等式,當(dāng)時,,所以即,所以②正確;③:由①知長方形CDFE的面積為2,三角形BCE的面積為1,所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3,故③錯誤;故答案為:①②.【點睛】找準(zhǔn)圖形的關(guān)鍵信息,比如對稱性,整點,內(nèi)接多邊形是解決本題的關(guān)鍵.15、【解析】由中點坐標(biāo)公式和斜率公式可得的中點和直線斜率,由垂直關(guān)系可得垂直平分線的斜率,由點斜式可得直線方程,化為一般式即可【詳解】由中點坐標(biāo)公式可得,的中點為,可得直線的斜率為,由垂直關(guān)系可得其垂直平分線的斜率為,故可得所求直線的方程為:,化為一般式可得故答案為:16、【解析】求出直線恒過的定點,結(jié)合曲線的圖象,數(shù)形結(jié)合,找出臨界狀態(tài),即可求得的取值范圍.【詳解】因為,故可得,其表示圓心為,半徑為的圓的上半部分;因為,即,其表示過點,且斜率為的直線.在同一坐標(biāo)系下作圖如下:不妨設(shè)點,直線斜率為,且過點與圓相切的直線斜率為數(shù)形結(jié)合可知:要使得曲線與直線有兩個不同的交點,只需即可.容易知:;不妨設(shè)過點與相切的直線方程為,則由直線與圓相切可得:,解得,故.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)圓心為,半徑為;(2)答案見解析.【解析】(1)寫出圓標(biāo)準(zhǔn)方程即得解;(2)選擇條件①:直線應(yīng)過圓心即直線過點和,即得解;選擇條件②:直線應(yīng)與垂直,求出直線的方程即得解;選擇條件③:不存在滿足條件的直線.【小問1詳解】解:由圓的方程整理可得,所以圓心為,半徑為.小問2詳解】選擇條件①:若直線被圓所截得的弦長最長,則直線應(yīng)過圓心即直線過點和,所以直線的斜率為,則直線的方程為.選擇條件②:若直線過點被圓所截得的弦長最短,則直線應(yīng)與垂直.又,所以.故直線方程為.選擇條件③:經(jīng)過點的直線被圓所截得的最短弦長,由于,所以不存在滿足條件的直線.18、(1)(2)【解析】(1)先求出直線過的定點,再根據(jù)弦長|AB|最短時,求解.(2)用直譯法求解【小問1詳解】直線即,所以直線過定點.當(dāng)弦長|AB|最短時,因為直線PC的斜率所以此時直線的斜率所以當(dāng)弦長|AB|最短時,求直線的方程為,即【小問2詳解】設(shè),易知圓心D在軸上方,圓D半徑為因為圓與圓外切,所以即整理得點的軌跡方程為19、(1)事件“認(rèn)為作業(yè)不多”和事件“喜歡手機網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的概率分別為、;(2).【解析】(1)利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率;(2)確定所選的名學(xué)生中,“不喜歡手機網(wǎng)游”和“喜歡手機網(wǎng)游”的學(xué)生人數(shù),加以標(biāo)記,列舉出所有的基本事件,確定所求事件所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解:由題意可知,全班名學(xué)生中,“認(rèn)為作業(yè)不多”的學(xué)生人數(shù)為人,“喜歡手機網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的學(xué)生人數(shù)為人,因此,隨機地抽問這個班的一名學(xué)生,事件“認(rèn)為作業(yè)不多”的概率為,事件“喜歡手機網(wǎng)游且認(rèn)為作業(yè)多”的概率為.【小問2詳解】解:在“認(rèn)為作業(yè)多”的學(xué)生中已經(jīng)用分層抽樣的方法選取了名學(xué)生,這名學(xué)生中“不喜歡手機網(wǎng)游”的學(xué)生人數(shù)為,記為,名學(xué)生中“喜歡手機網(wǎng)游”的學(xué)生人數(shù)為,分別記為、、、,從這名學(xué)生中任取名學(xué)生,所有的基本事件有:、、、、、、、、、,共種,其中,事件“恰有名“不喜歡手機網(wǎng)游”的學(xué)生”包含的基本事件有:、、、,共種,故所求概率為.20、(1)(2),【解析】(1)根據(jù)平行關(guān)系得到切線斜率,進而得到導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值,列出方程,求出,進而得到函數(shù)解析式;(2)先由求出,再利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性和最值.【小問1詳解】,.由題意得:,解得:.,【小問2詳解】,則,解得,,,當(dāng),解得:,即函數(shù)在單調(diào)遞減,當(dāng),解得:或,即函數(shù)分別在,遞增.又,,,,,.21、(1)(2)【解析】(1)利用直線方程的兩點

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