柳州鐵路第一中學(xué)2025屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

柳州鐵路第一中學(xué)2025屆高一上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．從3名男同學(xué)，2名女同學(xué)中任選2人參加體能測試，則選到的2名同學(xué)中至少有一名男同學(xué)的概率是（）A. B.C. D.2．過點(diǎn)(5，2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是（）A.2x+y-12＝0 B.x-2y-1＝0或2x-5y＝0C.x-2y-1＝0 D.2x+y-12＝0或2x-5y＝03．已知集合，則中元素的個數(shù)為A.1 B.2C.3 D.44．函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A. B.C. D.5．函數(shù)的部分圖象大致是A. B.C. D.6．某幾何體的三視圖都是全等圖形，則該幾何體一定是（）A.圓柱 B.圓錐C.三棱錐 D.球體7．已知函數(shù)則的值為（）A. B.C.0 D.18．已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積可能等于A. B.C. D.29．已知α，β是兩個不同的平面，給出下列四個條件：①存在一條直線a，使得a⊥α，a⊥β；②存在兩條平行直線a，b，使得a//α，a//β，b//α，b//β；③存在兩條異面直線a，b，使得a?α，b?β，a//β，b//α；④存在一個平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β其中可以推出α//β的條件個數(shù)是A.1 B.2C.3 D.410．已知函數(shù)在上圖像關(guān)于軸對稱，若對于，都有，且當(dāng)時，，則的值為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為第四象限的角，，則________.12．某公司在甲、乙兩地銷售同一種品牌的汽車，利潤(單位：萬元)分別為和，其中為銷售量(單位：輛).若該公司在兩地共銷售15輛汽車，則該公司能獲得的最大利潤為_____萬元.13．已知，是方程的兩根，則__________14．使得成立的一組，的值分別為_____.15．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，0，1）到原點(diǎn)O的距離為_____16．在區(qū)間上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)，則事件發(fā)生的概率為_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）根據(jù)定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）根據(jù)定義證明：函數(shù)是奇函數(shù).18．已知函數(shù)且點(diǎn)（4,2）在函數(shù)f（x）的圖象上.(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并在圖中的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的圖象；(2)求不等式f(x)<1的解集；(3)若方程f(x)－2m＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍19．（1）設(shè)，求與的夾角；（2）設(shè)且與的夾角為，求的值.20．如圖，在三棱柱中，平面，，在線段上，，.（1）求證：；（2）試探究：在上是否存在點(diǎn)，滿足平面，若存在，請指出點(diǎn)的位置，并給出證明；若不存在，說明理由.21．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=CD=1，BC=2，PD=（Ⅰ）求證：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直線AB與平面PBC所成角的大??；（Ⅲ）求二面角P-AB-C的正切值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】先計(jì)算一名男同學(xué)都沒有的概率，再求至少有一名男同學(xué)的概率即可.【詳解】兩名同學(xué)中一名男同學(xué)都沒有的概率為，則2名同學(xué)中至少有一名男同學(xué)的概率是.故選：A.2、D【解析】根據(jù)直線是否過原點(diǎn)進(jìn)行分類討論，結(jié)合截距式求得直線方程.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時，直線方程為，即.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，代入得，所以直線方程為.故選：D3、A【解析】利用交集定義先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的個數(shù)【詳解】∵集合∴A∩B＝{3}，∴A∩B中元素的個數(shù)為1故選A【點(diǎn)睛】本題考查交集中元素個數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用4、C【解析】先利用圖象中的1和3，求得函數(shù)的周期，求得，最后根據(jù)時取最大值1，求得，即可得解【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的圖象可得：函數(shù)的周期為，∴，當(dāng)時取最大值1，即，又，所以，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了由的部分圖象確定其解析式，考查了五點(diǎn)作圖的應(yīng)用和圖象觀察能力，屬于基本知識的考查．屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】判斷f（x）的奇偶性，在（，π）上的單調(diào)性，再通過f（）的值判斷詳解：f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）是奇函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除C；，排除A，當(dāng)x＞0時，f（x）=，f′（x）=，∴當(dāng)x∈（，π）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（，π）上單調(diào)遞增，排除D，故選B點(diǎn)睛：點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖象的判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．對于已知函數(shù)表達(dá)式選圖像的題目，可以通過表達(dá)式的定義域和值域進(jìn)行排除選項(xiàng)，可以通過表達(dá)式的奇偶性排除選項(xiàng)；也可以通過極限來排除選項(xiàng).6、D【解析】任意方向上的視圖都是全等圖形的幾何體只有球，在任意方向上的視圖都是圓【詳解】球、長方體、三棱錐、圓錐中，任意方向上的視圖都是全等圖形的幾何體只有球，在任意方向上的視圖都是等圓，故答案為：D【點(diǎn)睛】本題考查簡單空間圖形的三視圖，本題解題的關(guān)鍵是看出各個圖形的在任意方向上的視圖，本題是一個基礎(chǔ)題7、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式及指數(shù)對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，故選：D8、C【解析】如果主視圖是從垂直于正方體的面看過去，則其面積為1；如果斜對著正方體的某表面看，其面積就變大，最大時，（是正對著正方體某豎著的棱看），面積為以上表面的對角線為長，以棱長為寬的長方形，其面積為，可得主視圖面積最小是1，最大是，故選C.