2025屆江蘇蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

2025屆江蘇蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．點在圓上，點在直線上，則的最小值是（）A. B.C. D.3．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．在等差數(shù)列中，，表示數(shù)列的前項和，則（）A.43 B.44C.45 D.465．已知直線與直線垂直，則實數(shù)（）A.10 B.C.5 D.6．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，，則a7=（）A.13 B.14C.15 D.167．等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A.72 B.90C.36 D.458．已知函數(shù)，若，則等于（）A. B.1C.ln2 D.e9．已知橢圓的離心率為，則（）A. B.C. D.10．設(shè)雙曲線的實軸長與焦距分別為2,4，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．命題P：ax2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，若￢p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.{a|a＜1} B.{a|a≤﹣1}C.{a|a≥﹣1} D.{a|a>﹣1}12．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，則的公差為（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為F，若拋物線上一點P到x軸的距離為2，則|PF|的值為___________.14．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，則___________.15．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……．設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，其中，，，則______16．已知雙曲線的右焦點為，過點作軸的垂線，在第一象限與雙曲線及其漸近線分別交于，兩點.若，則雙曲線的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項;（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和Sn.18．（12分）某省食品藥品監(jiān)管局對15個大學(xué)食堂“進貨渠道合格性”和“食品安全”進行量化評估，滿分為10分，大部分大學(xué)食堂的評分在7~10分之間，以下表格記錄了它們的評分情況：分?jǐn)?shù)段食堂個數(shù)1383（1）現(xiàn)從15個大學(xué)食堂中隨機抽取3個，求至多有1個大學(xué)食堂的評分不低于9分的概率；（2）以這15個大學(xué)食堂的評分?jǐn)?shù)據(jù)評估全國的大學(xué)食堂的評分情況，若從全國的大學(xué)食堂中任選3個，記X表示抽到評分不低于9分的食堂個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面中心，，為中點，（1）求證：平面；（2）求：（?。┲本€到平面的距離；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值20．（12分）如圖四棱錐P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等邊三角形.（1）設(shè)面PAB面PDC=l，證明:l//平面ABCD；（2）線段PC內(nèi)是否存在一點E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ=的值，如果不存在，請說明理由.21．（12分）已知圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，半徑為3，圓M被直線截得的弦長為4.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線上的動點，證明：以MP為直徑的圓必過定點，并求所有定點的坐標(biāo).22．（10分）已知，，其中（1）已知，若為真，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】解：由題意得：在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，該點在第四象限.故選：D2、B【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.3、D【解析】以為坐標(biāo)原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線與所成角的余弦值等于.故選：D.4、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列中，滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，則.故選：C.5、B【解析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，直線與直線垂直，可得，解得.故選：B.6、A【解析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得：，則.故選：A7、B【解析】由題意結(jié)合成等比數(shù)列，有即可得，進而得到、，即可求.【詳解】由題意知：，，又成等比數(shù)列，∴，解之得，∴，則，∴，故選：B【點睛】思路點睛：由其中三項成等比數(shù)列，利用等比中項性質(zhì)求項，進而得到等差數(shù)列的基本量1、由成等比，即；2、等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.8、D【解析】求導(dǎo)，由得出.【詳解】，故選：D9、D【解析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進而可得.【詳解】因為，則，所以.故選：D10、C【解析】由已知可求出，即可得出漸近線方程.【詳解】因為，所以，所以的漸近線方程為.故選：C.11、C【解析】根據(jù)是假命題，判斷出是真命題.對分成，和兩種情況，結(jié)合方程有實數(shù)根，求得的取值范圍.詳解】┐p是假命題，則p是真命題，∴ax2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，當(dāng)a＝0時，方程為2x﹣1＝0，解得x＝0.5，有根，符合題意；當(dāng)a≠0時，方程有根，等價于△＝4+4a≥0，∴a≥﹣1且，綜上所述，a的可能取值為a≥﹣1故選：C【點睛】本小題主要考查根據(jù)命題否定的真假性求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】由以及等差數(shù)列的性質(zhì)，可得的值，再結(jié)合即可求出公差.【詳解】解：，得，，又，兩式相減得，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】先求出拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再利用拋物線的定義可求得答案【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，因為拋物線上一點P到x軸的距離為2，所以由拋物線的定義可得，故答案為：314、【解析】當(dāng)時，，可得，可得數(shù)列隔項成等比數(shù)列，即所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是等比數(shù)列，分別求和，即可得解.【詳解】因為，，所以，當(dāng)時，，∴，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是等比數(shù)列，所以.故答案為：.15、15【解析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，故答案為：1516、【解析】按題意求得，兩點坐標(biāo)，以代數(shù)式表達出條件，即可得到關(guān)于的關(guān)系式，進而解得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的右焦點為,其漸近線為，垂線方程為，則，，，由，得，即即，則，離心率故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】本試題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念以及等比數(shù)列的前n項和公式等基本知識（Ⅰ）由題設(shè)知公差由成等比數(shù)列得解得（舍去），故的通項（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由等比數(shù)列前n項和公式得點評：本試題題目條件給的比較清晰，直接．只要抓住概念就可以很好的解決18、（1）（2）分布列見解析，【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.（2）由題設(shè)可得，故利用二項分布可求的分布列，利用公式可求其期望.【小問1詳解】設(shè)至多有1個大學(xué)食堂的評分不低于9分為事件，則.所以至多有1個大學(xué)食堂的評分不低于9分的概率為.【小問2詳解】任意一個大學(xué)食堂，其評分不低于9分的概率為，故，所以，，，，的分布列為：0123.19、（1）證明見解析；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）連接，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）（i）利用空間向量法可求得直線到平面的距離；（ii）利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：連接，則為的中點，且，在正四棱錐中，平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，因為，則，又因為平面，所以，平面.【小問2詳解】解：（i），所以，直線到平面的距離為.（ii），則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.20、（1）證明見解析（2）存在【解析】（1）由已知可得∥，再由線面平行的判定可得∥平面，再由線面平行的性質(zhì)可得∥，再由線面平行的判定可得結(jié)論，（2）由已知條件可證得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因為,所以，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為平面，且平面面，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，【小問2詳解】設(shè)的中點為，因為△PDC是等邊三角形，所以，因為平面PDC⊥平面ABCD，且平面面，所以平面，因為平面，所以，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，假設(shè)存在這樣的點，由已知得，則，所以，因為平面，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，則所以，整理得，解得（舍去），或，所以21、（1）；（2）證明見解析，定點和.【解析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合點到直線距離公式計算作答.(2)設(shè)點，求出圓的方程，結(jié)合方程求出其定點.【小問1詳解】因圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，設(shè)圓心，且，圓心到直線的距離為，又由解得，從而，而，解得，所以圓M的方程為.【小問2詳解】由(1)知：，設(shè)點，，設(shè)動圓上任意一點當(dāng)與點P，M都不重合時，，有，當(dāng)與點P，M之一重合時，對應(yīng)為零向量，也成立，，，，化簡得：，由，解得或，所以以MP為直徑的圓必過定點和.【點睛】方法點睛：待定系數(shù)法求圓的方程，由題設(shè)條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應(yīng)該有