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.9、B【解析】當(dāng)α，β不平行時，不存在直線a與α，β都垂直，∴a⊥α，a⊥β?α∥β，故1正確；存在兩條平行直線a，b，a∥α，b∥β，a∥β，b∥α，則α，β相交或平行，所以2不正確；存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α，由面面平行的判定定理得α∥β，故3正確；存在一個平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β，則α，β相交或平行，所以4不正確；故選B10、C【解析】據(jù)條件即可知為偶函數(shù)，并且在，上是周期為2的周期函數(shù)，又，時，，從而可得出，，從而找出正確選項(xiàng)【詳解】解：函數(shù)在上圖象關(guān)于軸對稱；是偶函數(shù)；又時，；在，上為周期為2的周期函數(shù)；又，時，；，；故選：【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)圖象的對稱性，偶函數(shù)的定義，周期函數(shù)的定義，以及已知函數(shù)求值，屬于中檔題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】給兩邊平方先求出,然后利用完全平方公式求出,再利用公式可得結(jié)果.【詳解】∵，兩邊平方得：，∴，∴，∵為第四象限角，∴，，∴，∴.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查的是同角三角函數(shù)的關(guān)系和二倍角公式,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】設(shè)該公司在甲地銷x輛，那么乙地銷15－x輛，利潤L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30.由L′(x)＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.且當(dāng)x＜10.2時，L′(x)＞0，x＞10.2時，L′(x)＜0，∴x＝10時，L(x)取到最大值，這時最大利潤為45.6萬元答案：45.6萬元13、##【解析】將所求式利用兩角和的正弦與兩角差的余弦公式展開，然后根據(jù)商數(shù)關(guān)系弦化切，最后結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋欠匠痰膬筛?，所以，所以，故答案為?14、，（不唯一）【解析】使得成立，只需，舉例即可.【詳解】使得成立，只需，所以,，使得成立的一組，的值分別為，故答案為：，（不唯一）15、【解析】由空間兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得所求值.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查空間兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.16、【解析】由得：，∵在區(qū)間上隨機(jī)取實(shí)數(shù)，每個數(shù)被取到的可能性相等，∴事件發(fā)生的概率為，故答案為考點(diǎn)：幾何概型三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、⑴見解析;⑵見解析.【解析】(1)利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用奇偶性定義證明函數(shù)奇偶性.試題解析：⑴設(shè)任意的，且，則，，即，又，，即，在上是增函數(shù)⑵，,，即所以函數(shù)是奇函數(shù).點(diǎn)睛：證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負(fù)（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性18、（1）見解析；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上得到，于是可得解析式，進(jìn)而可畫出函數(shù)的圖象；（2）將不等式化成不等式組求解可得所求；（3）結(jié)合圖象得到的取值范圍后再求出的范圍【詳解】（1）∵點(diǎn)在函數(shù)圖象上，∴，∴∴.畫出函數(shù)的圖象如下圖所示（2）不等式等價于或解得，或，所以原不等式的解集為（3）∵方程f(x)－2m＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)結(jié)合圖象可得，解得∴實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】（1）本題考查函數(shù)圖象的畫法和圖象的應(yīng)用，根據(jù)解析式畫圖象時要根據(jù)描點(diǎn)法進(jìn)行求解，畫圖時要熟練運(yùn)用常見函數(shù)的圖象（2）根據(jù)方程根的個數(shù)（函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)）求參數(shù)的取值時，要注意將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)的問題，然后畫出函數(shù)的圖象后利用數(shù)形結(jié)合求解19、（1）；（2）61.【解析】（1）由已知中12，9，，代入平面向量的夾角公式，即可求出θ的余弦值，結(jié)合0°≤θ≤180°，即可得到答案（2）利用數(shù)量積運(yùn)算法則即可得出；【詳解】（1）∵12，9，，∴cosθ又∵0°≤θ≤180°則θ＝135°（2）∵，，且與夾角為120°，∴6∴42﹣（﹣6）﹣3×32＝61【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及其性質(zhì)、夾角公式，屬于基礎(chǔ)題20、(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】（1）因?yàn)槊?，所以，結(jié)合就有面，從而.（2）取，在平面內(nèi)過作交于，連結(jié).可以證明四邊形為平行四邊形，從而，也就是平面.我們還可以在平面內(nèi)過作，交于，連結(jié).通過證明平面平面得到平面.【詳解】解析：（1）∵面，面，∴.又∵，，面，，∴面，又面，∴.（2）（法一）當(dāng)時，平面.理由如下：在平面內(nèi)過作交于，連結(jié).∵，∴，又，且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又面，面，∴平面.（法二）當(dāng)時，平面.理由如下：在平面內(nèi)過作，交于，連結(jié).∵，面，面，∴平面，∵，∴，∴，又面，面，∴平面.又面，面，，∴平面平面.∵面，∴平面.點(diǎn)睛：證明線面平行，我們既可以在已知平面中找出與已知直線平行的直線，通過線面平行的判定定理去考慮，也可以利用構(gòu)造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）證明，則，又PD⊥PB即可證明平面（Ⅱ）過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，DF與平面所成的角等于AB與平面所成的角，為直線DF和平面所成的角，在中，求解即可（Ⅲ）說明是二面角的平面角，在直角梯形ABCD內(nèi)可求得，而，在中，求解即可【詳解】（Ⅰ）因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD?平面PDC，所以AD⊥PD又因?yàn)锽C∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB與BC相交于點(diǎn)B，所以，PD⊥平面PBC.（Ⅱ）過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=CF=1又AD⊥DC，故BC⊥DC，ABCD為直角梯形，所以，DF=.